《2022高考數(shù)學(xué)一本策略復(fù)習(xí) 專題二 三角函數(shù)、平面向量 第二講 三角恒等變換與解三角形課后訓(xùn)練 文》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2022高考數(shù)學(xué)一本策略復(fù)習(xí) 專題二 三角函數(shù)、平面向量 第二講 三角恒等變換與解三角形課后訓(xùn)練 文(9頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、2022高考數(shù)學(xué)一本策略復(fù)習(xí) 專題二 三角函數(shù)、平面向量 第二講 三角恒等變換與解三角形課后訓(xùn)練 文
一、選擇題
1.(2018·合肥調(diào)研)已知x∈,且cos=sin2x,則tan等于( )
A. B.- C.3 D.-3
解析:由cos=sin2x得sin 2x=sin2x,
∵x∈(0,π),∴tan x=2,
∴tan==.
答案:A
2.(2018·成都模擬)已知sin α=,α∈,則cos的值為( )
A. B.
C. D.
解析:∵sin α=,α∈,∴cos α=,
sin 2α=2sin αcos α=2××==,
cos 2
2、α=1-2sin2α=1-2×2=1-=,
∴cos=×-×=.
答案:A
3.(2018·昆明三中、五溪一中聯(lián)考)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若△ABC的面積為S,且2S=(a+b)2-c2,則tan C等于( )
A. B.
C.- D.-
解析:因為2S=(a+b)2-c2=a2+b2-c2+2ab,
由面積公式與余弦定理,得absin C=2abcos C+2ab,
即sin C-2cos C=2,所以(sin C-2cos C)2=4,
=4,
所以=4,
解得tan C=-或tan C=0(舍去).
答案:C
4.在△ABC中,角
3、A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若0,∴cos B<0,
4、依題意得,BD=AD==,∠BDC=∠ABD+∠A=2∠A.在△BCD中,=,=×=,即=,由此解得cos A=.
答案:C
6.(2018·高考全國卷Ⅰ)已知角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,終邊上有兩點(diǎn)A(1,a),B(2,b),且cos 2α=,則|a-b|=( )
A. B.
C. D.1
解析:由cos 2α=,得cos2α-sin2α=,∴=,即=,∴tan α=±,即=±,
∴|a-b|=.
故選B.
答案:B
7. (2018·武漢調(diào)研)如圖,據(jù)氣象部門預(yù)報,在距離某碼頭南偏東45°方向600 km處的熱帶風(fēng)暴中心正以20 km/h的速度向正北
5、方向移動,距風(fēng)暴中心450 km以內(nèi)的地區(qū)都將受到影響,則該碼頭將受到熱帶風(fēng)暴影響的時間為( )
A.14 h B.15 h
C.16 h D.17 h
解析:記現(xiàn)在熱帶風(fēng)暴中心的位置為點(diǎn)A,t小時后熱帶風(fēng)暴中心到達(dá)B點(diǎn)位置(圖略),在△OAB中,OA=600,AB=20t,∠OAB=45°,根據(jù)余弦定理得6002+400t2-2×20t×600×≤4502,即4t2-120t+1 575≤0,解得≤t≤,所以Δt=-=15(h),故選B.
答案:B
8.(2018·武漢調(diào)研)在銳角△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若a=2bsin C,則 tan A+tan B+t
6、an C的最小值是( )
A.4 B.3
C.8 D.6
解析:由a=2bsin C得sin A=2sin Bsin C,
∴sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bsin C,
即tan B+tan C=2tan Btan C.
又三角形中的三角恒等式tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C,
∴tan Btan C=,
∴tan Atan Btan C=tan A·,
令tan A-2=t,
得tan Atan Btan C==t++4≥8,
當(dāng)且僅當(dāng)t=, 即t=2,tan A=4 時,取等號.
答案:
7、C
二、填空題
9.(2018·廣西三市一聯(lián))在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若asin B=sin C,cos C=,△ABC的面積為4,則c=________.
解析:由asin B=sin C,得ab=c,
由cos C=,得sin C=,
則S△ABC=absin C=c=4,解得c=6.
答案:6
10.(2018·皖南八校聯(lián)考)若α∈,cos=2cos 2α,則sin 2α=________.
解析:由已知得(cos α+sin α)=2(cos α-sin α)·(cos α+sin α),所以cos α+sin α=0或cos α-sin α
8、=,
由cos α+sin α=0得tan α=-1,因為α∈,所以cos α+sin α=0不滿足條件;
由cos α-sin α=,兩邊平方得 1-sin 2α=,
所以sin 2α=.
答案:
11.已知△ABC中,AB+AC=6,BC=4,D為BC的中點(diǎn),則當(dāng)AD最小時,△ABC的面積為________.
解析:AC2=AD2+CD2-2AD·CD·cos∠ADC,
且AB2=AD2+BD2-2AD·BD·cos∠ADB,
即AC2=AD2+22-4AD·cos∠ADC,
且(6-AC)2=AD2+22-4AD·cos∠ADB,
∵∠ADB=π-∠ADC,
∴AC
9、2+(6-AC)2=2AD2+8,
∴AD2==,
當(dāng)AC=2時,AD取最小值,
此時cos∠ACB==,
∴sin∠ACB=,
∴△ABC的面積S=AC·BC·sin∠ACB=.
答案:
12.(2018·成都模擬)已知△ABC中,AC=,BC=,△ABC的面積為.若線段BA的延長線上存在點(diǎn)D,使∠BDC=,則CD=________.
解析:因為S△ABC=AC·BC·sin∠BCA,
即=×××sin∠BCA,
所以sin∠BCA=.
因為∠BAC>∠BDC=,
所以∠BCA=,所以cos∠BCA=.
在△ABC中,
AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos
10、∠BCA
=2+6-2×××=2,
所以AB=,所以∠ABC=,
在△BCD中,=,
即=,解得CD=.
答案:
三、解答題
13.(2018·武漢調(diào)研)在銳角△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,滿足cos 2A-cos 2B+2coscos=0.
(1)求角A的值;
(2)若b=且b≤a,求a的取值范圍.
解析:(1)由cos 2A-cos 2B+2coscos=0,
得2sin2B-2sin2A+2=0,
化簡得sin A=,又△ABC為銳角三角形,故A=.
(2)∵b=≤a,∴c≥a,∴≤C<,
11、=,∴a=,
由sin B∈得a∈[,3).
14.(2018·唐山模擬)在△ABC中,AB=2AC=2,AD是BC邊上的中線,記∠CAD=α,∠BAD=β.
(1)求sin α∶sin β;
(2)若tan α=sin ∠BAC,求BC.
解析:(1)∵AD為BC邊上的中線,
∴S△ACD=S△ABD,
∴AC·ADsin α=AB·ADsin β,
∴sin α∶sin β=AB∶AC=2∶1.
(2)∵tan α=sin ∠BAC=sin(α+β),
∴sin α=sin(α+β)cos α,
∴2sin β=sin(α+β)cos α,
∴2sin[(α+β)-
12、α]=sin(α+β)cos α,
∴sin(α+β)cos α=2cos(α+β)sin α,
∴sin(α+β)=2cos(α+β)tan α,
又tan α=sin ∠BAC=sin(α+β)≠0,
∴cos(α+β)=cos ∠BAC=,
在△ABC中,BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos ∠BAC=3,
∴BC=.
15.(2018·廣州模擬)已知a,b,c是△ABC中角A,B,C的對邊,且3cos Bcos C+2=3sin Bsin C+2cos2A.
(1)求角A的大小;
(2)若△ABC的面積S=5,b=5,求sin Bsin C的值.
解析:(1)
13、由3cos Bcos C+2=3sin Bsin C+2cos2A,
得3cos(B+C)+2=2cos2A,
即2cos2A+3cos A-2=0,
即(2cos A-1)(cos A+2)=0,
解得cos A=或cos A=-2(舍去).
因為0
14、c分別是內(nèi)角A,B,C的對邊,且(a+c)2=b2+3ac.
(1)求角B的大??;
(2)若b=2,且sin B+sin(C-A)=2sin 2A,求△ABC的面積.
解析:(1)由(a+c)2=b2+3ac,整理得a2+c2-b2=ac,
由余弦定理得cos B===,
∵0
15、n A=4sin Acos A,
整理得cos Asin C=2sin Acos A.
若cos A=0,則A=,
由b=2,可得c==,
此時△ABC的面積S=bc=.
若cos A≠0,則sin C=2sin A,
由正弦定理可知,c=2a,
代入a2+c2-b2=ac,整理可得3a2=4,解得a=,∴c=,
此時△ABC的面積S=acsin B=.
綜上所述,△ABC的面積為.
17.(2018·常德市模擬)已知函數(shù)f(x)=sin ωx+mcos ωx(ω>0,m>0)的最小值為-2,且圖象上相鄰兩個最高點(diǎn)的距離為π.
(1)求ω和m的值;
(2)若f=,θ∈,求f的值.
解析:(1)易知f(x)=sin(ωx+φ)(φ為輔助角),
∴f(x)min=-=-2,∴m=.
由題意知函數(shù)f(x)的最小正周期為π,∴=π,
∴ω=2.
(2)由(1)得f(x)=sin 2x+cos 2x
=2sin,
∴f=2sin=,
∴sin=.
∵θ∈,∴θ+∈,
∴cos=-=-,
∴sin θ=sin=sincos -cos sin =,
∴f=2sin
=2sin=2cos 2θ=2(1-2sin2θ)
=2=-.