2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 解析幾何 課時(shí)作業(yè)49 拋物線 文

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1、2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 解析幾何 課時(shí)作業(yè)49 拋物線 文 [基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)] 一、選擇題 1．若拋物線y2＝2px(p>0)上一點(diǎn)P(2，y0)到其準(zhǔn)線的距離為4，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　) A．y2＝4x　　B．y2＝6x C．y2＝8x D．y2＝10x 解析：因?yàn)閽佄锞€y2＝2px，所以準(zhǔn)線為x＝－. 因?yàn)辄c(diǎn)P(2，y0)到其準(zhǔn)線的距離為4， 所以＝4，所以p＝4， 所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝8x. 答案：C 2．[2019·廣東珠海模擬]已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，且在第一象限，PA⊥l，垂足為A，|PF|＝4，

2、則直線AF的傾斜角等于(　　) A. B. C. D. 解析：由拋物線y2＝4x知焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0)，準(zhǔn)線l的方程為x＝－1，由拋物線定義可知|PA|＝|PF|＝4，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,2)，因此點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－1,2)，所以kAF＝＝－，所以直線AF的傾斜角等于，故選B. 答案：B 3．[2019·福州質(zhì)量檢測]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l.過F的直線交C于A，B兩點(diǎn)，交l于點(diǎn)E，直線AO交l于點(diǎn)D.若|BE|＝2|BF|，且|AF|＝3，則|BD|＝(　　) A．1 B．3 C．3或9 D．1或9 解

3、析：分別過點(diǎn)A，B作AA1，BB1垂直于l，且垂足分別為A1，B1，依題意，易證BD∥x軸，所以D與B1重合．由已知條件|BE|＝2|BF|得，|BE|＝2|BB1|，所以∠BEB1＝30°.又|AA1|＝|AF|＝3， 如圖1，＝，所以＝，解得|BD|＝1， 如圖2，＝，所以＝，解得|BD|＝9. 綜上，|BD|為1或9，故選D. 答案：D 4．[2019·河南百校聯(lián)盟]已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在拋物線C上，且|MO|＝|MF|＝(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則·＝(　　) A．－ B. C. D．－ 解析：不妨設(shè)M(m，)(m>0)，易知拋物

4、線C的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，因?yàn)閨MO|＝|MF|＝，所以解得m＝，p＝2，所以＝，＝，所以·＝－2＝－.故選A. 答案：A 5．[2019·湖南岳陽模擬]若直線y＝2x＋與拋物線x2＝2py(p＞0)相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|等于(　　) A．5p B．10p C．11p D．12p 解析：將直線方程代入拋物線方程，可得x2－4px－p2＝0， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝4p，∴y1＋y2＝9p， ∵直線過拋物線的焦點(diǎn)，∴|AB|＝y(tǒng)1＋y2＋p＝10p，故選B. 答案：B 二、填空題 6．[2019·長沙市，南昌市部分學(xué)校聯(lián)合模擬]已知拋物線

5、C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F(3,0)，P1，P2，…，P2017是拋物線C上的點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)依次為x1，x2，…，x2 017，若x1＋x2＋…＋x2 017＝2 017，則|P1F|＋|P2F|＋…＋|P2 017F|＝________. 解析：因?yàn)閽佄锞€C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F(3,0)，所以拋物線C的方程為y2＝12x，其準(zhǔn)線方程為x＝－3.由拋物線的定義可得|PiF|＝xi＋3(i＝1,2，…，2 017)，所以|P1F|＋|P2F|＋…＋|P2 017F|＝(x1＋3)＋(x2＋3)＋…＋(x2 017＋3)＝x1＋x2＋…＋x2 017＋3×2 017＝8 068. 答

6、案：8 068 7．[2019·寶安，潮陽，桂城八校聯(lián)考]過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A，B兩點(diǎn)，若|AF|＝3，則|BF|＝________. 解析：解法一　由題意知，拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0)，|AF|＝3，由拋物線的定義知，點(diǎn)A到準(zhǔn)線x＝－1的距離為3，所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2.如圖，不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限，將x＝2代入y2＝4x，得y2＝8，所以點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為2，即A(2,2)，所以直線AF的方程為y＝2(x－1)．由解得或所以點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為，所以|BF|＝. 解法二　 如圖，不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限，設(shè)∠AFx＝θ，A(xA，yA)，B(xB，yB)，則由拋物

7、線的定義知xA＋1＝2＋3cosθ＝3，解得cosθ＝.又|BF|＝xB＋1＝1－|BF|cosθ＋1＝2－|BF|，所以|BF|＝. 答案： 8．[2019·合肥質(zhì)量檢測]拋物線E：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l與x軸交于點(diǎn)A，過拋物線E上一點(diǎn)P(在第一象限內(nèi))作l的垂直PQ，垂足為Q.若四邊形AFPQ的周長為16，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為________． 解析：設(shè)P(x，y)，其中x>0，y>0，由拋物線的定義知|PF|＝|PQ|＝x＋1.根據(jù)題意知|AF|＝2，|QA|＝y(tǒng)， 則?或(舍去)．所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,4)． 答案：(4,4) 三、解答題 9．拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，它的準(zhǔn)線過

8、雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)，并與雙曲線實(shí)軸垂直，已知拋物線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)為，求拋物線與雙曲線的方程． 解析：由題設(shè)知，拋物線以雙曲線的右焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，準(zhǔn)線過雙曲線的左焦點(diǎn)， ∴p＝2c. 設(shè)拋物線方程為y2＝4c·x， ∵拋物線過點(diǎn)， ∴6＝4c·. ∴c＝1，故拋物線方程為y2＝4x. 又雙曲線－＝1過點(diǎn)， ∴－＝1.又a2＋b2＝c2＝1， ∴－＝1. ∴a2＝或a2＝9(舍去)． ∴b2＝， 故雙曲線方程為－＝1. 10．[2017·全國卷Ⅰ]設(shè)A，B為曲線C：y＝上兩點(diǎn)，A與B的橫坐標(biāo)之和為4. (1)求直線AB的斜率； (2)設(shè)M為曲線C

9、上一點(diǎn)，C在M處的切線與直線AB平行，且AM⊥BM，求直線AB的方程． 解析：(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝4， 于是直線AB的斜率k＝＝＝1. (2)由y＝，得y′＝. 設(shè)M(x3，y3)，由題設(shè)知＝1，解得x3＝2，于是M(2,1)． 設(shè)直線AB的方程為y＝x＋m， 故線段AB的中點(diǎn)為N(2,2＋m)，|MN|＝|m＋1|. 將y＝x＋m代入y＝得x2－4x－4m＝0. 當(dāng)Δ＝16(m＋1)>0，即m>－1時(shí)，x1,2＝2±2. 從而|AB|＝|x1－x2|＝4. 由題設(shè)知|AB|＝2|MN|，即4＝2(m＋1

10、)，解得m＝7. 所以直線AB的方程為y＝x＋7. [能力挑戰(zhàn)] 11．[2019·湖北聯(lián)考]已知拋物線y2＝2px(p>0)，點(diǎn)C(－4,0)，過拋物線的焦點(diǎn)作垂直于x軸的直線，與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若△CAB的面積為24，則以直線AB為準(zhǔn)線的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是(　　) A．y2＝4x B．y2＝－4x C．y2＝8x D．y2＝－8x 解析：因?yàn)锳B⊥x軸，且AB過點(diǎn)F，所以AB是焦點(diǎn)弦，且|AB|＝2p，所以S△CAB＝×2p×＝24，解得p＝4或－12(舍)，所以拋物線方程為y2＝8x，所以直線AB的方程為x＝2，所以以直線AB為準(zhǔn)線的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝－8x，

11、故選D. 答案：D 12．[2018·全國卷Ⅰ]設(shè)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)(－2,0)且斜率為的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，則·＝(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：由題意知直線MN的方程為y＝(x＋2)， 聯(lián)立直線與拋物線的方程，得 解得或 不妨設(shè)M為(1,2)，N為(4,4)． 又∵拋物線焦點(diǎn)為F(1,0)，∴＝(0,2)，＝(3,4)． ∴·＝0×3＋2×4＝8. 故選D. 答案：D 13．[2018·全國卷Ⅲ]已知點(diǎn)M(－1,1)和拋物線C：y2＝4x，過C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A，B兩點(diǎn)．若∠AMB＝90°，則k＝______

12、__. 解析：解法一　設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 ∴y－y＝4(x1－x2)，∴k＝＝. 設(shè)AB中點(diǎn)M′(x0，y0)，拋物線的焦點(diǎn)為F，分別過點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線x＝－1的垂線，垂足為A′，B′， 則|MM′|＝|AB|＝(|AF|＋|BF|) ＝(|AA′|＋|BB′|)． ∵M(jìn)′(x0，y0)為AB中點(diǎn)， ∴M為A′B′的中點(diǎn)，∴MM′平行于x軸， ∴y1＋y2＝2，∴k＝2. 解法二　由題意知，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(1,0)，設(shè)直線方程為y＝k(x－1)，直線方程與y2＝4x聯(lián)立，消去y，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2＝1，x1＋x2＝. 由M(－1,1)，得＝(－1－x1,1－y1)，＝(－1－x2,1－y2)． 由∠AMB＝90°，得·＝0， ∴(x1＋1)(x2＋1)＋(y1－1)(y2－1)＝0， ∴x1x2＋(x1＋x2)＋1＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝0. 又y1y2＝k(x1－1)·k(x2－1)＝k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]，y1＋y2＝k(x1＋x2－2)， ∴1＋＋1＋k2－k＋1＝0， 整理得－＋1＝0，解得k＝2. 答案：2