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1、2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題五 立體幾何 專題能力訓(xùn)練14 空間中的平行與垂直 文
1.如圖,在下列四個(gè)正方體中,A,B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn),M,N,Q為所在棱的中點(diǎn),則在這四個(gè)正方體中,直線AB與平面MNQ不平行的是( )
2.如圖,在正方形ABCD中,E,F分別是BC,CD的中點(diǎn),沿AE,AF,EF把正方形折成一個(gè)四面體,使B,C,D三點(diǎn)重合,重合后的點(diǎn)記為P,點(diǎn)P在△AEF內(nèi)的射影為O.則下列說法正確的是( )
A.O是△AEF的垂心 B.O是△AEF的內(nèi)心
C.O是△AEF的外心 D.O是△AEF的重心
3.已知m,n是兩條不
2、同的直線,α,β是兩個(gè)不同的平面,給出下列命題:①若α⊥β,m∥α,則m⊥β;②若m⊥α,n⊥β,且m⊥n,則α⊥β;③若m⊥β,m∥α,則α⊥β;④若m∥α,n∥β,且m∥n,則α∥β.
其中正確命題的序號(hào)是( )
A.①④ B.②③ C.②④ D.①③
4.平面α過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,則m,n所成角的正弦值為( )
A. B. C. D.
5.已知正四棱錐S-ABCD的底面邊長(zhǎng)為2,高為2,E是邊BC的中點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P在表面上運(yùn)動(dòng),并且總保持PE⊥AC,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的周長(zhǎng)為 .?
3、
6.下列命題正確的是 .(填上你認(rèn)為正確的所有命題的序號(hào))?
①空間中三個(gè)平面α,β,γ,若α⊥β,γ⊥β,則α∥γ;
②若a,b,c為三條兩兩異面的直線,則存在無數(shù)條直線與a,b,c都相交;
③若球O與棱長(zhǎng)為a的正四面體各面都相切,則該球的表面積為a2;
④在三棱錐P-ABC中,若PA⊥BC,PB⊥AC,則PC⊥AB.
7.
如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M為線段AD上一點(diǎn),AM=2MD,N為PC的中點(diǎn).
(1)證明MN∥平面PAB;
(2)求四面體N-BCM的體積.
8.
4、
如圖,在四棱錐P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC.
(1)求證:DC⊥平面PAC;
(2)求證:平面PAB⊥平面PAC;
(3)設(shè)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn),在棱PB上是否存在點(diǎn)F,使得PA∥平面CEF?說明理由.
9.(2018天津,文17)
如圖,在四面體ABCD中,△ABC是等邊三角形,平面ABC⊥平面ABD,點(diǎn)M為棱AB的中點(diǎn),AB=2,AD=2,∠BAD=90°.
(1)求證:AD⊥BC;
(2)求異面直線BC與MD所成角的余弦值;
(3)求直線CD與平面ABD所成角的正弦值.
10.
(2018北京,文18
5、)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E,F分別為AD,PB的中點(diǎn).
(1)求證:PE⊥BC;
(2)求證:平面PAB⊥平面PCD;
(3)求證:EF∥平面PCD.
二、思維提升訓(xùn)練
11.如圖①,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=,AB=BC=AD=a,E是AD的中點(diǎn),O是AC與BE的交點(diǎn).將△ABE沿BE折起到圖②中△A1BE的位置,得到四棱錐A1-BCDE.
圖①
圖②
(1)證明:CD⊥平面A1OC;
(2)當(dāng)平面A1BE⊥平面BCDE時(shí),四棱錐A1-
6、BCDE的體積為36,求a的值.
12.如圖,AB是圓O的直徑,點(diǎn)C是的中點(diǎn),點(diǎn)V是圓O所在平面外一點(diǎn),D是AC的中點(diǎn),已知AB=2,VA=VB=VC=2.
(1)求證:OD∥平面VBC;
(2)求證:AC⊥平面VOD;
(3)求棱錐C-ABV的體積.
13.已知在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=,點(diǎn)D為AC的中點(diǎn),點(diǎn)E在線段AA1上.
(1)當(dāng)AE∶EA1=1∶2時(shí),求證:DE⊥BC1.
(2)是否存在點(diǎn)E,使三棱錐C1-BDE的體積恰為三棱柱ABC-A1B1C1體積的?若存在,求AE的長(zhǎng),若不存在,請(qǐng)說明理由.
14.
如
7、圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥底面ABC,AB⊥BC,DE垂直平分線段PC,且分別交AC,PC于D,E兩點(diǎn),PB=BC,PA=AB.
(1)求證:PC⊥平面BDE;
(2)若點(diǎn)Q是線段PA上任一點(diǎn),判斷BD,DQ的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(3)若AB=2,求三棱錐B-CED的體積.
專題能力訓(xùn)練14 空間中的平行與垂直
一、能力突破訓(xùn)練
1.A 解析 易知選項(xiàng)B中,AB∥MQ,且MQ?平面MNQ,AB?平面MNQ,則AB∥平面MNQ;選項(xiàng)C中,AB∥MQ,且MQ?平面MNQ,AB?平面MNQ,則AB∥平面MNQ;選項(xiàng)D中,AB∥NQ,且NQ?平面MNQ,AB?平面MNQ,
8、則AB∥平面MNQ,故排除選項(xiàng)B,C,D.故選A.
2.A 解析 如圖,易知PA,PE,PF兩兩垂直,∴PA⊥平面PEF,
從而PA⊥EF,
而PO⊥平面AEF,
則PO⊥EF,
∴EF⊥平面PAO,∴EF⊥AO.
同理可知AE⊥FO,AF⊥EO,
∴O為△AEF的垂心.
3.B 解析 當(dāng)α⊥β,m∥α?xí)r,有m⊥β,m∥β,m?β等多種可能情況,所以①不正確;當(dāng)m⊥α,n⊥β,且m⊥n時(shí),由面面垂直的判定定理知α⊥β,所以②正確;因?yàn)閙⊥β,m∥α,所以α⊥β,③正確;若m∥α,n∥β,且m∥n,則α∥β或α,β相交,④不正確.故選B.
4.A 解析 (方法一)∵α∥平面
9、CB1D1,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,α∩平面ABCD=m,平面CB1D1∩平面A1B1C1D1=B1D1,∴m∥B1D1.
∵α∥平面CB1D1,平面ABB1A1∥平面DCC1D1,α∩平面ABB1A1=n,平面CB1D1∩平面DCC1D1=CD1,
∴n∥CD1.
∴B1D1,CD1所成的角等于m,n所成的角,
即∠B1D1C等于m,n所成的角.
∵△B1D1C為正三角形,∴∠B1D1C=60°,
∴m,n所成的角的正弦值為.
(方法二)由題意畫出圖形如圖,將正方體ABCD-A1B1C1D1平移,
補(bǔ)形為兩個(gè)全等的正方體如圖,易證平面AEF∥平面CB1D1,所
10、以平面AEF即為平面α,m即為AE,n即為AF,所以AE與AF所成的角即為m與n所成的角.
因?yàn)椤鰽EF是正三角形,所以∠EAF=60°,
故m,n所成角的正弦值為.
5. 解析 如圖,取CD的中點(diǎn)F,SC的中點(diǎn)G,連接EF,EG,FG.
設(shè)EF交AC于點(diǎn)H,連接GH,易知AC⊥EF.
又GH∥SO,∴GH⊥平面ABCD,
∴AC⊥GH.
又GH∩EF=H,∴AC⊥平面EFG.
故點(diǎn)P的軌跡是△EFG,其周長(zhǎng)為.
6.②③④ 解析 ①中也可以α與γ相交;②作平面與a,b,c都相交;③中可得球的半徑為r=a;④中由PA⊥BC,PB⊥AC得點(diǎn)P在底面△ABC的射影為△ABC的
11、垂心,故PC⊥AB.
7.(1)證明 由已知得AM=AD=2.
取BP的中點(diǎn)T,連接AT,TN,由N為PC中點(diǎn)知TN∥BC,TN=BC=2.
又AD∥BC,故TNAM,四邊形AMNT為平行四邊形,于是MN∥AT.
因?yàn)锳T?平面PAB,MN?平面PAB,
所以MN∥平面PAB.
(2)解 因?yàn)镻A⊥平面ABCD,N為PC的中點(diǎn),
所以N到平面ABCD的距離為PA.
取BC的中點(diǎn)E,連接AE.
由AB=AC=3得AE⊥BC,AE=.
由AM∥BC得M到BC的距離為,
故S△BCM=×4×=2.所以四面體N-BCM的體積VN-BCM=×S△BCM×.
12、
8.(1) 證明 因?yàn)镻C⊥平面ABCD,所以PC⊥DC.
又因?yàn)镈C⊥AC,
所以DC⊥平面PAC.
(2)證明 因?yàn)锳B∥DC,DC⊥AC,
所以AB⊥AC.
因?yàn)镻C⊥平面ABCD,
所以PC⊥AB.所以AB⊥平面PAC.
所以平面PAB⊥平面PAC.
(3)解 棱PB上存在點(diǎn)F,使得PA∥平面CEF.證明如下:
取PB中點(diǎn)F,連接EF,CE,CF.
又因?yàn)镋為AB的中點(diǎn),所以EF∥PA.
又因?yàn)镻A?平面CEF,所以PA∥平面CEF.
9.(1)證明 由平面ABC⊥平面ABD,平面ABC∩平面ABD=AB,AD⊥AB,可得AD⊥平面ABC,故AD⊥BC.
13、
(2)解 取棱AC的中點(diǎn)N,連接MN,ND.又因?yàn)镸為棱AB的中點(diǎn),故MN∥BC.所以∠DMN(或其補(bǔ)角)為異面直線BC與MD所成的角.
在Rt△DAM中,AM=1,故DM=.因?yàn)锳D⊥平面ABC,故AD⊥AC.在Rt△DAN中,AN=1,故DN=.
在等腰三角形DMN中,MN=1,可得cos∠DMN=.
所以,異面直線BC與MD所成角的余弦值為.
(3)解 連接CM.因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形, M為邊AB的中點(diǎn),故CM⊥AB,CM=.又因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面ABD,而CM?平面ABC,故CM⊥平面ABD.所以,∠CDM為直線CD與平面ABD所成的角.
在Rt△CAD中,CD==
14、4.
在Rt△CMD中,sin∠CDM=.
所以,直線CD與平面ABD所成角的正弦值為.
10.證明 (1)∵PA=PD,且E為AD的中點(diǎn),
∴PE⊥AD.
∵底面ABCD為矩形,∴BC∥AD,∴PE⊥BC.
(2)∵底面ABCD為矩形,∴AB⊥AD.
∵平面PAD⊥平面ABCD,∴AB⊥平面PAD.
∴AB⊥PD.
又PA⊥PD,PA∩AB=A,
∴PD⊥平面PAB.
∵PD?平面PCD,∴平面PAB⊥平面PCD.
(3)如圖,取PC的中點(diǎn)G,連接FG,GD.
∵F,G分別為PB和PC的中點(diǎn),
∴FG∥BC,且FG=BC.
∵四邊形ABCD為矩形,且E為AD
15、的中點(diǎn),
∴ED∥BC,ED=BC,
∴ED∥FG,且ED=FG,
∴四邊形EFGD為平行四邊形,
∴EF∥GD.
又EF?平面PCD,GD?平面PCD,
∴EF∥平面PCD.
二、思維提升訓(xùn)練
11.(1)證明 在題圖①中,因?yàn)锳B=BC=AD=a,E是AD的中點(diǎn),∠BAD=,所以BE⊥AC.
即在題圖②中,BE⊥A1O,BE⊥OC,
從而BE⊥平面A1OC,
又CD∥BE,所以CD⊥平面A1OC.
(2)解 由已知,平面A1BE⊥平面BCDE,
且平面A1BE∩平面BCDE=BE,
又由(1),A1O⊥BE,所以A1O⊥平面BCDE,
即A1O是四棱錐A1-B
16、CDE的高.
由題圖①知,A1O=AB=a,平行四邊形BCDE的面積S=BC·AB=a2.
從而四棱錐A1-BCDE的體積為V=×S×A1O=×a2×a=a3,由a3=36,得a=6.
12.(1)證明 ∵O,D分別是AB和AC的中點(diǎn),∴OD∥BC.
又OD?平面VBC,BC?平面VBC,
∴OD∥平面VBC.
(2)證明 ∵VA=VB,O為AB中點(diǎn),∴VO⊥AB.
在△VOA和△VOC中,OA=OC,VO=VO,VA=VC,
∴△VOA≌△VOC,
∴∠VOA=∠VOC=90°,
∴VO⊥OC.
∵AB∩OC=O,AB?平面ABC,OC?平面ABC,
∴VO⊥平面AB
17、C.又AC?平面ABC,
∴AC⊥VO.
∵VA=VC,D是AC的中點(diǎn),∴AC⊥VD.
∵VO?平面VOD,VD?平面VOD,VO∩VD=V,
∴AC⊥平面VOD.
(3)解 由(2)知VO是棱錐V-ABC的高,且VO=.
∵點(diǎn)C是的中點(diǎn),
∴CO⊥AB,且CO=1,AB=2,
∴△ABC的面積S△ABC=AB·CO=×2×1=1,
∴棱錐V-ABC的體積為VV-ABC=S△ABC·VO=×1×,故棱錐C-ABV的體積為.
13.(1)證明 因?yàn)槿庵鵄BC-A1B1C1為正三棱柱,所以△ABC是正三角形.
因?yàn)镈是AC的中點(diǎn),所以BD⊥AC.
又平面ABC⊥平面CAA
18、1C1,所以BD⊥DE.
因?yàn)锳E∶EA1=1∶2,AB=2,AA1=,
所以AE=,AD=1,
所以在Rt△ADE中,∠ADE=30°.
在Rt△DCC1中,∠C1DC=60°,
所以∠EDC1=90°,即DE⊥DC1.
因?yàn)镃1D∩BD=D,所以DE⊥平面BC1D,
所以DE⊥BC1.
(2)解 假設(shè)存在點(diǎn)E滿足題意.
設(shè)AE=h,則A1E=-h,
所以-S△AED-=2h-(-h)-h.
因?yàn)锽D⊥平面ACC1A1,
所以h,又V棱柱=×2×=3,
所以h=1,解得h=,
故存在點(diǎn)E,當(dāng)AE=,即E與A1重合時(shí),三棱錐C1-BDE的體積恰為三棱柱ABC-A1B
19、1C1體積的.
14.(1)證明 ∵DE垂直平分線段PC,PB=BC,∴DE⊥PC,BE⊥PC.
又BE∩DE=E,∴PC⊥平面BDE.
(2)解 BD⊥DQ.證明如下:由(1)得,PC⊥BD.
∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥BD.
又PC∩PA=P,∴BD⊥平面PAC,
當(dāng)點(diǎn)Q是線段PA上任一點(diǎn)時(shí)都有DQ?平面PAC,∴BD⊥DQ.
(3)解 ∵PA=AB=2,
∴PB=BC=2.
∵AB⊥BC,∴AC=2,∴PC=4,CE=2,且BD=.
∵△CDE∽△CPA,
∴,
∴DE=.
由(2)可知:BD⊥DE,
∴VB-CED=VC-BDE=S△BDE·CE
=×2=.