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1、2022年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 提分專練06 與四邊形有關(guān)的計(jì)算與證明練習(xí) 湘教版
|類型1| 平行四邊形背景問(wèn)題
1.[xx·曲靖] 如圖T6-1,在平行四邊形ABCD的邊AB,CD上截取AF,CE,使得AF=CE,連接EF,點(diǎn)M,N是線段EF上的兩點(diǎn),且EM=FN,連接AN,CM.
(1)求證:△AFN≌△CEM.
(2)若∠CMF=107°,∠CEM=72°,求∠NAF的度數(shù).
圖T6-1
2.[xx·貴陽(yáng)] 如圖T6-2,在平行四邊形ABCD中,AE是BC邊上的高,點(diǎn)F是DE的中點(diǎn),AB與AG關(guān)于AE對(duì)稱,AE與AF關(guān)于AG對(duì)稱.
(1)求證:△AE
2、F是等邊三角形;
(2)若AB=2,求△AFD的面積.
圖T6-2
|類型2| 特殊四邊形背景問(wèn)題
3.[xx·德陽(yáng)] 如圖T6-3,點(diǎn)E,F分別是矩形ABCD的邊AD,AB上一點(diǎn),若AE=DC=2ED,且EF⊥EC.
(1)求證:點(diǎn)F為AB的中點(diǎn);
(2)EF與CB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)H,連接AH,若ED=2,求AH的值.
圖T6-3
4.[xx·呼和浩特] 如圖T6-4,已知A,F,C,D四點(diǎn)在同一條直線上,AF=CD,AB∥DE,且AB=DE.
(1)求證:△ABC≌△DEF;
(2)若EF=3,DE=4,∠
3、DEF=90°,請(qǐng)直接寫出使四邊形EFBC為菱形時(shí)AF的長(zhǎng)度.
圖T6-4
5.[xx·遵義] 如圖T6-5,正方形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,F分別在AB,BC上(AE
4、為邊向右側(cè)作等邊三角形APE,點(diǎn)E的位置隨著點(diǎn)P的位置變化而變化.
(1)如圖T6-6①,當(dāng)點(diǎn)E在菱形ABCD內(nèi)部或邊上時(shí),連接CE,BP與CE的數(shù)量關(guān)系是 ,CE與AD的位置關(guān)系是 .?
(2)當(dāng)點(diǎn)E在菱形ABCD外部時(shí),(1)中的結(jié)論是否還成立?若成立,請(qǐng)予以證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由(選擇圖②,圖③中的一種情況予以證明或說(shuō)明理由).
(3)如圖④,當(dāng)點(diǎn)P在線段BD的延長(zhǎng)線上時(shí),連接BE,若AB=2,BE=2,求四邊形ADPE的面積.
圖T6-6
參考答案
1.解:(1)證明:由于四邊形ABCD是平行四邊形,所以AB∥CD,所以∠CE
5、M=∠AFN,又AF=CE,EM=FN,所以△AFN≌
△CEM.
(2)因?yàn)椤螩MF=107°,∠CEM=72°,且∠CMF=∠CEM+∠ECM,所以∠ECM=∠CMF-∠CEM=107°-72°=35°.因?yàn)椤鰽FN≌△CEM,所以∠NAF=∠ECM=35°.因此∠NAF的度數(shù)是35°.
2.解:(1)證明:在平行四邊形ABCD中,AE是BC邊上的高,∴∠DAE=∠AEB=90°.∵點(diǎn)F是DE的中點(diǎn),
∴在Rt△AED中,FE=AF.∵AE與AF關(guān)于AG對(duì)稱,
∴AE=AF.
∴AE=AF=EF.∴△AEF是等邊三角形.
(2)∵△AEF是等邊三角形,∴∠EAF=∠AEF=6
6、0°,∴∠EAG=∠EDA=30°.∵AB與AG關(guān)于AE對(duì)稱,∴∠BAE=∠EAG=30°.在Rt△ABE中,AB=2,∴BE=AB=1,∴AE==.∴DE=2,∴AD=3.S△AFD=S△ADE=××AE×AD=×××3=.
3.解:(1)證明:∵EF⊥EC,
∴∠CEF=90°,
∴∠AEF+∠DEC=90°.
∵四邊形ABCD是矩形,∴∠BAD=∠D=90°,
∴∠AEF+∠AFE=90°,
∴∠AFE=∠DEC.
∵AE=DC,
∴△AEF≌△DCE,∴ED=AF.
∵AE=DC=AB=2DE,
∴AB=2AF,
∴點(diǎn)F是AB的中點(diǎn).
(2)由(1)得AF=FB
7、,且AE∥BH,
∴∠FAE=∠FBH=90°,∠AEF=∠BHF,
∴△AEF≌△BHF,∴AE=HB.
∵ED=2,且AE=2ED,
∴AE=4,∴HB=AB=AE=4,
∴AH2=AB2+BH2=16+16=32,
∴AH=4.
4.解:(1)證明:∵AB∥DE,∴∠A=∠D.
∵AF=CD,∴AC=DF.
又∵AB=DE,∴△ABC≌△DEF.
(2)由勾股定理得DF===5,
作EP⊥DF于P,則EP==.
∵四邊形BCEF是菱形,∴EF=CE,由勾股定理得FP===,則CP=FP=,
AF=DC=DF-CF=5-2×=.
5.解:(1)證明:正方形ABC
8、D中,AC=BD,OA=AC,OB=BD,所以O(shè)A=OB.因?yàn)锳C⊥BD,所以∠AOB=∠AOD=90°,所以
∠OAD=∠OBA=45°,所以∠OAM=∠OBN,又因?yàn)椤螮OF=90°,所以∠AOM=∠BON,所以△AOM≌△BON,所以O(shè)M=ON.
(2)過(guò)點(diǎn)O作OP⊥AB于P,所以∠OPA=90°,所以∠OPA=∠MAE,因?yàn)镋為OM的中點(diǎn),所以O(shè)E=ME,又因?yàn)椤螦EM=∠PEO,所以△AEM≌△PEO,所以AE=EP.因?yàn)镺A=OB,OP⊥AB,所以AP=BP=AB=2,所以EP=1.Rt△OPB中,∠OBP=45°,所以O(shè)P=PB=2,Rt△OEP中,OE==,所以O(shè)M=2OE
9、=2,Rt△OMN中,OM=ON,所以MN=OM=2.
6.[解析] (1)結(jié)論:BP=CE,CE⊥AD.
連接AC,證明△BAP≌△CAE即可解決問(wèn)題;
(2)結(jié)論仍然成立.證明方法與(1)類似;
(3)利用(2)的結(jié)論,然后通過(guò)解直角三角形求出AP,DP,OA即可解決問(wèn)題.
解:(1)BP=CE CE⊥AD
連接AC交BD于O點(diǎn),如圖①,
①
∵BA=BC,∠ABC=60°,
∴△ABC是等邊三角形,
∴AC=AB,
∠BAC=60°=∠PAE,
∴∠BAP=∠CAE.
在△BAP和△CAE中,
∴△BAP≌△CAE(SAS),∴BP=CE.
∵△
10、BAP≌△CAE,
∴∠ACE=∠ABP=∠ABC=30°,
∵∠ACD=60°,∴∠ECD=30°,
∴CE為∠ACD的角平分線,
∵CA=CD,由三線合一知CE⊥AD.
(2)仍然成立,選擇圖②,理由如下:
如圖②,連接AC交BD于O點(diǎn),設(shè)CE交AD于點(diǎn)H,
②
在菱形ABCD中,∠ABC=60°,BA=BC,
∴△ABC為等邊三角形,
∴BA=CA.
∵△APE為等邊三角形,
∴AP=AE,∠PAE=∠BAC=60°,∴∠BAP=∠CAE.
在△BAP和△CAE中,
∴△BAP≌△CAE(SAS),
∴BP=CE,∠ACE=∠ABP=30°.
又∵∠C
11、AD=60°,∴∠AHC=90°,即CE⊥AD.
選擇圖③,理由如下:
如圖③,連接AC交BD于點(diǎn)O,設(shè)CE交AD于點(diǎn)H.
③
同理得△BAP≌△CAE,
∴BP=CE,∠ACE=∠ABP=30°,又∵∠CAD=60°,∴∠AHC=90°,即CE⊥AD.
(3)如圖④,連接AC交BD于點(diǎn)O,連接CE交AD于點(diǎn)H.
④
由(2)可知,CE⊥AD,CE=BP,
在菱形ABCD中,AD∥BC,
∴EC⊥BC.
∵BC=AB=2,BE=2,
∴在Rt△BCE中,CE==8,
∴BP=CE=8.
∵AC與BD是菱形的對(duì)角線,
∴∠ABD=∠ABC=30°,AC⊥BD,
∴BD=2BO=2AB·cos30°=6,
AO=AB=,DP=BP-BD=8-6=2,
∴OP=OD+DP=5.
在Rt△AOP中,AP==2,
S四邊形ADPE=S△ADP+S△APE=DP·AO+·AP2=×2×+×(2)2=8.
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