《2022屆高考數學一輪復習 第八章 立體幾何 課時跟蹤訓練41 空間幾何體的表面積和體積 文》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《2022屆高考數學一輪復習 第八章 立體幾何 課時跟蹤訓練41 空間幾何體的表面積和體積 文(11頁珍藏版)》請在裝配圖網上搜索。
1、2022屆高考數學一輪復習 第八章 立體幾何 課時跟蹤訓練41 空間幾何體的表面積和體積 文
一、選擇題
1.如圖是一個幾何體的正視圖和側視圖,其俯視圖是面積為8的矩形.則該幾何體的表面積是( )
A.8 B.20+8
C.16 D.24+8
[解析] 由題意可知,該幾何體是底面為直角三角形的直三棱柱,其側棱為4,故其表面積S表=2×4+2×4+2×4+×2×2×2=20+8.
[答案] B
2.已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長均為1,且AA1⊥底面ABC,則三棱錐B1-ABC1的體積為( )
A. B.
C. D.
[解析] VB1-A
2、BC1=VC1-ABB1=××1×1×=.
[答案] A
3.(2015·全國卷Ⅰ)《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著,書中有如下問題:“今有委米依垣內角,下周八尺,高五尺.問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內墻角處堆放米(如圖,米堆為一個圓錐的四分之一),米堆底部的弧長為8尺,米堆的高為5尺,問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺,圓周率約為3,估算出堆放的米約有 ( )
A.14斛 B.22斛
C.36斛 D.66斛
[解析] 米堆的體積為××π×2×5=.將π=3代入上式,得體積為立方尺.從而這堆米約有≈22(斛).
[答案
3、] B
4.(2017·河北唐山二模)一個幾何體的三視圖如圖所示,該幾何體的表面積為( )
A.24-π B.24-3π C.24+π D.24-2π
[解析] 由三視圖可知,該幾何體是棱長為2的正方體挖去右下方球后得到的幾何體,該球以頂點為球心,2為半徑,則該幾何體的表面積為2×2×6-3××π×22+×4×π×22=24-π,故選A.
[答案] A
5.(2017·浙江卷)某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的體積(單位:cm3)是( )
A.+1 B.+3
C.+1 D.+3
[解析] 由幾何體的三視圖可得,該幾何體是由半個圓錐和一個
4、三棱錐組成的,故該幾何體的體積V=×π×3+××2×1×3=+1,故選A.
[答案] A
6.(2017·全國卷Ⅰ)某多面體的三視圖如圖所示,其中正視圖和左視圖都是由正方形和等腰直角三角形組成,正方形的邊長為2,俯視圖為等腰直角三角形.該多面體的各個面中有若干個是梯形,這些梯形的面積之和為( )
A.10 B.12 C.14 D.16
[解析] 由三視圖可知該多面體是一個組合體,下面是一個底面是等腰直角三角形的直三棱柱,上面是一個底面是等腰直角三角形的三棱錐,等腰直角三角形的腰長為2,直三棱柱的高為2,三棱錐的高為2,易知該多面體有2個面是梯形,這些梯形的面積之和為×2=1
5、2,故選B.
[答案] B
二、填空題
7.(2017·天津卷)已知一個正方體的所有頂點在一個球面上,若這個正方體的表面積為18,則這個球的體積為________.
[解析] 由正方體的表面積為18,得正方體的棱長為.設該正方體外接球的半徑為R,則2R=3,R=,所以這個球的體積為R3=×=.
[答案]
8.下圖是一個空間幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積是________.
[解析] 該幾何體是一個長方體挖去一半球而得,直觀圖如圖所示,(半)球的半徑為1,長方體的長、寬、高分別為2、2、1,
∴該幾何體的表面積為:S=16+×4π×12-π×12=16+π.
[答
6、案] 16+π
9.(2017·山東卷)由一個長方體和兩個圓柱體構成的幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為________.
[解析] 由三視圖可知,該組合體中的長方體的長、寬、高分別為2,1,1,其體積V1=2×1×1=2;
兩個圓柱合起來就是圓柱的一半,圓柱的底面半徑r=1,高h=1,故其體積V2=×π×12×1=.
故該幾何體的體積V=V1+V2=2+.
[答案] 2+
三、解答題
10.如圖,在四邊形ABCD中,∠DAB=90°,∠ADC=135°,AB=5,CD=2,AD=2,求四邊形ABCD繞AD旋轉一周所成幾何體的表面積及體積.
[解] 由已知得:C
7、E=2,DE=2,CB=5,
S表面=S圓臺側+S圓臺下底+S圓錐側=π(2+5)×5+π×25+π×2×2=(60+4)π,
V=V圓臺-V圓錐=(π·22+π·52+)×4-π×22×2=π.
[能力提升]
11.(2015·全國卷Ⅱ)已知A,B是球O的球面上兩點,∠AOB=90°,C為該球面上的動點.若三棱錐O-ABC體積的最大值為36,則球O的表面積為( )
A.36π B.64π C.144π D.256π
[解析] 如圖,設點C到平面OAB的距離為h,球O的半徑為R,因為∠AOB=90°,所以S△OAB=R2,要使VO-ABC=·S△OAB·h最大,則OA,OB
8、,OC應兩兩垂直,且(VO-ABC)max=×R2×R=R3=36,此時R=6,所以球O的表面積為S球=4πR2=144π.故選C.
[答案] C
12.(2017·重慶診斷)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為( )
A. B.2 C. D.3
[解析] 該幾何體的直觀圖是如圖所示的不規(guī)則幾何體ABB1DC1C,其體積是底邊邊長為2的等邊三角形,高為3的正三棱柱ABC-A1B1C1的體積減去三棱錐A-A1C1D的體積,即3-×3×=.
[答案] C
13.(2017·河南南陽一中四模)球O為正方體ABCD-A1B1C1D1的內切球,AB=2,E,F分別
9、為棱AD,CC1的中點,則直線EF被球O截得的線段長為________.
[解析] 設EF與球面交于M,N兩點,因為AB=2,E,F分別為棱AD,CC1的中點,所以EF=,OE=OF=,取EF中點O′,則O′F=,所以OO′==.由球O為正方體ABCD-A1B1C1D1的內切球,可得ON=1,由勾股定理得O′N=,故MN=.所以直線EF被球O截得的線段長為.
[答案]
14.如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為2的正方形,PD⊥底面ABCD,且PD=2,PA=PC=2,若在這個四棱錐內放一個球,則此球的最大半徑是__________.
[解析] 由已知得,△
10、PAD,△PDC,△PAB,△PBC都是直角三角形.設內切球的球心為O,半徑為R,連接OA,OB,OC,OD,OP,易知VP-ABCD=VO-ABCD+VO-PAD+VO-PAB+VO-PBC+VO-PCD,即×22×2=×22×R+××22×R+××2×2×R+××2×2×R+××22×R,解得R=2-,所以此球的最大半徑是2-.
[答案] 2-
15.如圖,在直三棱柱ABC-A′B′C′中,△ABC為等邊三角形,AA′⊥平面ABC,AB=3,AA′=4,M為AA′的中點,P是BC上一點,且由P沿棱柱側面經過棱CC′到M的最短路線長為,設這條最短路線與CC′的交點為N,求:
(1)
11、該三棱柱的側面展開圖的對角線長;
(2)PC與NC的長;
(3)三棱錐C-MNP的體積.
[解] (1)該三棱柱的側面展開圖為一邊長分別為4和9的矩形,故對角線長為=.
(2)將該三棱柱的側面沿棱BB′展開,如下圖,
設PC=x,則MP2=MA2+(AC+x)2.
∵MP=,MA=2,AC=3,
∴x=2,即PC=2.
又∵NC∥AM,故=,即=.
∴NC=.
(3)S△PCN=×CP×CN=×2×=.
在三棱錐M-PCN中,M到面PCN的距離,
即h=×3=.
∴VC-MNP=VM-PCN=·h·S△PCN=××=.
16.(2017·全國卷Ⅲ)如圖,四面體A
12、BCD中,△ABC是正三角形,AD=CD.
(1)證明:AC⊥BD;
(2)已知△ADC是正三角形,AB=BD,若E為棱BD上與D不重合的點,且AE⊥EC,求四面體ABCE與四面體ACDE的體積比.
[解] (1)證明:
取AC的中點O,連接BO、DO,如圖所示.
因為AD=CD,所以AC⊥DO.又由于△ABC是正三角形,所以AC⊥BO.
從而AC⊥平面DOB,故AC⊥BD.
(2)連接EO.
由(1)及題設知,∠ADC=90°,所以DO=AO.
在Rt△AOB中,BO2+AO2=AB2.又AB=BD,所以
BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,故∠DOB
13、=90°.
由題設知△AEC為直角三角形,所以EO=AC.
又△ABC是正三角形,且AB=BD,所以EO=BD.
故E為BD的中點,從而E到平面ABC的距離為D到平面ABC的距離的,四面體ABCE的體積為四面體ABCD的體積的,即四面體ABCE與四面體ACDE的體積之比為1∶1.
[延伸拓展]
(2017·安徽蚌埠一模)如圖所示,用一邊長為的正方形硬紙,按各邊中點垂直折起四個小三角形,做成一個蛋巢,將表面積為4π的雞蛋(視為球體)放入其中,蛋巢形狀保持不變,則雞蛋中心(球心)與蛋巢底面的距離為( )
A.+ B.+
C. D.+
[解析] 蛋巢的底面是邊長為1的正方形,所以過四個頂點截雞蛋所得的截面圓的直徑為1.因為雞蛋的表面積為4π,所以球的半徑為1,所以球心到截面的距離d==,而截面到底面的距離即為三角形的高,所以球心到底面的距離為+.
[答案] D