2、季內(nèi),每售出1盒該產(chǎn)品獲得利潤30元,未售出的產(chǎn)品,每盒虧損10元.根據(jù)歷史資料,得到開學(xué)季市場需求量的頻率分布直方圖,如圖所示.該同學(xué)為這個(gè)開學(xué)季購進(jìn)了160盒該產(chǎn)品,以x(單位:盒,100≤x≤200)表示這個(gè)開學(xué)季內(nèi)的市場需求量,y(單位:元)表示這個(gè)開學(xué)季內(nèi)經(jīng)銷該產(chǎn)品的利潤.
(1)根據(jù)直方圖估計(jì)這個(gè)開學(xué)季內(nèi)市場需求量x的眾數(shù)和平均數(shù);
(2)將y表示為x的函數(shù);
(3)根據(jù)直方圖估計(jì)利潤y不少于4000元的概率.
解 (1)由頻率分布直方圖得,這個(gè)開學(xué)季內(nèi)市場需求量x的眾數(shù)是150盒,
需求量在[100,120)內(nèi)的頻率為0.0050×20=0.1,
需求量在[120
3、,140)內(nèi)的頻率為0.0100×20=0.2,
需求量在[140,160)內(nèi)的頻率為0.0150×20=0.3,
需求量在[160,180)內(nèi)的頻率為0.0125×20=0.25,
需求量在[180,200]內(nèi)的頻率為0.0075×20=0.15.
則平均數(shù)=110×0.1+130×0.2+150×0.3+170×0.25+190×0.15=153(盒).
(2)因?yàn)槊渴鄢?盒該產(chǎn)品獲得利潤30元,未售出的產(chǎn)品,每盒虧損10元,
所以當(dāng)100≤x<160時(shí),y=30x-10×(160-x)=40x-1600,
當(dāng)160≤x≤200時(shí),y=160×30=4800,
所以y=
4、(3)因?yàn)槔麧檡不少于4000元,所以當(dāng)100≤x<160時(shí),由40x-1600≥4000,解得160>x≥140.
當(dāng)160≤x≤200時(shí),y=4800>4000恒成立,所以200≥x≥140時(shí),利潤y不少于4000元.
所以由(1)知利潤y不少于4000元的概率P=1-0.1-0.2=0.7.
3.直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是直角梯形,∠BAD=∠ADC=90°,AB=2AD=2CD=2.
(1)求證:AC⊥平面BB1C1C;
(2)在A1B1上是否存在一點(diǎn)P,使得DP與平面BCB1和平面ACB1都平行?證明你的結(jié)論.
解 (1)證明:∵直四棱柱AB
5、CD-A1B1C1D1中,
BB1⊥平面ABCD,∴BB1⊥AC.
又∵∠BAD=∠ADC=90°,AB=2AD=2CD=2,
∴AC=,∠CAB=45°.
∴BC=.∵BC2+AC2=AB2,∴BC⊥AC.
又BB1∩BC=B,BB1?平面BB1C1C,
BC?平面BB1C1C,∴AC⊥平面BB1C1C.
(2)存在點(diǎn)P,P為A1B1的中點(diǎn).
由P為A1B1的中點(diǎn),
有PB1∥AB,且PB1=AB.
又∵DC∥AB,DC=AB,
∴DC∥PB1,且DC=PB1.
∴DCB1P為平行四邊形,從而CB1∥DP.
又CB1?平面ACB1,DP?平面ACB1,
∴DP∥平
6、面ACB1.同理,DP∥平面BCB1.
4.在直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線C:ρsin2θ=2acosθ(a>0),直線l:(t為參數(shù)).
(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程,直線l的普通方程;
(2)設(shè)直線l與曲線C交于M,N兩點(diǎn),點(diǎn)P(-2,0),若|PM|,|MN|,|PN|成等比數(shù)列,求實(shí)數(shù)a的值.
解 (1)由ρsin2θ=2acosθ(a>0)兩邊同乘以ρ得,曲線C:y2=2ax,由直線l:(t為參數(shù)),消去t,得直線l:x-y+2=0.
(2)將代入y2=2ax得,t2-2at+8a=0,
由Δ>0得a>4,
設(shè)M,N,
則
7、t1+t2=2a,t1t2=8a,
∵|PM|,|MN|,|PN|成等比數(shù)列,∴|t1-t2|2=|t1t2|,
∴(2a)2-4×8a=8a,∴a=5.
5.已知函數(shù)f(x)=2|x+a|+|3x-b|.
(1)當(dāng)a=1,b=0時(shí),求不等式f(x)≥3|x|+1的解集;
(2)若a>0,b>0,且函數(shù)f(x)的最小值為2,求3a+b的值.
解 (1)當(dāng)a=1,b=0時(shí),由f(x)≥3|x|+1,得
2|x+1|≥1,所以|x+1|≥,
解得x≤-或x≥-,
所以所求不等式的解集為∪.
(2)解法一:因?yàn)閒(x)=2|x+a|+|3x-b|
=
所以函數(shù)f(x)在上為減函數(shù),在上為增函數(shù),
所以當(dāng)x=時(shí),函數(shù)f(x)取得最小值,
為f=2=2.
因?yàn)閍>0,b>0,所以3a+b=3.
解法二:f(x)=2+≥2+,等號在-a≤x≤時(shí)成立,
因?yàn)楫?dāng)x=時(shí),的最小值為0,
所以f(x)=2+≥2,
等號在x=時(shí)成立,
所以f(x)的最小值為2,從而2=2.
因?yàn)閍>0,b>0,所以3a+b=3.