2022高考數(shù)學二輪復習 專題八 選考4系列選講 第一講 選考4-4 坐標系與參數(shù)方程學案 理
《2022高考數(shù)學二輪復習 專題八 選考4系列選講 第一講 選考4-4 坐標系與參數(shù)方程學案 理》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《2022高考數(shù)學二輪復習 專題八 選考4系列選講 第一講 選考4-4 坐標系與參數(shù)方程學案 理(12頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、2022高考數(shù)學二輪復習 專題八 選考4系列選講 第一講 選考4-4 坐標系與參數(shù)方程學案 理 考點一 極坐標方程及應用 1.直角坐標與極坐標的互化公式 把直角坐標系的原點作為極點,x軸正半軸作為極軸,并在兩坐標系中取相同的長度單位.設M是平面內(nèi)任意一點,它的直角坐標是(x,y),極坐標是(ρ,θ),則 2.幾個特殊位置的圓的極坐標方程 (1)當圓心位于極點,半徑為r:ρ=r. (2)當圓心位于M(a,0),半徑為a:ρ=2acosθ. (3)當圓心位于M,半徑為a:ρ=2asinθ. 3.幾個特殊位置的直線的極坐標方程 (1)直線過極點:θ=θ0和θ=π+θ0.
2、 (2)直線過點M(a,0)且垂直于極軸:ρcosθ=a. (3)直線過M且平行于極軸:ρsinθ=b. [解] (1)設P的極坐標為(ρ,θ)(ρ>0),M的極坐標為(ρ1,θ)(ρ1>0).由題設知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=. 由|OM|·|OP|=16得C2的極坐標方程 ρ=4cosθ(ρ>0). 因此C2的直角坐標方程為(x-2)2+y2=4(x≠0). (2)設點B的極坐標為(ρB,α)(ρB>0). 由題設知|OA|=2,ρB=4cosα,于是△OAB面積 S=|OA|·ρB·sin∠AOB =4cosα· =2≤2+. 當α=-時,S取得最大值
3、2+. 所以△OAB面積的最大值為2+. 解決極坐標問題應關注的兩點 (1)用極坐標系解決問題時要注意已知的幾何關系,如果幾何關系不容易通過極坐標表示時,可以先化為直角坐標,將不熟悉的問題轉化為熟悉的問題來解決. (2)在極坐標與直角坐標互化的過程中,需要注意當條件涉及“角度”和“距離”時,利用極坐標將會給問題的解決帶來很大的便利. [對點訓練] (2018·福建福州四校聯(lián)考)在平面直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),直線C2的方程為y=x.以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系. (1)求曲線C1和直線C2的極坐標方程; (2)若直線C2
4、與曲線C1交于A,B兩點,求+. [解] (1)由曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),得曲線C1的普通方程為(x-2)2+(y-2)2=1, 則C1的極坐標方程為ρ2-4ρcosθ-4ρsinθ+7=0, 由于直線C2過原點,且傾斜角為,故其極坐標方程為θ=(ρ∈R). (2)由得ρ2-(2+2)ρ+7=0,設A,B對應的極徑分別為ρ1,ρ2,則ρ1+ρ2=2+2,ρ1ρ2=7, ∴+===. 考點二 參數(shù)方程及應用 1.圓的參數(shù)方程 以O′(a,b)為圓心,r為半徑的圓的參數(shù)方程是其中α是參數(shù). 2.橢圓的參數(shù)方程 橢圓+=1(a>b>0)的參數(shù)方程是其中φ是參數(shù). 3.
5、直線的參數(shù)方程 (1)經(jīng)過點P0(x0,y0),傾斜角為α的直線的參數(shù)方程是其中t是參數(shù). (2)若A,B為直線l上兩點,其對應的參數(shù)分別為t1,t2,線段AB的中點為M,點M所對應的參數(shù)為t0,則以下結論在解題中經(jīng)常用到: ①t0=; ②|PM|=|t0|=; ③|AB|=|t2-t1|; ④|PA|·|PB|=|t1·t2|. 角度1:參數(shù)方程與普通方程的互化 [解] (1)曲線C的普通方程為+y2=1. 當a=-1時,直線l的普通方程為x+4y-3=0. 由 解得或 從而C與l的交點坐標為(3,0),. (2)直線l的普通方程為x+4y-a-4=0,
6、故C上的點(3cosθ,sinθ)到l的距離d=. 當a≥-4時,d的最大值為.由題設得=,所以a=8; 當a<-4時,d的最大值為.由題設得=,所以a=-16. 綜上,a=8或a=-16.角度2:直線參數(shù)方程中參數(shù)幾何意義的應用 [解] (1)曲線C的普通方程為+=1. 當cosα≠0時,l的普通方程為y=tanα·x+2-tanα, 當cosα=0時,l的普通方程為x=1. (2)將l的參數(shù)方程代入C的普通方程,整理得關于t的方程(1+3cos2α)t2+4(2cosα+sinα)t-8=0.① 因為曲線C截直線l所得線段的中點坐標為(1,2), 所以①有
7、兩個解,設為t1,t2,則t1+t2=0. 又由①得t1+t2=, 故2cosα+sinα=0,于是直線l的斜率k=tanα=-2. 解決參數(shù)方程問題的3個要點 (1)把參數(shù)方程化為普通方程,需要根據(jù)其結構特征,選取適當?shù)南麉⒎椒ǎ? (2)把普通方程化為參數(shù)方程的關鍵是選準參數(shù),注意參數(shù)的幾何意義及變化范圍. (3)直線參數(shù)方程為(α為傾斜角,t為參數(shù)),其中|t|=|PM|,P(x,y)為動點,M(x0,y0)為定點,在解決與點P有關的弦長和距離的乘積問題時廣泛應用. [對點訓練] 1.[角度1]設直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù),α為傾斜角),圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)
8、). (1)若直線l經(jīng)過圓C的圓心,求直線l的斜率; (2)若直線l與圓C交于兩個不同的點,求直線l的斜率的取值范圍. [解] (1)由已知得直線l經(jīng)過的定點是P(3,4),而圓C的圓心是C(1,-1), 所以,當直線l經(jīng)過圓C的圓心時,直線l的斜率為k=. (2)解法一:由圓C的參數(shù)方程得圓C的圓心是C(1,-1),半徑為2. 由直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù),α為傾斜角),得直線l的普通方程為y-4=k(x-3)(斜率存在), 即kx-y+4-3k=0. 當直線l與圓C交于兩個不同的點時,圓心到直線的距離小于圓的半徑, 即<2,解得k>. 即直線l的斜率的取值范圍為. 解
9、法二:將圓C的參數(shù)方程化成普通方程為(x-1)2+(y+1)2=4?、?, 將直線l的參數(shù)方程代入①式,得 t2+2(2cosα+5sinα)t+25=0. ②. 當直線l與圓C交于兩個不同的點時,方程②有兩個不相等的實根,即Δ=4(2cosα+5sinα)2-100>0, 即20sinαcosα>21cos2α,兩邊同除以20cos2α,得tanα>,即直線l的斜率的取值范圍為. 2.[角度2](2018·鄭州一模)已知直線l:(t為參數(shù)).以坐標原點為極點,x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為ρ=2cosθ. (1)將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程. (2
10、)設點M的直角坐標為(5,),直線l與曲線C的交點為A,B,求|MA|·|MB|的值. [解] (1)∵ρ=2cosθ,∴ρ2=2ρcosθ, ∴曲線C的直線坐標方程為x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1. (2)將直線l:(t為參數(shù))代入曲線C的直角坐標方程中,化簡得t2+5t+18=0,且Δ>0.∴t1t2=18. ∵點M(5,)在直線l上,根據(jù)直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義,得|MA|·|MB|=|t1t2|=18. 考點三 極坐標方程與參數(shù)方程的綜合應用 1.對于參數(shù)方程或極坐標方程應用不夠熟練的情況下,我們可以先化成直角坐標的普通方程,這樣思路可能更加清晰. 2.
11、對于一些運算比較復雜的問題,用參數(shù)方程或極坐標方程計算會比較簡捷. [解] (1)由消去參數(shù)t,得(x+5)2+(y-3)2=2, 所以圓C的普通方程為(x+5)2+(y-3)2=2. 由ρcos=-,得ρcosθ-ρsinθ=-2. 可得直線l的直角坐標方程為x-y+2=0. (2)直線l與x軸,y軸的交點分別為A(-2,0),B(0,2),化為極坐標為A(2,π),B, 設點P的坐標為(-5+cost,3+sint),則點P到直線l的距離為d= =, 所以dmin==2,又|AB|=2, 所以△PAB面積的最小值=×2×2=4. 解決極坐標與參數(shù)方程問題
12、的關鍵
(1)會轉化:把直線與圓的參數(shù)方程轉化為普通方程時,要關注參數(shù)的取值范圍的限定,還需掌握極坐標與直角坐標的互化公式.
(2)懂技巧:合理選擇直角坐標形式運算、極坐標形式運算、參數(shù)坐標形式運算,利用參數(shù)及其幾何意義,結合關系式尋找關于參數(shù)的方程或函數(shù).
[對點訓練]
在平面直角坐標系xOy中,曲線C1:(θ為參數(shù),0 13、Q,與曲線C2交于O,M兩點,求四邊形MPNQ面積的最大值.
[解] (1)將曲線C1的參數(shù)方程化為普通方程為x2+y2=r2.
所以曲線C1的極坐標方程為ρ=r.
將曲線C2的參數(shù)方程化為普通方程為(x-2)2+(y-2)2=8,即x2+y2-4x-4y=0.
所以曲線C2的極坐標方程為ρ-4cosθ-4sinθ=0,即ρ=4sin.
因為|PN|max=|ρP-ρN|max=max=2,
所以r=2,所以C1:ρ=2.
(2)S四邊形MPNQ=S△OPM-S△ONQ=OP·OMsin-ON·OQ·sin=×4sin×4sin×-×2×2×=4sin+4-2.
所以當α=時, 14、四邊形MPNQ面積的最大值為4+2.
1.(2018·全國卷Ⅰ)在直角坐標系xOy中,曲線C1的方程為y=k|x|+2.以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為ρ2+2ρcosθ-3=0.
(1)求C2的直角坐標方程;
(2)若C1與C2有且僅有三個公共點,求C1的方程.
[解] (1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ得C2的直角坐標方程為
(x+1)2+y2=4.
(2)由(1)知C2是圓心為A(-1,0),半徑為2的圓.
由題設知,C1是過點B(0,2)且關于y軸對稱的兩條射線.
記y軸右邊的射線為l1,y軸左邊的射線為l2.
由于B在圓 15、C2的外面,故C1與C2有且僅有三個公共點等價于l1與C2只有一個公共點且l2與C2有兩個公共點,或l2與C2只有一個公共點且l1與C2有兩個公共點.
當l1與C2只有一個公共點時,A到l1所在直線的距離為2,所以=2,故k=-或k=0,經(jīng)檢驗,當k=0時,l1與C2沒有公共點;當k=-時,l1與C2只有一個公共點,l2與C2有兩個公共點.
當l2與C2只有一個公共點時,A到l2所在直線的距離為2,所以=2,故k=0或k=.經(jīng)檢驗,當k=0時,l1與C2沒有公共點;當k=時,l2與C2沒有公共點.
綜上,所求C1的方程為y=-|x|+2.
2.(2018·全國卷Ⅲ)在平面直角坐標系xO 16、y中,⊙O的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),過點(0,-)且傾斜角為α的直線l與⊙O交于A,B兩點.
(1)求α的取值范圍;
(2)求AB中點P的軌跡的參數(shù)方程.
[解] (1)⊙O的直角坐標方程為x2+y2=1.
當α=時,l與⊙O交于兩點.
當α≠時,記tanα=k,則l的方程為y=kx-.l與⊙O交于兩點當且僅當<1,解得k<-1或k>1,即α∈或α∈.
綜上,α的取值范圍是.
(2)l的參數(shù)方程為
(t為參數(shù),<α<).
設A,B,P對應的參數(shù)分別為tA,tB,tP,則tP=,且tA,tB滿足t2-2tsinα+1=0.
于是tA+tB=2sinα,tP=sinα.
又點 17、P的坐標(x,y)滿足
所以點P的軌跡的參數(shù)方程是
(α為參數(shù),<α<).
1.坐標系與參數(shù)方程是高考的選考內(nèi)容之一,高考考查的重點主要有兩個方面:一是簡單曲線的極坐標方程;二是參數(shù)方程、極坐標方程與曲線的綜合應用.
2.全國課標卷對此部分內(nèi)容的考查以解答題形式出現(xiàn),難度中等,備考此部分內(nèi)容時應注意轉化思想的應用.
專題跟蹤訓練(三十二)
1.(2018·湖南長沙聯(lián)考)在直角坐標系xOy中,直線C1:x=-2,圓C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐標原點為極點,x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.
(1)求C1,C2的極坐標方程.
(2)若直線C3的極坐標方程為θ= 18、(ρ∈R),設C2與C3的交點分別為M,N,求△C2MN的面積.
[解] (1)∵x=ρcosθ,y=ρsinθ,
∴C1:x=-2的極坐標方程為ρcosθ=-2,
C2:(x-1)2+(y-2)2=1的極坐標方程為(ρcosθ-1)2+(ρsinθ-2)2=1,化簡,得ρ2-(2ρcosθ+4ρsinθ)+4=0.
(2)把直線C3的極坐標方程θ=(ρ∈R)代入
圓C2:ρ2-(2ρcosθ+4ρsinθ)+4=0,
得ρ2-3ρ+4=0,解得ρ1=2,ρ2=.
∴|MN|=|ρ1-ρ2|=.
∵圓C2的半徑為1,∴|C2M|2+|C2N|2=|MN|2,
∴C2M⊥C2N 19、.
∴△C2MN的面積為·|C2M|·|C2N|=×1×1=.
2.(2018·洛陽聯(lián)考)在極坐標系中,曲線C的方程為ρ2=,已知點R.
(1)以極點為原點,極軸為x軸的非負半軸,建立平面直角坐標系,把曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程,R點的極坐標化為直角坐標.
(2)設P為曲線C上一動點,以PR為對角線的矩形PQRS的一邊垂直于極軸,求矩形PQRS周長的最小值,及此時P點的直角坐標.
[解] (1)∵x=ρcosθ,y=ρsinθ,x2+y2=ρ2.
∴曲線C的直角坐標方程為+y2=1.
點R的直角坐標為(2,2).
(2)設點P(cosθ,sinθ),根據(jù)題意得Q(2,s 20、inθ),即可得|PQ|=2-cosθ,|QR|=2-sinθ,
∴|PQ|+|QR|=4-2sin(θ+60°).
∴當θ=30°時,|PQ|+|QR|取最小值2,
∴矩形PQRS周長的最小值為4.
此時點P的直角坐標為.
3.(2018·安徽皖南八校聯(lián)考)在平面直角坐標系xOy中,C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),在以坐標原點為極點,x軸的非負半軸為極軸的極坐標系中,C2的極坐標方程為ρ2-2ρcosθ-3=0.
(1)說明C2是哪種曲線,并將C2的方程化為直角坐標方程.
(2)C1與C2有兩個公共點A,B,定點P的極坐標,求線段AB的長及定點P到A,B兩點的距離之積.
[ 21、解] (1)將代入C2的極坐標方程中得C2的直角坐標方程為(x-1)2+y2=4,所以C2是圓.
(2)將C1的參數(shù)方程(t為參數(shù)),代入(x-1)2+y2=4中得2+2=4,化簡,得t2+t-3=0.
設兩根分別為t1,t2,
由根與系數(shù)的關系得
所以|AB|=|t1-t2|===,
定點P到A,B兩點的距離之積|PA|·|PB|=|t1t2|=3.
4.(2018·河北衡水中學模擬)在極坐標系中,曲線C1的極坐標方程是ρ=,在以極點為原點O,極軸為x軸正半軸(兩坐標系取相同的單位長度)的直角坐標系xOy中,曲線C2的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)).
(1)求曲線C1的直角坐標方程 22、與曲線C2的普通方程;
(2)將曲線C2經(jīng)過伸縮變換后得到曲線C3,若M、N分別是曲線C1和曲線C3上的動點,求|MN|的最小值.
[解] (1)∵C1的極坐標方程是ρ=,
∴4ρcosθ+3ρsinθ=24,
∴4x+3y-24=0,
故C1的直角坐標方程為4x+3y-24=0.
∵曲線C2的參數(shù)方程為∴x2+y2=1,
故C2的普通方程為x2+y2=1.
(2)將曲線C2經(jīng)過伸縮變換后得到曲線C3,則曲線C3的參數(shù)方程為(α為參數(shù)).設N(2cosα,2sinα),則點N到曲線C1的距離
d=
=
=(其中φ滿足tanφ=).
當sin(α+φ)=1時,d有最小值,
所以|MN|的最小值為.
- 溫馨提示:
1: 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
2: 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權益歸上傳用戶所有。
3.本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會有圖紙預覽,若沒有圖紙預覽就沒有圖紙。
4. 未經(jīng)權益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
5. 裝配圖網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護處理,對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內(nèi)容負責。
6. 下載文件中如有侵權或不適當內(nèi)容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
7. 本站不保證下載資源的準確性、安全性和完整性, 同時也不承擔用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。