(浙江專用版)2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.4.3 正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象學(xué)案 新人教A版必修2
《(浙江專用版)2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.4.3 正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象學(xué)案 新人教A版必修2》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(浙江專用版)2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.4.3 正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象學(xué)案 新人教A版必修2(17頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、 1.4.3 正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.會(huì)求正切函數(shù)y=tan(ωx+φ)的周期.2.掌握正切函數(shù)y=tan x的奇偶性,并會(huì)判斷簡(jiǎn)單三角函數(shù)的奇偶性.3.掌握正切函數(shù)的單調(diào)性,并掌握其圖象的畫(huà)法. 知識(shí)點(diǎn)一 正切函數(shù)的性質(zhì) 思考1 正切函數(shù)的定義域是什么? 答案 . 思考2 誘導(dǎo)公式tan(π+x)=tan x,x∈R且x≠+kπ,k∈Z說(shuō)明了正切函數(shù)的什么性質(zhì)? 答案 周期性. 思考3 誘導(dǎo)公式tan(-x)=-tan x,x∈R且x≠+kπ,k∈Z說(shuō)明了正切函數(shù)的什么性質(zhì)? 答案 奇偶性. 思考4 從正切線上看,在上正切函數(shù)值是增大的嗎? 答案 是
2、. 梳理 函數(shù)y=tan x的圖象與性質(zhì)見(jiàn)下表: 解析式 y=tan x 圖象 定義域 值域 R 最小正周期 π 奇偶性 奇 單調(diào)性 在開(kāi)區(qū)間(k∈Z)內(nèi)都是增函數(shù) 知識(shí)點(diǎn)二 正切函數(shù)的圖象 思考1 利用正切線作正切函數(shù)圖象的步驟是什么? 答案 根據(jù)正切函數(shù)的定義域和周期,首先作出區(qū)間上的圖象.作法如下: (1)作平面直角坐標(biāo)系,并在平面直角坐標(biāo)系y軸的左側(cè)作單位圓. (2)把單位圓的右半圓分成8等份,分別在單位圓中作出正切線. (3)描點(diǎn)(橫坐標(biāo)是一個(gè)周期的8等分點(diǎn),縱坐標(biāo)是相應(yīng)的正切線的長(zhǎng)度). (4)連線,得到如圖①所示的圖象.
3、 (5)根據(jù)正切函數(shù)的周期性,把上述圖象向左、右擴(kuò)展,就可以得到正切函數(shù)y=tan x,x∈R且x≠+kπ(k∈Z)的圖象,把它稱為正切曲線(如圖②所示).可以看出,正切曲線是被相互平行的直線x=+kπ,k∈Z所隔開(kāi)的無(wú)窮多支曲線組成的. 思考2 我們能用“五點(diǎn)法”簡(jiǎn)便地畫(huà)出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖,你能類似地畫(huà)出正切函數(shù)y=tan x,x∈的簡(jiǎn)圖嗎?怎樣畫(huà)? 答案 能,三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn):,(0,0),,兩條平行線:x=,x=-. 梳理 (1)正切函數(shù)的圖象 (2)正切函數(shù)的圖象特征 正切曲線是被相互平行的直線x=+kπ,k∈Z所隔開(kāi)的無(wú)窮多支曲線組成的. 1.函數(shù)y=
4、tan x在其定義域上是增函數(shù).( × ) 提示 y=tan x在開(kāi)區(qū)間(k∈Z)上是增函數(shù),但在其定義域上不是增函數(shù). 2.函數(shù)y=tan x的圖象的對(duì)稱中心是(kπ,0)(k∈Z).( × ) 提示 y=tan x圖象的對(duì)稱中心是(k∈Z). 3.正切函數(shù)y=tan x無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間.( √ ) 4.正切函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.( × ) 提示 正切函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),不能寫(xiě)成閉區(qū)間,當(dāng)x=±時(shí),y=tan x無(wú)意義. 類型一 正切函數(shù)的定義域、值域問(wèn)題 例1 (1)函數(shù)y=3tan的定義域?yàn)開(kāi)_______. 考點(diǎn) 正切函數(shù)的定義域、值域 題點(diǎn) 正切函數(shù)的定義域
5、 答案 解析 由-≠+kπ,k∈Z,得x≠--4kπ,k∈Z, 即函數(shù)的定義域?yàn)? (2)求函數(shù)y=tan2+tan+1的定義域和值域. 考點(diǎn) 正切函數(shù)的定義域、值域 題點(diǎn) 正切函數(shù)的值域 解 由3x+≠kπ+,k∈Z, 得x≠+,k∈Z, 所以函數(shù)的定義域?yàn)? 設(shè)t=tan, 則t∈R,y=t2+t+1=2+≥, 所以原函數(shù)的值域是. 反思與感悟 (1)求定義域時(shí),要注意正切函數(shù)自身的限制條件,另外解不等式時(shí),要充分利用三角函數(shù)的圖象或三角函數(shù)線. (2)處理正切函數(shù)值域時(shí),應(yīng)注意正切函數(shù)自身值域?yàn)镽,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為某種函數(shù)的值域求解. 跟蹤訓(xùn)練1 求函數(shù)y=+l
6、g(1-tan x)的定義域.
考點(diǎn) 正切函數(shù)的定義域、值域
題點(diǎn) 正切函數(shù)的定義域
解 由題意得即-1≤tan x<1.
在內(nèi),滿足上述不等式的x的取值范圍是.
又y=tan x的周期為π,
所以函數(shù)的定義域是(k∈Z).
類型二 正切函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題
命題角度1 求正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
例2 求函數(shù)y=tan的單調(diào)區(qū)間及最小正周期.
考點(diǎn) 正切函數(shù)的單調(diào)性
題點(diǎn) 判斷正切函數(shù)的單調(diào)性
解 y=tan=-tan,
由kπ- 7、悟 y=tan(ωx+φ)(ω>0)的單調(diào)區(qū)間的求法是把ωx+φ看成一個(gè)整體,解-+kπ<ωx+φ<+kπ,k∈Z即可.當(dāng)ω<0時(shí),先用誘導(dǎo)公式把ω化為正值再求單調(diào)區(qū)間.
跟蹤訓(xùn)練2 (2017·太原高一檢測(cè))求函數(shù)y=3tan的單調(diào)區(qū)間.
考點(diǎn) 正切函數(shù)的單調(diào)性
題點(diǎn) 判斷正切函數(shù)的單調(diào)性
解 y=3tan=-3tan,
由-+kπ<2x-<+kπ,k∈Z,得
-+ 8、__tan.
考點(diǎn) 正切函數(shù)的單調(diào)性
題點(diǎn) 正切函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用
答案 (1)< (2)<
解析 (1)tan 215°=tan(180°+35°)=tan 35°,
∵y=tan x在(0°,90°)上單調(diào)遞增,32°<35°,
∴tan 32° 9、3 比較大?。簍an_______tan.
考點(diǎn) 正切函數(shù)的單調(diào)性
題點(diǎn) 正切函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用
答案 >
解析 ∵tan=-tan=tan ,
tan=-tan=tan .
又0<<<,y=tan x在內(nèi)單調(diào)遞增,
∴tan <tan ,∴tan>tan.
類型三 正切函數(shù)綜合問(wèn)題
例4 設(shè)函數(shù)f(x)=tan.
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期,對(duì)稱中心;
(2)作出函數(shù)f(x)在一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖.
考點(diǎn) 正切函數(shù)的綜合應(yīng)用
題點(diǎn) 正切函數(shù)的綜合應(yīng)用
解 (1)∵ω=,∴最小正周期T===2π.
令-=(k∈Z),得x=kπ+(k∈Z),
∴f(x)的對(duì) 10、稱中心是(k∈Z).
(2)令-=0,則x=;令-=,則x=;
令-=-,則x=;令-=,則x=;
令-=-,則x=-.
∴函數(shù)y=tan的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是,在這個(gè)交點(diǎn)左,右兩側(cè)相鄰的兩條漸近線方程分別是x=-,x=,從而得到函數(shù)y=f(x)在一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖(如圖).
反思與感悟 熟練掌握正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決正切函數(shù)綜合問(wèn)題的關(guān)鍵,正切曲線是被相互平行的直線x=+kπ,k∈Z隔開(kāi)的無(wú)窮多支曲線組成,y=tan x的對(duì)稱中心為,k∈Z.
跟蹤訓(xùn)練4 畫(huà)出f(x)=tan |x|的圖象,并根據(jù)其圖象判斷其單調(diào)區(qū)間、周期性、奇偶性.
考點(diǎn) 正切函數(shù)的綜合應(yīng)用
題 11、點(diǎn) 正切函數(shù)的綜合應(yīng)用
解 f(x)=tan |x|化為f(x)=
根據(jù)y=tan x的圖象,作出f(x)=tan |x|的圖象,如圖所示,
由圖象知,f(x)不是周期函數(shù),是偶函數(shù),單調(diào)增區(qū)間為,(k∈N);單調(diào)減區(qū)間為,(k=0,-1,-2,…).
1.函數(shù)f(x)=tan的單調(diào)遞增區(qū)間為( )
A.,k∈Z
B.(kπ,(k+1)π),k∈Z
C.,k∈Z
D.,k∈Z
考點(diǎn) 正切函數(shù)的單調(diào)性
題點(diǎn) 判斷正切函數(shù)的單調(diào)性
答案 C
2.函數(shù)y=tan x+是( )
A.奇函數(shù)
B.偶函數(shù)
C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)
D.既不是奇函數(shù)又不是偶函 12、數(shù)
考點(diǎn) 正切函數(shù)的周期性、對(duì)稱性
題點(diǎn) 正切函數(shù)的奇偶性
答案 A
解析 函數(shù)的定義域是,且tan(-x)+=-tan x-=-,所以函數(shù)y=tan x+是奇函數(shù).
3.(2017·紹興柯橋區(qū)期末)函數(shù)y=3tan的最小正周期是( )
A. B.
C. D.5π
考點(diǎn) 正切函數(shù)的單調(diào)性
題點(diǎn) 正切函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用
答案 A
4.將tan 1,tan 2,tan 3按大小順序排列為_(kāi)_______.(用“<”連接)
考點(diǎn) 正切函數(shù)的周期性、對(duì)稱性
題點(diǎn) 正切函數(shù)的周期性
答案 tan 2 13、__________.
考點(diǎn) 正切函數(shù)的定義域、值域
題點(diǎn) 正切函數(shù)的值域
答案 (-∞,-1]∪[1,+∞)
解析 函數(shù)y=tan x在上單調(diào)遞增,在上也單調(diào)遞增,所以函數(shù)的值域是(-∞,-1]∪[1,+∞).
1.正切函數(shù)的圖象
正切函數(shù)有無(wú)數(shù)多條漸近線,漸近線方程為x=kπ+,k∈Z,相鄰兩條漸近線之間都有一支正切曲線,且單調(diào)遞增.
2.正切函數(shù)的性質(zhì)
(1)正切函數(shù)y=tan x的定義域是,值域是R.
(2)正切函數(shù)y=tan x的最小正周期是π,函數(shù)y=Atan(ωx+φ)(Aω≠0)的最小正周期為T(mén)=.
(3)正切函數(shù)在(k∈Z)上單調(diào)遞增,不能寫(xiě)成閉區(qū)間, 14、正切函數(shù)無(wú)單調(diào)減區(qū)間.
一、選擇題
1.函數(shù)y=tan,x∈R且x≠π+kπ,k∈Z的一個(gè)對(duì)稱中心是( )
A.(0,0) B. C. D.(π,0)
考點(diǎn) 正切函數(shù)的周期性、對(duì)稱性
題點(diǎn) 正切函數(shù)的對(duì)稱性
答案 C
2.函數(shù)f(x)=2tan(-x)是( )
A.奇函數(shù)
B.偶函數(shù)
C.奇函數(shù),也是偶函數(shù)
D.非奇非偶函數(shù)
考點(diǎn) 正切函數(shù)的周期性、對(duì)稱性
題點(diǎn) 正切函數(shù)的奇偶性
答案 A
解析 因?yàn)閒(-x)=2tan x=-2tan(-x)=-f(x),且f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以函數(shù)f(x)=2tan(-x)是奇函數(shù).
3.已知函數(shù)y 15、=tan ωx在內(nèi)是減函數(shù),則( )
A.0<ω≤1 B.-1≤ω<0
C.ω≥1 D.ω≤-1
考點(diǎn) 正切函數(shù)的單調(diào)性
題點(diǎn) 正切函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用
答案 B
解析 ∵y=tan ωx在內(nèi)是減函數(shù),∴ω<0且T=≥π,∴-1≤ω<0.
4.下列各點(diǎn)中,不是函數(shù)y=tan的圖象的對(duì)稱中心的是( )
A. B.
C. D.
考點(diǎn) 正切函數(shù)的周期性、對(duì)稱性
題點(diǎn) 正切函數(shù)的對(duì)稱性
答案 C
解析 令-2x=,k∈Z,得x=-.
令k=0,得x=;
令k=1,得x=-;
令k=2,得x=-.故選C.
5.函數(shù)f(x)=tan ωx (ω>0)的圖象 16、的相鄰兩支截直線y=所得的線段長(zhǎng)為,則f的值是( )
A.0 B.1 C.-1 D.
考點(diǎn) 正切函數(shù)的周期性、對(duì)稱性
題點(diǎn) 正切函數(shù)的周期性
答案 A
解析 由題意,得T==,∴ω=4.
∴f(x)=tan 4x,f=tan π=0.
6.函數(shù)y=tan x+sin x-|tan x-sin x|在區(qū)間內(nèi)的圖象是( )
考點(diǎn) 正切函數(shù)的圖象
題點(diǎn) 正切函數(shù)的圖象
答案 D
解析 當(dāng) 17、山模擬)已知函數(shù)f(x)=,則下列說(shuō)法正確的是( )
A.f(x)的周期是
B.f(x)的值域是{y|y∈R,且y≠0}
C.直線x=是函數(shù)f(x)圖象的一條對(duì)稱軸
D.f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是,k∈Z
考點(diǎn) 正切函數(shù)的綜合應(yīng)用
題點(diǎn) 正切函數(shù)的綜合應(yīng)用
答案 D
解析 函數(shù)f(x)的周期為2π,A錯(cuò);f(x)的值域?yàn)閇0,+∞),B錯(cuò);當(dāng)x=時(shí),x-=≠,k∈Z,
∴x=不是f(x)的對(duì)稱軸,C錯(cuò);
令kπ- 18、最小正周期為2π,則f=________.
考點(diǎn) 正切函數(shù)的周期性、對(duì)稱性
題點(diǎn) 正切函數(shù)的周期性
答案 1
解析 由已知=2π,所以ω=,
所以f(x)=tan,
所以f=tan=tan =1.
9.比較大?。簍an________tan .
考點(diǎn) 正切函數(shù)的單調(diào)性
題點(diǎn) 正切函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用
答案 <
解析 tan=tan ,tan=tan ,
又y=tan x在內(nèi)單調(diào)遞增,
所以tan 19、值域
答案 [-4,4]
解析 ∵-≤x≤,∴-1≤tan x≤1.
令tan x=t,則t∈[-1,1],
∴y=-t2+4t+1=-(t-2)2+5.
∴當(dāng)t=-1,即x=-時(shí),ymin=-4,
當(dāng)t=1,即x=時(shí),ymax=4.
故所求函數(shù)的值域?yàn)閇-4,4].
11.已知函數(shù)f(x),任意x1,x2∈(x1≠x2),給出下列結(jié)論:
①f(x+π)=f(x);②f(-x)=f(x);③f(0)=1;
④>0;⑤f>.
當(dāng)f(x)=tan x時(shí),正確結(jié)論的序號(hào)為_(kāi)_______.
考點(diǎn) 正切函數(shù)的綜合應(yīng)用
題點(diǎn) 正切函數(shù)的綜合應(yīng)用
答案?、佗?
解析 由于f(x 20、)=tan x的周期為π,故①正確;函數(shù)f(x)=tan x為奇函數(shù),故②不正確;f(0)=tan 0=0,故③不正確;④表明函數(shù)為增函數(shù),而f(x)=tan x為區(qū)間上的增函數(shù),故④正確;⑤由函數(shù)f(x)=tan x的圖象可知,函數(shù)在區(qū)間上有f>,在區(qū)間上有f<,故⑤不正確.
三、解答題
12.判斷函數(shù)f(x)=lg的奇偶性.
考點(diǎn) 正切函數(shù)的周期性、對(duì)稱性
題點(diǎn) 正切函數(shù)的奇偶性
解 由>0,得tan x>1或tan x<-1.
∴函數(shù)定義域?yàn)椤?k∈Z),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.
f(-x)+f(x)=lg +lg
=lg=lg 1=0.
∴f(-x)=-f(x),∴f(x)是 21、奇函數(shù).
13.畫(huà)出函數(shù)y=|tan x|的圖象,并根據(jù)圖象判斷其單調(diào)區(qū)間、奇偶性、周期性.
考點(diǎn) 正切函數(shù)的綜合應(yīng)用
題點(diǎn) 正切函數(shù)的綜合應(yīng)用
解 由y=|tan x|,得
y=
其圖象如圖所示.
由圖象可知,函數(shù)y=|tan x|是偶函數(shù),
單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z),
單調(diào)遞減區(qū)間為(k∈Z),周期為π.
四、探究與拓展
14.函數(shù)y=sin x與y=tan x的圖象在區(qū)間[0,2π]上交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是多少?
考點(diǎn) 正切函數(shù)的圖象
題點(diǎn) 正切函數(shù)的圖象
解 因?yàn)楫?dāng)x∈時(shí),tan x>x>sin x,
所以當(dāng)x∈時(shí),y=sin x與y=tan x沒(méi)有公共點(diǎn),因此 22、函數(shù)y=sin x與y=tan x在區(qū)間[0,2π]內(nèi)的圖象如圖所示,
觀察圖象可知,函數(shù)y=tan x與y=sin x在區(qū)間[0,2π]上有3個(gè)交點(diǎn).
15.設(shè)函數(shù)f(x)=tan(ωx+φ),已知函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為,且圖象關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)求不等式-1≤f(x)≤的解集.
考點(diǎn) 正切函數(shù)的綜合應(yīng)用
題點(diǎn) 正切函數(shù)的綜合應(yīng)用
解 (1)由題意知,函數(shù)f(x)的最小正周期為T(mén)=,
即=.
因?yàn)棣?0,所以ω=2,
從而f(x)=tan(2x+φ).
因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱,
所以2×+φ=,k∈Z,
即φ=+,k∈Z.
因?yàn)?<φ<,所以φ=,
故f(x)=tan.
(2)令-+kπ<2x+<+kπ,k∈Z,
得-+kπ<2x
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