2022高考數(shù)學大一輪復習 第十章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布 第八節(jié) 兩點分布、超幾何分布、正態(tài)分布檢測 理 新人教A版

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1、2022高考數(shù)學大一輪復習 第十章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布 第八節(jié) 兩點分布、超幾何分布、正態(tài)分布檢測 理 新人教A版 1．(2018·河南正陽模擬)已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(3,1)，且P(X≥4)＝0.158 7，則P(2＜X＜4)＝(　　) A．0.682 6　　　　　　　 B．0.341 3 C．0.460 3 D．0.920 7 解析：選A.∵隨機變量X服從正態(tài)分布N(3,1)，∴正態(tài)曲線的對稱軸是直線x＝3，∵P(X≥4)＝0.158 7，∴P(2＜X＜4)＝1－2P(X≥4)＝1－0.317 4＝0.682 6.故選A. 2．(2018·廣西兩校聯(lián)考

2、)甲、乙兩類水果的質(zhì)量(單位：kg)分別服從正態(tài)分布N(μ1，σ)，N(μ2，σ)，其正態(tài)分布密度曲線如圖所示，則下列說法錯誤的是(　　) A．甲類水果的平均質(zhì)量為0.4 kg B．甲類水果的質(zhì)量分布比乙類水果的質(zhì)量分布更集中于平均值左右 C．甲類水果的平均質(zhì)量比乙類水果的平均質(zhì)量小 D．σ2＝1.99 解析：選D.由題中圖象可知甲的正態(tài)曲線關于直線x＝0.4對稱，乙的正態(tài)曲線關于直線x＝0.8對稱，所以μ1＝0.4，μ2＝0.8，故A正確，C正確．由圖可知甲類水果的質(zhì)量分布比乙類水果的質(zhì)量分布更集中于平均值左右，故B正確．因為乙的正態(tài)曲線的峰值為1.99，即＝1.99，所以σ2≠1

3、.99，故D錯誤，于是選D. 3．(2018·孝感模擬)已知袋中有3個白球，2個紅球，現(xiàn)從中隨機取出3個球，其中取出1個白球計1分，取出1個紅球計2分，記X為取出3個球的總分值，則E(X)＝(　　) A. B． C．4 D． 解析：選B.由題意知，X的所有可能取值為3,4,5，且P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝，所以E(X)＝3×＋4×＋5×＝. 4．甲、乙、丙三位同學上課后獨立完成5道自我檢測題，甲的及格概率為，乙的及格概率為，丙的及格概率為，則三人中至少有一人及格的概率為(　　) A. B． C. D． 解析：選D.設“甲及格”為事件A，“乙及格

4、”為事件B，“丙及格”為事件C，則P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，∴P()＝，P()＝，P()＝，則P( )＝P()P()P()＝××＝，∴三人中至少有一人及格的概率P＝1－P( )＝.故選D. 5．已知隨機變量X，Y滿足X＋Y＝8，若X～B(10,0.6)，則E(Y)，D(Y)分別是(　　) A．6和2.4 B．2和2.4 C．2和5.6 D．6和5.6 解析：選B.∵隨機變量X，Y滿足X＋Y＝8，X～B(10，0.6)，∴E(X)＝10×0.6＝6，D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4，則E(Y)＝E(8－X)＝8－E(X)＝8－6＝2，D(Y)＝D(8－X)＝D(X

5、)＝2.4.故選B. 6．如圖是總體的正態(tài)曲線，下列說法正確的是(　　) A．組距越大，頻率分布直方圖的形狀越接近于它 B．樣本容量越小，頻率分布直方圖的形狀越接近于它 C．陰影部分的面積代表總體在(a，b)內(nèi)取值的百分比 D．陰影部分的平均高度代表總體在(a，b)內(nèi)取值的百分比 解析：選C.總體的正態(tài)曲線與頻率分布直方圖的形狀關系如下：當樣本容量越大，組距越小時，頻率分布直方圖的形狀越接近總體的正態(tài)曲線，故A，B不正確．在總體的正態(tài)曲線中，陰影部分的面積代表總體在(a，b)內(nèi)取值的百分比，故選C. 7．設隨機變量ξ～B(2，p)，η～B(3，p)，若P(ξ≥1)＝，則P(η≥2

6、)的值為(　　) A. B． C. D． 解析：選C.∵ξ～B(2，p)，P(ξ≥1)＝，∴P(ξ≥1)＝1－P(ξ＜1)＝1－Cp0(1－p)2＝，∴p＝，∴P(η≥2)＝1－P(η＝0)－P(η＝1)＝1－C×0×3－C×1×2＝1－－＝，故選C. 8．已知服從正態(tài)分布N(μ，σ2)的隨機變量在區(qū)間(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)和(μ－3σ，μ＋3σ)內(nèi)取值的概率分別為0.683,0.955和0.997.某校為高一年級1 000名新生每人定制一套校服，經(jīng)統(tǒng)計，學生的身高(單位：cm)服從正態(tài)分布N(165,52)，則適合身高在155～175 cm范圍內(nèi)學生的校服大約

7、要定制(　　) A．683套 B．955套 C．972套 D．997套 解析：選B.設學生的身高為隨機變量ξ，則P(155＜ξ＜175)＝P(165－5×2＜ξ＜165＋5×2)＝P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝0.955.因此適合身高在155～175 cm范圍內(nèi)學生的校服大約要定制1 000×0.955＝955(套)．故選B. 9．2018年1月某校高三年級1 600名學生參加了教育局組織的期末統(tǒng)考，已知數(shù)學考試成績X～N(100，σ2)(試卷滿分為150分)．統(tǒng)計結(jié)果顯示數(shù)學考試成績在80分到120分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的，則此次統(tǒng)考中成績不低于120分的學生人數(shù)約為(　　)

8、A．80 B．100 C．120 D．200 解析：選D.∵X～N(100，σ2)，∴其正態(tài)曲線關于直線X＝100對稱，又成績在80分到120分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的，由對稱性知成績不低于120分的學生人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的×＝，∴此次考試成績不低于120分的學生人數(shù)約為×1 600＝200.故選D. 10．經(jīng)檢測，有一批產(chǎn)品的合格率為，現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任取5件，記其中合格產(chǎn)品的件數(shù)為ξ，則P(ξ＝k)取得最大值時，k的值為(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 解析：選B.根據(jù)題意得，P(ξ＝k)＝Ck5－k，k＝0,1,2,3,4,5，則P(ξ＝0)＝C0×5＝，P(ξ＝1)

9、＝C1×4＝，P(ξ＝2)＝C2×3＝，P(ξ＝3)＝C3×2＝，P(ξ＝4)＝C4×1＝，P(ξ＝5)＝C5×0＝，故當k＝4時，P(ξ＝k)最大． B級　能力提升練 11．(2018·福建福州質(zhì)檢)從某技術公司開發(fā)的某種產(chǎn)品中隨機抽取200件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標值(記為Z)，由測量結(jié)果得如下頻率分布直方圖： (1)公司規(guī)定：當Z≥95時，產(chǎn)品為正品；當Z＜95時，產(chǎn)品為次品．公司每生產(chǎn)一件這種產(chǎn)品，若是正品，則盈利90元；若是次品，則虧損30元．記ξ為生產(chǎn)一件這種產(chǎn)品的利潤，求隨機變量ξ的分布列和數(shù)學期望； (2)由頻率分布直方圖可以認為，Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，

10、其中μ近似為樣本平均數(shù)，σ2近似為樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表)． ①利用該正態(tài)分布，求P(87.8＜Z＜112.2)； ②某客戶從該公司購買了500件這種產(chǎn)品，記X表示這500件產(chǎn)品中該項質(zhì)量指標值位于區(qū)間(87.8,112.2)內(nèi)的產(chǎn)品件數(shù)，利用①的結(jié)果，求E(X)． 附：≈12.2. 若Z～N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜Z＜μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ＜Z＜μ＋2σ)＝0.954 5. 解：(1)由頻率估計概率， 產(chǎn)品為正品的概率為(0.033＋0.024＋0.008＋0.002)×10＝0.67， 所以隨機變量ξ的分布列為 ξ 90

11、－30 P 0.67 0.33 所以E(ξ)＝90×0.67＋(－30)×0.33＝50.4. (2)由頻率分布直方圖知，抽取產(chǎn)品的該項質(zhì)量指標值的樣本平均數(shù)和樣本方差s2分別為 ＝70×0.02＋80×0.09＋90×0.22＋100×0.33＋110×0.24＋120×0.08＋130×0.02＝100， s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋02×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150. ①因為Z～N(100,150)， 從而P(87.8＜Z＜112.2)＝P(100－12.2＜Z＜100＋12.2

12、)＝0.682 7. ②由①知，一件產(chǎn)品中該項質(zhì)量指標值位于區(qū)間(87.8,112.2)內(nèi)的概率為0.682 7， 依題意知X～B(500,0.682 7)， 所以E(X)＝500×0.682 7＝341.35. 12．(2018·廣西南寧測試)某食品店為了了解氣溫對銷售量的影響，隨機記錄了該店1月份其中5天的日銷售量y(單位：千克)與該地當日最低氣溫x(單位：℃)的數(shù)據(jù)，如下表： x 2 5 8 9 11 y 12 10 8 8 7 (1)求出y與x的回歸方程＝x＋； (2)判斷y與x之間是正相關還是負相關，若該地1月份某天的最低氣溫為6 ℃，請用所求回歸

13、方程預測該店當日的銷售量； (3)設該地1月份的日最低氣溫X～N(μ，σ2)，其中μ近似為樣本平均數(shù)，σ2近似為樣本方差s2，求P(3.8＜X＜13.4)． 附：①回歸方程＝x＋中，＝，＝－ . ②≈3.2，≈1.8.若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.954 5. 解：(1)＝i＝＝7，＝i＝＝9， iyi－5 ＝2×12＋5×10＋8×8＋9×8＋11×7－5×7×9＝－28， －52＝22＋52＋82＋92＋112－5×72＝50， ∴＝＝－0.56. ∴＝－ ＝9－(－0.56)×7＝12.92. ∴所求

14、的回歸方程是＝－0.56x＋12.92. (2)由＝－0.56＜0知，y與x之間是負相關， 將x＝6代入回歸方程可預測該店當日的銷售量＝－0.56×6＋12.92＝9.56(千克)． (3)由(1)知μ＝＝7，由σ2＝s2＝[(2－7)2＋(5－7)2＋(8－7)2＋(9－7)2＋(11－7)2]＝10，得σ≈3.2. 從而P(3.8＜X＜13.4)＝P(μ－σ＜X＜μ＋2σ)＝P(μ－σ＜X＜μ)＋P(μ＜X＜μ＋2σ)＝P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＋P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.818 6. 13．某班級準備從甲、乙兩人中選一人參加某項比賽，已知在一個學期的10次考試中，甲、乙兩

15、人的成績(單位：分)的莖葉圖如圖所示. (1)你認為選派誰參賽更合適？并說明理由． (2)若從甲、乙兩人10次的成績中各隨機抽取1次，設抽到的2次成績中，90分以上的次數(shù)為X，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望． 解：(1)根據(jù)莖葉圖可知，甲的平均成績 甲＝ ＝89.4， 乙的平均成績 乙＝＝89， 甲的平均成績略大于乙的平均成績． 又甲的成績的方差s＝[(79－89.4)2＋(85－89.4)2＋(86－89.4)2＋(88－89.4)2＋(88－89.4)2＋(88－89.4)2＋(94－89.4)2＋(95－89.4)2＋(95－89.4)2＋(96－89.4)2]＝2

16、7.24， 乙的成績的方差s＝[(74－89)2＋(78－89)2＋(85－89)2＋(86－89)2＋(88－89)2＋(92－89)2＋(93－89)2＋(97－89)2＋(98－89)2＋(99－89)2]＝64.2， 故甲的成績的方差小于乙的成績的方差， 因此選派甲參賽更合適． (2)隨機變量X的所有可能取值為0,1,2. P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝. 隨機變量X的分布列為 X 0 1 2 P 數(shù)學期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝. 14．近日，某市舉行了教師選拔考試(既有筆試又有面試)，該市教育局對參加該次考試的

17、50名教師的筆試成績(單位：分)進行分組，得到的頻率分布表如下： 組號 分組 頻數(shù) 頻率 第一組 [50,60) 5 0.1 第二組 [60,70) 15 0.3 第三組 [70,80) x z 第四組 [80,90) 10 0.2 第五組 [90,100] y 0.1 合計 50 1.0 (1)求頻率分布表中x，y，z的值，并補充頻率分布直方圖； (2)估計參加考試的這50名教師的筆試成績的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)； (3)若該市教育局決定在分數(shù)較高的第三、四、五組中任意抽取2名教師進入面試，設ξ為抽到的第五組教師的人數(shù)，求ξ的分布列及數(shù)學期望． 解：(1)由頻率分布表可得， 解得 補全的頻率分布直方圖如下： (2)估計參加考試的這50名教師的筆試成績的平均數(shù)為 (55×0.01＋65×0.03＋75×0.03＋85×0.02＋95×0.01)×10＝74. (3)由(1)可知，第三、四、五組的教師的人數(shù)分別為15,10,5. 隨機變量ξ的所有可能取值為0,1,2. P(ξ＝0)＝＝， P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝. 所以ξ的分布列為 ξ 0 1 2 P 所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.