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1、2022年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 分類練習(xí) 綜合探究題
1.（1）問題背景
如圖①，BC是⊙O的直徑，點A在⊙O上，AB=AC，P為BMC上一動點（不與B，C重合），求證： PA=PB+PC．
小明同學(xué)觀察到圖中自點A出發(fā)有三條線段AB，AP，AC，且AB=AC，這就為旋轉(zhuǎn)作了鋪墊．于是，小明同學(xué)有如下思考過程：
第一步：將△PAC繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)90°至△QAB（如圖①）；
第二步：證明Q，B，P三點共線，進(jìn)而原題得證．
請你根據(jù)小明同學(xué)的思考過程完成證明過程．
（2）類比遷移
如圖②，⊙O的半徑為3，點A，B在⊙O上，C為⊙O內(nèi)一點，AB=AC，AB⊥AC，垂足為A，求OC的最
2、小值．
（3）拓展延伸
如圖③，⊙O的半徑為3，點A，B在⊙O上，C為⊙O內(nèi)一點，AB=AC，AB⊥AC，垂足為A，則OC的最小值為 ．
2.兩個等腰直角三角形如圖放置，∠B=∠CAD=90°，AB=BC=cm，AC=AD，垂直于CD的直線a從點C出發(fā)，以每秒cm的速度沿CD方向勻速平移，與CD交于點E，與折線BAD交于點F；與此同時，點G從點D出發(fā)，以每秒1cm的速度沿著DA的方向運動；當(dāng)點G落在直線a上，點G與直線a同時停止運動；設(shè)運動時間為t秒（t>0）.
（1） 填空：CD=_______cm;
（2） 連接EG、FG，設(shè)△EFG的面積為y，求y與
3、t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)t的取值范圍；
（3） 是否存在某一時刻t（0
4、a=1，△PMO的面積為S，試求S的最大值；
（3）如圖②，連結(jié)PM、AM，試探究：在點P、M運動的過程中，是否存在某個時刻，使得△PMB為直角三角形且△PMA是等腰三角形？若存在，求出此時a和t的取值，若不存在，請說明理由．
4.如圖，在等邊中， 分別是邊上的點，且 , ，點與點關(guān)于對稱，連接，交于.
（1）連接，則之間的數(shù)量關(guān)系是 ；
（2）若，求的大小; （用的式子表示）
（2）用等式表示線段和之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.
5.對某一個函數(shù)給出如
5、下定義：若存在實數(shù)，對于函數(shù)圖象上橫坐標(biāo)之差為1的任意兩點，，都成立，則稱這個函數(shù)是限減函數(shù)，在所有滿足條件的中，其最大值稱為這個函數(shù)的限減系數(shù)．例如，函數(shù)，當(dāng)取值和時，函數(shù)值分別為，，故，因此函數(shù)是限減函數(shù)，它的限減系數(shù)為．
（1）寫出函數(shù)的限減系數(shù)；
（2），已知（）是限減函數(shù)，且限減系數(shù)，求的取值范圍．
（3）已知函數(shù)的圖象上一點，過點作直線垂直于軸，將函數(shù)的圖象在點右側(cè)的部分關(guān)于直線翻折，其余部分保持不變，得到一個新函數(shù)的圖象，如果這個新函數(shù)是限減函數(shù)，且限減系數(shù)，直接寫出點橫坐標(biāo)的取值范圍．
6.如圖，在中，，CD是中線，，一個以點D為頂點
6、的角繞點D旋轉(zhuǎn)，使角的兩邊分別與AC、BC的延長線相交，交點分別為點E，F(xiàn)，DF與AC交于點M，DE與BC交于點N．
如圖1，若，求證：；
如圖2，在繞點D旋轉(zhuǎn)的過程中：
探究三條線段AB，CE，CF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
若，，求DN的長．
7.平面上，矩形與直徑為的半圓如圖①擺放，分別延長和相交于點，且.讓線段及矩形位置固定，將線段連帶著半圓一起繞著點 按逆時針方向開始旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為.
發(fā)現(xiàn)
(1)當(dāng)，即初始位置時，點 直線上(填“在”
或“不在”)，求當(dāng)是多少度時，經(jīng)過點;
7、
(2)在旋轉(zhuǎn)過程中，簡要說明是多少度時，點、間
的距離最小，并指出這個最小值;
(3)如圖②，當(dāng)點恰好落在邊上時，求及.
拓展 如圖③，當(dāng)線段與邊交于點，與邊交于點時，設(shè)，用含的代數(shù)式表示的長，并求的取值范圍.
探究 當(dāng)半圓與矩形的邊相切時，求的值.
8.如圖1，已知B點坐標(biāo)是（6，6），BA⊥x軸于A，BC⊥y軸于C，D在線段OA上，E在y軸的正半軸上，DE⊥BD，M是DE中點，且M在OB上．
（1）點M的坐標(biāo)是（ ， ?。珼E= ?。?
（2）小明在研究動點問題時發(fā)現(xiàn)，如果有兩點分別在兩條互相垂直的直線上做勻速運動，連接這兩點所得線段的中點將在同一條直線上運動，利用這一事實解答下列問題，如圖2，如果一動點F從點B出發(fā)以每秒1個單位長度的速度向點A運動，同時有一點G從點D出發(fā)以每秒個單位長度的速度向點O運動，點H從點E開始沿y軸正方向自由滑動，并始終保持GH=DE，P為FG的中點，Q為GH的中點，F(xiàn)與G兩個點分別運動到各自終點時停止運動，分別求出在運動過程中點P、Q運動的路線長．
（3）連接PQ，求當(dāng)運動多少秒時，PQ最小，最小值是多少？
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