2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 三角函數(shù)、平面向量 第二講 三角恒等變換與解三角形學(xué)案 理

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1、2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 三角函數(shù)、平面向量 第二講 三角恒等變換與解三角形學(xué)案 理 考點(diǎn)一 三角恒等變換與求值 1.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ. (2)cos(α±β)=cosαcosβ?sinαsinβ. (3)tan(α±β)=. 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin2α=2sinαcosα. (2)cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α. (3)tan2α=. 3.輔助角公式 asinx+bcosx=sin(x+φ). [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練] 1.

2、(2018·山西長治二模)已知sinα=,α∈,則cos的值為(  ) A. B. C. D. [解析] ∵sinα=,α∈,∴cosα=,sin2α=2sinαcosα=2××==,cos2α=1-2sin2α=1-2×2=1-=,∴cos=×-×=.故選A. [答案] A 2.(2018·河南濮陽一模)設(shè)0°<α<90°,若sin(75°+2α)=-,則sin(15°+α)·sin(75°-α)=(  ) A. B. C.- D.- [解析] 因?yàn)?°<α<90°,所以75°<75°+2α<255°. 又因?yàn)閟in(75°+2α)=-<0,所以180°<75°

3、+2α<255°,角75°+2α為第三象限角,所以cos(75°+2α)=-.所以sin(15°+α)·sin(75°-α)=sin(15°+α)·cos(15°+α)=sin(30°+2α)=sin[(75°+2α)-45°]=[sin(75°+2α)·cos45°-cos(75°+2α)·sin45°]=×=,故選B. [答案] B 3.(2018·豫北名校聯(lián)考)計(jì)算: =________.(用數(shù)字作答) [解析]?。剑剑剑? [答案]  4.(2018·河南六市聯(lián)考)已知cosα=,cos(α-β)=,若0<β<α<,則β=________. [解析] 由cosα=,0<α<

4、,得sinα===,由0<β<α<,得0<α-β<. 又cos(α-β)=, ∴sin(α-β)== =. 由β=α-(α-β)得cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=×+×=. ∵β∈,∴β=. [答案]  [快速審題] (1)看到三角函數(shù)求值,想到已知角與未知角間的和、差、倍的關(guān)系,想到公式求解. (2)看到三角函數(shù)的平方,想到用二倍角公式降冪. (1)三角恒等變換的三原則 ①一看“角”,這是最重要的一環(huán),通過看角之間的差別與聯(lián)系,把角進(jìn)行合理拆分,從而正確使用公式,如2題. ②二看“函數(shù)名稱”,看函數(shù)名稱之間的差異

5、,從而確定使用的公式,常見的有“切化弦”. ③三看“結(jié)構(gòu)特征”,分析結(jié)構(gòu)特征,可以幫助我們找到變形的方向,常見的有“遇到分式要通分”等. (2)解決條件求值應(yīng)關(guān)注的三點(diǎn) ①分析已知角和未知角之間的關(guān)系,正確地用已知角來表示未知角. ②正確地運(yùn)用有關(guān)公式將所求角的三角函數(shù)值用已知角的三角函數(shù)值來表示. ③求解三角函數(shù)中給值求角的問題時(shí),要根據(jù)已知求這個(gè)角的某種三角函數(shù)值,然后結(jié)合角的取值范圍,求出角的大小,如4題. 考點(diǎn)二 解三角形 1.正弦定理 ===2R(2R為△ABC外接圓的直徑). 變形:a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC. sinA=,sinB=,

6、sinC=. a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC. 2.余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB, c2=a2+b2-2abcosC. 推論:cosA=,cosB=, cosC=. 變形:b2+c2-a2=2bccosA,a2+c2-b2=2accosB,a2+b2-c2=2abcosC. 3.面積公式 S△ABC=bcsinA=acsinB=absinC. 角度1:利用正弦、余弦定理判斷三角形的形狀 [解析] 由cosB=1-2sin2得sin2=,∴=,即cosB=. 解法一:由余弦定理得=,即a2+c2-b2=2a

7、2,∴a2+b2=c2. ∴△ABC為直角三角形,又無法判斷兩直角邊是否相等,故選A. 解法二:由正弦定理得cosB=,又sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,∴cosBsinC=sinBcosC+cosBsinC,即sinBcosC=0,又sinB≠0,∴cosC=0,又角C為三角形的內(nèi)角,∴C=,∴△ABC為直角三角形,又無法判斷兩直角邊是否相等,故選A. [答案] A 角度2:利用正弦、余弦定理進(jìn)行邊角計(jì)算 [解] (1)由2cosAcosC(tanAtanC-1)=1, 得2(sinAsinC-cosAcosC)=1, 即cos(A+C)

8、=-, ∴cosB=-cos(A+C)=, 又0

9、2+c2-2accosB=a2+c2-ac, 則3=a2+c2-ac≥2ac-ac,所以ac≤3(當(dāng)且僅當(dāng)a=c=時(shí)取等號(hào)). 所以S△ABC=acsinB≤×3×sin=. 故△ABC面積的最大值為. 利用正、余弦定理解三角形應(yīng)注意的3點(diǎn) (1)利用正、余弦定理解三角形時(shí),涉及邊與角的余弦的積時(shí),常用正弦定理將邊化為角,涉及邊的平方時(shí),一般用余弦定理. (2)涉及邊a,b,c的齊次式時(shí),常用正弦定理轉(zhuǎn)化為角的正弦值,再利用三角公式進(jìn)行變形. (3)涉及正、余弦定理與三角形面積綜合問題,求三角形面積時(shí)用S=absinC形式的面積公式. [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練] 1.[角度1]在△AB

10、C中,若(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)·sin(A+B),則△ABC的形狀為(  ) A.直角三角形 B.等邊三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形 [解析] 因?yàn)?a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B), 所以b2[sin(A+B)+sin(A-B)]=a2[sin(A+B)- sin(A-B)]. 所以a2cosAsinB=b2sinAcosB. 解法一:由正弦定理知a=2RsinA,b=2RsinB, 所以sin2AcosAsinB=sin2BsinAcosB. 又sinA·sinB≠0,所以sinAcosA=s

11、inBcosB, 所以sin2A=sin2B. 在△ABC中,0<2A<2π,0<2B<2π, 所以2A=2B或2A=π-2B, 所以A=B或A+B=. 所以△ABC為等腰或直角三角形. 解法二:由正弦定理、余弦定理得: a2b=b2a, 所以a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2), 所以(a2-b2)(a2+b2-c2)=0, 所以a2-b2=0或a2+b2-c2=0, 即a=b或a2+b2=c2. 所以△ABC為等腰或直角三角形. [答案] C 2.[角度2](2018·河南、河北重點(diǎn)中學(xué)第三次聯(lián)考) 如圖,在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為

12、a,b,c,已知c=4,b=2,2ccosC=b,D,E分別為線段BC上的點(diǎn),且BD=CD,∠BAE=∠CAE. (1)求線段AD的長; (2)求△ADE的面積. [解] (1)因?yàn)閏=4,b=2,2ccosC=b,所以cosC==. 由余弦定理得cosC===, 所以a=4,即BC=4. 在△ACD中,CD=2,AC=2, 所以AD2=AC2+CD2-2AC·CD·cos∠ACD=6,所以AD=. (2)因?yàn)锳E是∠BAC的平分線, 所以===2, 又=,所以=2, 所以CE=BC=,DE=2-=. 又因?yàn)閏osC=,所以sinC==. 所以S△ADE=×DE×

13、AC×sinC=. 考點(diǎn)三 正、余弦定理的實(shí)際應(yīng)用 1.實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后,已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解. 2.實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后,已知量與未知量涉及到兩個(gè)或兩個(gè)以上的三角形,這時(shí)需作出這些三角形,先解夠條件的三角形,然后逐步求解其他三角形,有時(shí)需設(shè)出未知量,從幾個(gè)三角形中列出方程(組),解方程(組)得出所要求的解. [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練] 1.(2018·廣東省五校協(xié)作體高三一診) 如圖所示,在一個(gè)坡度一定的山坡AC的頂上有一高度為25 m的建筑物CD,為了測(cè)量該山坡相對(duì)于水平地面的坡角θ,在山坡的A處測(cè)得∠DAC=15°,沿山坡前進(jìn)50 m到達(dá)B處

14、,又測(cè)得∠DBC=45°,根據(jù)以上數(shù)據(jù)可得cosθ=________. [解析] 由∠DAC=15°,∠DBC=45°可得∠BDA=30°,∠DBA=135°,∠BDC=90°-(15°+θ)-30°=45°-θ,由內(nèi)角和定理可得∠DCB=180°-(45°-θ)-45°=90°+θ,根據(jù)正弦定理可得=,即DB=100sin15°=100×sin(45°-30°)=25(-1),又=,即=,得到cosθ=-1. [答案]?。? 2.(2018·福州綜合質(zhì)量檢測(cè))如圖,小明同學(xué)在山頂A處觀測(cè)到一輛汽車在一條水平的公路上沿直線勻速行駛,小明在A處測(cè)得公路上B,C兩點(diǎn)的俯角分別為30°,4

15、5°,且∠BAC=135°.若山高AD=100 m,汽車從B點(diǎn)到C點(diǎn)歷時(shí)14 s,則這輛汽車的速度約為________m/s.(精確到0.1) 參考數(shù)據(jù):≈1.414,≈2.236. [解析] 因?yàn)樾∶髟贏處測(cè)得公路上B,C兩點(diǎn)的俯角分別為30°,45°,所以∠BAD=60°,∠CAD=45°. 設(shè)這輛汽車的速度為v m/s,則BC=14v m, 在Rt△ADB中,AB===200 m. 在Rt△ADC中,AC===100 m. 在△ABC中,由余弦定理,得BC2=AC2+AB2-2AC·AB·cos∠BAC, 所以(14v)2=(100)2+2002-2×100×200×c

16、os135°,解得v=≈22.6,所以這輛汽車的速度約為22.6 m/s. [答案] 22.6 [快速審題] 看到三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題,想到各類角的概念,想到確定一個(gè)解斜三角形的數(shù)學(xué)模型.  解三角形實(shí)際問題的4步驟 1.(2018·全國卷Ⅲ)若sinα=,則cos2α=(  ) A. B. C.- D.- [解析] 由sinα=,得cos2α=1-2sin2α=1-2×2=1-=.故選B. [答案] B 2.(2018·全國卷Ⅲ)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若△ABC的面積為,則C=(  ) A. B. C. D. [解析] 

17、根據(jù)余弦定理得a2+b2-c2=2abcosC,因?yàn)镾△ABC=,所以S△ABC=,又S△ABC=absinC,所以tanC=1,因?yàn)镃∈(0,π),所以C=.故選C. [答案] C 3.(2018·全國卷Ⅱ)已知sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0,則sin(α+β)=________. [解析] 由sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0, 兩式平方相加,得2+2sinαcosβ+2cosαsinβ=1,整理得 sin(α+β)=-. [答案]?。? 4.(2018·天津卷)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知bsinA=acos. (1

18、)求角B的大??; (2)設(shè)a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值. [解] (1)在△ABC中, 由正弦定理=,可得bsinA=asinB, 又由bsinA=acos,得asinB=acos,即sinB=cos,可得tanB=. 又因?yàn)锽∈(0,π),可得B=. (2)在△ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=,有b2=a2+c2-2accosB=7,故b=. 由bsinA=acos,可得sinA=. 因?yàn)閍

19、×-×=. 1.高考對(duì)此部分的考查一般以“二小”或“一大”的命題形式出現(xiàn). 2.若無解答題,一般在選擇題或填空題各有一題,主要考查三角恒等變換、解三角形,難度一般,一般出現(xiàn)在第4~9或第13~15題位置上. 3.若以解答題命題形式出現(xiàn),主要考查三角函數(shù)與解三角形的綜合問題,一般出現(xiàn)在解答題第17題位置上,難度中等. 熱點(diǎn)課題8 解三角形中的范圍問題 [感悟體驗(yàn)] (2018·河南豫北聯(lián)考)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,且acosC=(2b-c)cosA. (1)求角A的大??; (2)求cos-2sin2的取值范圍. [解] (1)由正弦定理

20、將原等式化為sinAcosC=2sinBcosA-sinCcosA, 從而可得,sin(A+C)=2sinBcosA, 即sinB=2sinBcosA. 又B為三角形的內(nèi)角,所以sinB≠0, 于是cosA=. 又A為三角形的內(nèi)角,因此A=. (2)cos-2sin2 =sinB+cosC-1 =sinB+cos-1 =sinB+coscosB+sinsinB-1 =sinB-cosB-1 =sin-1, 由A=可知,B∈,所以B-∈, 從而sin∈, 因此,sin-1∈, 故cos-2sin2的取值范圍為. 專題跟蹤訓(xùn)練(十五) 一、選擇題 1.(2018

21、·廣東七校聯(lián)考)已知sin+cosα=-,則cos=(  ) A.- B. C.- D. [解析] 由sin+cosα=-,得sinα+cosα+cosα=-,即sinα+cosα=-, 亦即sin=-, ∴sin=-, ∴cos=sin=sin =-,故選C. [答案] C 2.(2018·貴陽監(jiān)測(cè))已知sin=,則cos的值是(  ) A. B. C.- D.- [解析] ∵sin=,∴cos=cos=1-2sin2=,∴cos=cos=cos=-cos=-. [答案] D 3.(2018·湖北武漢模擬)在△ABC中,a=,b=,B=,則A等于(  )

22、 A. B. C. D.或 [解析] 由正弦定理得=,所以sinA===,所以A=或.又a

23、C=,C=,B=,A=,故選A. [答案] A 5.在△ABC中,a、b、c分別是內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊.若bsinA=3csinB,a=3,cosB=,則b=(  ) A.14 B.6 C. D. [解析] bsinA=3csinB?ab=3bc?a=3c?c=1,∴b2=a2+c2-2accosB=9+1-2×3×1×=6,b=,故選D. [答案] D 6.(2018·山東日照二模)如圖所示,在平面四邊形ABCD中,AB=1,BC=2,△ACD為正三角形,則△BCD面積的最大值為(  ) A.2+2 B. C.+2 D.+1 [解析] 在△ABC中,設(shè)∠A

24、BC=α,∠ACB=β,由余弦定理得:AC2=12+22-2×1×2cosα,∵△ACD為正三角形,∴CD2=AC2=5-4cosα,S△BCD=·2·CD·sin=CD·sin=CD·cosβ+CD·sinβ,在△ABC中,由正弦定理得:=,∴AC·sinβ=sinα,∴CD·sinβ=sinα,∴(CD·cosβ)2=CD2(1-sin2β)=CD2-sin2α=5-4cosα-sin2α=(2-cosα)2,∵β<∠BAC,∴β為銳角,CD·cosβ=2-cosα,∴S△BCD=CD·cosβ+CD·sinβ=·(2-cosα)+sinα=+sin,當(dāng)α=時(shí),(S△BCD)max=+1.

25、 [答案] D 二、填空題 7.(2018·長春二模)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且2asinA=(2sinB+sinC)b+(2c+b)sinC,則A=________. [解析] 由已知,根據(jù)正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即a2=b2+c2+bc.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,故cosA=-,又A為三角形的內(nèi)角,故A=120°. [答案] 120° 8.計(jì)算:4cos50°-tan40°=________. [解析] 4cos50°-tan40°=4sin40°- = = = = ==. [答案]  9

26、.(2018·安徽合肥一模)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若cosC=,bcosA+acosB=2,則△ABC的外接圓面積為________. [解析] 已知bcosA+acosB=2,由正弦定理可得2RsinBcosA+2RsinAcosB=2(R為△ABC的外接圓半徑).利用兩角和的正弦公式得2Rsin(A+B)=2,則2RsinC=2,因?yàn)閏osC=,所以sinC=,所以R=3.故△ABC的外接圓面積為9π. [答案] 9π 三、解答題 10.(2018·江蘇卷)已知α,β為銳角,tanα=,cos(α+β)=-. (1)求cos2α的值; (2)求tan(

27、α-β)的值. [解] (1)因?yàn)閠anα=,tanα=,所以sinα=cosα. 因?yàn)閟in2α+cos2α=1,所以cos2α=, 所以cos2α=2cos2α-1=-. (2)因?yàn)棣?,β為銳角,所以α+β∈(0,π), 又因?yàn)閏os(α+β)=-, 所以sin(α+β)==, 因此tan(α+β)=-2. 因?yàn)閠anα=,所以tan2α==-. 因此tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]==-. 11.(2018·河北保定三模)在△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,且滿足cosB=bcosA. (1)若sinA=,a+b=10,求a; (2)若

28、b=3,a=5,求△ABC的面積S. [解] ∵cosB=bcosA, ∴由正弦定理得·cosB=sinBcosA,即有sinCcosB=sinAcosB+cosAsinB,則sinC·cosB=sinC.∵sinC>0,∴cosB=. (1)由cosB=,得sinB=, ∵sinA=,∴==. 又∵a+b=10,∴a=4. (2)∵b2=a2+c2-2accosB,b=3,a=5,∴45=25+c2-8c,即c2-8c-20=0,解得c=10或c=-2(舍去), ∴S=acsinB=15. 12.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知2(tanA+tanB)=+. (1)證明:a+b=2c; (2)求cosC的最小值. [解] (1)證明:由題意知2=+, 化簡得2(sinAcosB+sinBcosA)=sinA+sinB,即2sin(A+B)=sinA+sinB. 因?yàn)锳+B+C=π, 所以sin(A+B)=sin(π-C)=sinC. 從而sinA+sinB=2sinC. 由正弦定理得a+b=2c. (2)由(1)知c=, 所以cosC== =-≥, 當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立. 故cosC的最小值為.

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