2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)的概念與基本初等函數(shù) 課時(shí)跟蹤訓(xùn)練13 函數(shù)模型及其應(yīng)用 文

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1、2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)的概念與基本初等函數(shù) 課時(shí)跟蹤訓(xùn)練13 函數(shù)模型及其應(yīng)用 文 一、選擇題 1.物價(jià)上漲是當(dāng)前的主要話題,特別是菜價(jià),我國(guó)某部門(mén)為盡快實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定菜價(jià),提出四種綠色運(yùn)輸方案.據(jù)預(yù)測(cè),這四種方案均能在規(guī)定的時(shí)間T內(nèi)完成預(yù)測(cè)的運(yùn)輸任務(wù)Q0,各種方案的運(yùn)輸總量Q與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系如圖所示,在這四種方案中,運(yùn)輸效率(單位時(shí)間的運(yùn)輸量)逐步提高的是(  ) [解析] 由運(yùn)輸效率(單位時(shí)間的運(yùn)輸量)逐步提高得,曲線上的點(diǎn)的切線斜率應(yīng)逐漸增大,故函數(shù)的圖象應(yīng)一直是下凹的. [答案] B 2.(2018·河南洛陽(yáng)期中)已知某種動(dòng)物繁殖量y(只)與時(shí)間x(年)的關(guān)

2、系為y=alog3(x+1),設(shè)這種動(dòng)物第2年有100只,到第8年它們發(fā)展到(  ) A.100只 B.200只 C.300只 D.400只 [解析] 由題意知100=alog3(2+1),∴a=100,∴y=100log3(x+1),當(dāng)x=8時(shí),y=100log39=200. [答案] B 3.(2017·福建質(zhì)檢)當(dāng)生物死亡后,其體內(nèi)原有的碳14的含量大約每經(jīng)過(guò)5730年衰減為原來(lái)的一半,這個(gè)時(shí)間稱為“半衰期”.當(dāng)死亡生物體內(nèi)的碳14含量不足死亡前的千分之一時(shí),用一般的放射性探測(cè)器就測(cè)不到了.若某死亡生物體內(nèi)的碳14用一般的放射性探測(cè)器探測(cè)不到,則它經(jīng)過(guò)的“半衰期\”個(gè)數(shù)至少是(

3、  ) A.8 B.9 C.10 D.11 [解析] 設(shè)死亡生物體內(nèi)原有的碳14含量為1,則經(jīng)過(guò)n(n∈N*)個(gè)“半衰期”后的含量為n,由n<得n≥10.所以,若探測(cè)不到碳14含量,則至少經(jīng)過(guò)了10個(gè)“半衰期”.故選C. [答案] C 4.某學(xué)校開(kāi)展研究性學(xué)習(xí)活動(dòng),一組同學(xué)獲得的一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表所示: x 1.99 3 4 5.1 6.12 y 1.5 4.04 7.5 12 18.01 現(xiàn)準(zhǔn)備用下列四個(gè)函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律,其中最接近的一個(gè)是(  ) A.y=2x-2 B.y=x C.y=log2x D.y=(x2-1) [解析] 

4、直線是均勻分布的,故選項(xiàng)A不符合要求;指數(shù)函數(shù)y=x是單調(diào)遞減的,也不符合要求;對(duì)數(shù)函數(shù)y=log2x的增長(zhǎng)是緩慢的,也不符合要求;將表中數(shù)據(jù)代入選項(xiàng)D中的函數(shù),基本符合要求. [答案] D 5.(2017·湖南、衡陽(yáng)、長(zhǎng)郡中學(xué)等十三校聯(lián)考)某公司為激勵(lì)創(chuàng)新,計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入.若該公司2016年全年投入研發(fā)資金130萬(wàn)元,在此基礎(chǔ)上,每年投入的研發(fā)資金比上一年增長(zhǎng)12%,則該公司全年投入的研發(fā)資金開(kāi)始超過(guò)200萬(wàn)元的年份是(參考數(shù)據(jù):lg1.12≈0.05,lg1.3≈0.11,lg2≈0.3)(  ) A.2018年 B.2019年 C.2020年 D.2021年 [

5、解析] 設(shè)開(kāi)始超過(guò)200萬(wàn)元的年份是n,則130×(1+12%)n-2016>200,化簡(jiǎn)得(n-2016)lg1.12>lg2-lg1.3,所以n-2016>=3.8,所以n=2020,因此開(kāi)始超過(guò)200萬(wàn)元的年份是2020年,故選C. [答案] C 6.國(guó)家規(guī)定個(gè)人稿費(fèi)納稅辦法是:不超過(guò)800元的不納稅;超過(guò)800元而不超過(guò)4000元的按超過(guò)800元部分的14%納稅;超過(guò)4000元的按全部稿酬的11%納稅.已知某人出版一本書(shū),共納稅420元,則這個(gè)人應(yīng)得稿費(fèi)(扣稅前)為(  ) A.2800元 B.3000元 C.3800元 D.3818元 [解析] 設(shè)扣稅前應(yīng)得稿費(fèi)為x元,則應(yīng)

6、納稅額為分段函數(shù),由題意,得 y= 如果稿費(fèi)為4000元應(yīng)納稅為448元,現(xiàn)知某人共納稅420元,所以稿費(fèi)應(yīng)在800~4000元之間,∴(x-800)×14%=420,∴x=3800. [答案] C 二、填空題 7.(2016·江西六校聯(lián)考)A、B兩只船分別從在東西方向上相距145 km的甲乙兩地開(kāi)出.A從甲地自東向西行駛.B從乙地自北向南行駛,A的速度是40 km/h,B的速度是16 km/h,經(jīng)過(guò)________小時(shí),AB間的距離最短. [解析] 設(shè)經(jīng)過(guò)x h,A,B相距為y km, 則y=,求得函數(shù)的最小值時(shí)x的值為. [答案]  8.(2017·北京海淀一模)某購(gòu)

7、物網(wǎng)站在2014年11月開(kāi)展“全場(chǎng)6折”促銷活動(dòng),在11日當(dāng)天購(gòu)物還可以再享受“每張訂單金額(6折后)滿300元時(shí)可減免100元”.某人在11日當(dāng)天欲購(gòu)入原價(jià)48元(單價(jià))的商品共42件,為使花錢(qián)總數(shù)最少,他最少需要下的訂單張數(shù)為_(kāi)_________. [解析] 為使花錢(qián)總數(shù)最少,需使每張訂單滿足“每張訂單金額(6折后)滿300元時(shí)可減免100元”,即每張訂單打折前原金額不少于500元.由于每件原價(jià)48元,因此每張訂單至少11件,所以最少需要下的訂單張數(shù)為3張. [答案] 3 9.某食品的保鮮時(shí)間t(單位:小時(shí))與儲(chǔ)藏溫度x(單位:℃)滿足函數(shù)關(guān)系t=且該食品在4℃的保鮮時(shí)間是16小時(shí).

8、已知甲在某日上午10時(shí)購(gòu)買(mǎi)了該食品,并將其遺放在室外,且此日的室外溫度隨時(shí)間變化如圖所示.給出以下四個(gè)結(jié)論: ①該食品在6℃的保鮮時(shí)間是8小時(shí);②當(dāng)x∈[-6,6]時(shí),該食品的保鮮時(shí)間t隨著x增大而逐漸減少;③到了此日13時(shí),甲所購(gòu)買(mǎi)的食品還在保鮮時(shí)間內(nèi);④到了此日14時(shí),甲所購(gòu)買(mǎi)的食品已然過(guò)了保鮮時(shí)間. 其中,所有正確結(jié)論的序號(hào)是__________. [解析] ∵食品的保鮮時(shí)間t(單位:小時(shí))與儲(chǔ)藏溫度x(單位:℃)滿足函數(shù)關(guān)系t=且該食品在4℃的保鮮時(shí)間是16小時(shí).∴24k+6=16,即4k+6=4,解得k=-,∴t=當(dāng)x=6時(shí),t=8.①該食品在6℃的保鮮時(shí)間是8小時(shí),正確;

9、②當(dāng)x∈[-6,0]時(shí),保鮮時(shí)間恒為64小時(shí),當(dāng)x∈(0,6]時(shí),該食品的保鮮時(shí)間t隨著x增大而逐漸減少,故錯(cuò)誤;③到了此日10時(shí),溫度超過(guò)8度,此時(shí)保鮮時(shí)間不超過(guò)4小時(shí),故到13時(shí),甲所購(gòu)買(mǎi)的食品不在保鮮時(shí)間內(nèi),故錯(cuò)誤;④到了此日14時(shí),甲所購(gòu)買(mǎi)的食品已然過(guò)了保鮮時(shí)間,故正確.故正確的結(jié)論的序號(hào)為①④. [答案] ①④ 三、解答題 10.已知某物體的溫度θ(單位:攝氏度)隨時(shí)間t(單位:分鐘)的變化規(guī)律:θ=m·2t+21-t(t≥0,并且m>0). (1)如果m=2,求經(jīng)過(guò)多少時(shí)間,物體的溫度為5攝氏度; (2)若物體的溫度總不低于2攝氏度,求m的取值范圍. [解] (1)若m

10、=2,則θ=2·2t+21-t=2, 當(dāng)θ=5時(shí),2t+=,令2t=x≥1,則x+=, 即2x2-5x+2=0,解得x=2或x=(舍去), 此時(shí)t=1.所以經(jīng)過(guò)1分鐘,物體的溫度為5攝氏度. (2)物體的溫度總不低于2攝氏度,即θ≥2恒成立. 亦m·2t+≥2恒成立,亦即m≥2恒成立. 令=x,則0

11、0分左右,若有突出貢獻(xiàn)可以高于100分)計(jì)算當(dāng)月績(jī)效工資y元.要求績(jī)效工資不低于500元,不設(shè)上限且讓大部分教職工績(jī)效工資在600元左右,另外績(jī)效工資越低、越高人數(shù)要越少.則下列函數(shù)最符合要求的是(  ) A.y=(x-50)2+500 B.y=10+500 C.y=(x-50)3+625 D.y=50[10+lg(2x+1)] [解析] 由題意知,函數(shù)應(yīng)滿足單調(diào)遞增,且先慢后快,在x=50左右增長(zhǎng)緩慢,最小值為500,A是先減后增,不符合要求;B由指數(shù)函數(shù)知是增長(zhǎng)越來(lái)越快,不符合要求;D由對(duì)數(shù)函數(shù)知增長(zhǎng)速度越來(lái)越慢,不符合要求;C是由y=x3經(jīng)過(guò)平移和伸縮變換而得,最符合題目要求,

12、故選C. [答案] C 12.(2017·石家莊質(zhì)檢)加工爆米花時(shí),爆開(kāi)且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”.在特定條件下,可食用率p與加工時(shí)間t(單位:分鐘)滿足函數(shù)關(guān)系p=at2+bt+c(a,b,c是常數(shù)),如圖記錄了三次實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù).根據(jù)上述函數(shù)模型和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),可以得到最佳加工時(shí)間為(  ) A.3.50分鐘 B.3.75分鐘 C.4.00分鐘 D.4.25分鐘 [解析] 根據(jù)圖表,把(t,p)的三組數(shù)據(jù)(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5)分別代入函數(shù)關(guān)系式,聯(lián)立方程組得消去c化簡(jiǎn)得 解得所以p=-0.2t2+1.5t-2=-+-2=-2+,所以當(dāng)t

13、==3.75時(shí),p取得最大值,即最佳加工時(shí)間為3.75分鐘. [答案] B 13.一個(gè)容器裝有細(xì)沙a cm3,細(xì)沙從容器底下一個(gè)細(xì)微的小孔慢慢地勻速漏出,t min后剩余的細(xì)沙量為y=ae-b t(cm3),經(jīng)過(guò)8 min后發(fā)現(xiàn)容器內(nèi)還有一半的沙子,則再經(jīng)過(guò)________min,容器中的沙子只有開(kāi)始時(shí)的八分之一. [解析] 當(dāng)t=0時(shí),y=a,當(dāng)t=8時(shí),y=ae-8b=a, ∴e-8b=,容器中的沙子只有開(kāi)始時(shí)的八分之一時(shí), 即y=ae-b t=a,e-b t==(e-8b)3=e-24b, 則t=24,所以再經(jīng)過(guò)16 min. [答案] 16 14.為了在夏季降溫和冬季供

14、暖時(shí)減少能源損耗,房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層.某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層,每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬(wàn)元.該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(單位:萬(wàn)元)與隔熱層厚度x(單位:cm)滿足關(guān)系C(x)=(0≤x≤10),若不建隔熱層,每年能源消耗費(fèi)用為8萬(wàn)元,設(shè)f(x)為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和. (1)求k的值及f(x)的表達(dá)式; (2)隔熱層修建多厚時(shí),總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小,并求最小值. [解] (1)由已知條件得C(0)=8,則k=40, 因此f(x)=6x+20·C(x)=6x+(0≤x≤10). (2)f(x)=6x+10+-10 ≥2 -10

15、 =70(萬(wàn)元), 當(dāng)且僅當(dāng)6x+10=,即x=5時(shí)等號(hào)成立. 所以當(dāng)隔熱層厚度為5 cm時(shí),總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小值,最小值為70萬(wàn)元. 15.(2017·吉林長(zhǎng)春模擬)一種藥在病人血液中的含量不低于2克時(shí),它才能起到有效治療的作用.已知每服用m(1≤m≤4且m∈R)克的藥劑,藥劑在血液中的含量y(克)隨著時(shí)間x(小時(shí))變化的函數(shù)關(guān)系式近似為y=m·f(x),其中f(x)= (1)若病人一次服用3克的藥劑,則有效治療時(shí)間可達(dá)多少小時(shí)? (2)若病人第一次服用2克的藥劑,6個(gè)小時(shí)后再服用m克的藥劑,要使接下來(lái)的2小時(shí)中能夠持續(xù)有效治療,試求m的最小值. [解] (1)因?yàn)閙=3, 所以y= 當(dāng)0≤x<6時(shí),由≥2,解得x≤11,此時(shí)0≤x<6; 當(dāng)6≤x≤8時(shí),由12-≥2, 解得x≤,此時(shí)6≤x≤. 綜上所述,0≤x≤. 故若一次服用3克的藥劑,則有效治療的時(shí)間可達(dá)小時(shí). (2)當(dāng)6≤x≤8時(shí),y=2×+m=8-x+, 因?yàn)?-x+≥2對(duì)6≤x≤8恒成立, 即m≥對(duì)6≤x≤8恒成立, 等價(jià)于m≥max,6≤x≤8. 令g(x)=,則函數(shù)g(x)=在[6,8]上是單調(diào)遞增函數(shù), 當(dāng)x=8時(shí),函數(shù)g(x)=取得最大值為, 所以m≥, 所以所求的m的最小值為.

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