2022屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 壓軸小題搶分練（三）

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1、2022屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 壓軸小題搶分練（三） 一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1-an≥2(n∈N*),則 (　　) A.an≥2n+1　　 B.Sn≥n2 C.an≥2n-1　　 D.Sn≥2n-1 【解析】選B.由題得a2-a1≥2,a3-a2≥2,a4-a3≥2,…,an-an-1≥2,所以a2-a1+ a3-a2+a4-a3+…+an-an-1≥2(n-1),所以an-a1≥2(n-1),所以an≥2n-1.所以a1≥1,a2≥3,a3≥5,…,an≥2n

2、-1,所以a1+a2+a3+…+an≥1+3+5+…+2n-1,所以Sn≥(1+ 2n-1)=n2. 2.如圖,三棱錐P-ABC中,△PAB,△PBC均為正三角形,△ABC為直角三角形,斜邊為AC,M為PB的中點(diǎn),則直線AM,PC所成角的余弦值為 (　　) A.- B. C. D. 【解析】選B.如圖,取BC的中點(diǎn)N,連接MN,AN,易得MN∥PC,則MN,AM所成的角即為直線AM,PC所成的角.設(shè)AB=2,則AN=,MN=1,AM=.在△AMN中,由余弦定理,得cos∠AMN==-,所以直線AM,PC所成角的余弦值為. 3.把函數(shù)f(x)=log2(x+1)的圖

3、象向右平移一個(gè)單位,所得圖象與函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱;已知偶函數(shù)h(x)滿足h(x-1)=h(-x-1),當(dāng)x∈[0,1]時(shí), h(x)=g(x)-1;若函數(shù)y=k·f(x)-h(x)有五個(gè)零點(diǎn),則k的取值范圍是 (　　) A.(log32,1)　　 B.[log32,1) C.　　 D. 【解析】選C.曲線f(x)=log2(x+1)右移一個(gè)單位, 得y=f(x-1)=log2x, 所以g(x)=2x,h(x-1)=h(-x-1)=h(x+1), 則函數(shù)h(x)的周期為2. 當(dāng)x∈[0,1]時(shí),h(x)=2x-1, y=kf(x)-h(x)有五個(gè)零點(diǎn),等

4、價(jià)于函數(shù)y=kf(x)與函數(shù)y=h(x)的圖象有五個(gè)公共點(diǎn). 繪制函數(shù)圖象如圖所示, 由圖象知kf(3)<1且kf(5)>1,即, 求解不等式組可得:log62

5、=-x(2-x)+y2=(x-1)2+y2-1, 由∈[0,2],所以·∈[-1,3]. 5.設(shè)函數(shù)f(x)=|ex-e2a|,若f(x)在區(qū)間(-1,3-a)內(nèi)的圖象上存在兩點(diǎn),在這兩點(diǎn)處的切線相互垂直,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 (　　) A.　　 B. C.　　 D.(-3,1) 【解析】選A.f(x)=|ex-e2a|= f′(x)= 若存在x1

6、2=0, 所以2a-1<00,b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1,F2,P為雙曲線C上一點(diǎn),Q為雙曲線C漸近線上一點(diǎn),P,Q均位于第一象限,且2=,·=0,則雙曲線C的離心率為 (　　) A.-1　　 B.+1　　 C.-2　　 D.+2 【解析】選C.設(shè)Q(at,bt)(t>0),P(m,n), 注意到∠F1QF2=90°,從而OQ=c, 故b2t2+a2t2=c2,即t=1, 故=(m-a,n-b),=(c-m,-n). 因?yàn)?=, 所以解得 代入雙曲線方程,則有-=1, =-2. 7.已知函

7、數(shù)y=x2的圖象在點(diǎn)(x0,)處的切線為l,若l也與函數(shù)y=ln x,x∈(0,1)的圖象相切,則x0必滿足 (　　) A.0,y=ln x的切線為y=x-1+ln x1,l為y=2x0x-, 故=1-ln ,-1-ln 2x0=0. 令h(x)=x2-1-ln 2x, 則h()=1-ln 2<0,h()=2-ln 2>0, 由零點(diǎn)存在定理得

8、x0∈(,),選D. 8.已知正實(shí)數(shù)a,b,c滿足a2-ab+4b2-c=0,當(dāng)取最小值時(shí),a+b-c的最大值為 (　　) A.2　　 B.　　 C.　　 D. 【解析】選C.正實(shí)數(shù)a,b,c滿足a2-ab+4b2-c=0,可得c=a2-ab+4b2, ==+-1≥2-1=3. 當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時(shí)取得等號(hào), 則a=2b時(shí),取得最小值,且c=6b2, 所以a+b-c=2b+b-6b2=-6b2+3b=-6+ 當(dāng)b=時(shí),a+b-c有最大值為. 9.設(shè)實(shí)數(shù)m>0,若對(duì)任意的x≥e,不等式x2ln x-m≥0恒成立,則m的最大值是 (　　) A.　　 B.　　 C.2e　　

9、D.e 【解析】選D.不等式x2ln x-m≥0 ?x2ln x≥m?xln x≥ ? ln xeln x≥, 設(shè)f(x)=xex(x>0),則f′(x)=(x+1)ex>0, 所以f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù). 因?yàn)?0,ln x>0,所以≤ln x, 即m≤xln x對(duì)任意的x≥e恒成立, 此時(shí)只需m≤(xln x)min. 設(shè)g(x)=xln x (x≥e),g′(x)=ln x+1 >0(x≥e), 所以g(x)在[e,+∞)上為增函數(shù), 所以g(x)min=g(e)=e, 所以m≤e,即m的最大值為e. 10.已知F1,F2分別為橢圓+=1(a>b>0)的

10、左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P是橢圓上位于第一象限內(nèi)的點(diǎn),延長(zhǎng)PF2交橢圓于點(diǎn)Q,若PF1⊥PQ,且|PF1|=|PQ|,則橢圓的離心率為 (　　) A.2-　　 B.-　　 C.-1　　 D.- 【解析】選D.由PF1⊥PQ且|PF1|=|PQ|,可得△PQF1為等腰直角三角形, 設(shè)|PF1|=t,|QF1|=t,即有2t+t=4a, 則t=2(2-)a, 在直角△PF1F2中,可得t2+(2a-t)2=4c2, 化為c2=(9-6)a2,可得e==-. 11.在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)有兩個(gè)球O1,O2相外切,球O1與面ABB1A1、面ABCD、面ADD1A1相切,球

11、O2與面BCC1B1、面CC1D1D、面B1C1D1A1相切,則兩球表面積之和的最大值與最小值的差為 (　　) A.(2-)π　　 B. C.(3-)π　　 D. 【解析】選A.設(shè)球O1,O2的半徑分別為r1,r2, 由題意得r1+r1+r2+r2=, 所以r1+r2=,令a=. 表面積和為S,所以S=4π+4π, 所以=+=+(a-r1)2=2+, 又r1最大時(shí),球O1與正方體六個(gè)面相切,且(r1)max=,(r1)min=-=. 所以r1∈. 又<<,所以當(dāng)r1=時(shí),=, 當(dāng)r1=或時(shí),=a2-a+, 所以-=-a+ ==.所以兩球表面積之和的最大值與最小

12、值的差為(2-)π. 12.設(shè)函數(shù)f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整數(shù)x0,使得f(x0)<0,則a的取值范圍是 (　　) A. B. C. D. 【解析】選D.設(shè)g(x)=ex(2x-1),h(x)=ax-a, 由題意,知存在唯一的整數(shù)x0,使得g(x0)在直線 h(x)=ax-a的下方. 因?yàn)間′(x)=ex(2x+1),所以當(dāng)x<-時(shí),g′(x)<0, 當(dāng)x>-時(shí),g′(x)>0,所以g(x)在上單調(diào)遞減, 在上單調(diào)遞增, 作出g(x)與h(x)的大致圖象,如圖所示, 故即 所以≤a<1. 二、填空題(本大題共4小題,

13、每小題5分,共20分.請(qǐng)把正確答案填在題中橫線上) 13.在平面四邊形ABCD中,AB⊥AC,AD⊥CD,AB=3,AC=8,則BD的最大值為________.? 【解析】根據(jù)題意,畫出相應(yīng)的四邊形, 設(shè)∠CAD=α,則有AD=8cos α ,BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos∠DAB =9+64cos2α-48cos αcos =24sin 2α+32cos 2α+41 =40sin(2α+φ)+41,其中cos φ=, 所以其最大值為81,所以BD的最大值為9. 答案:9 14.已知Sn為正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,2Sn=an+(n∈N*),記數(shù)列{}的前n項(xiàng)和

14、為Tn,則的最小值為________.? 【解析】由題意結(jié)合2Sn=an+, 當(dāng)n=1時(shí),2a1=a1+,結(jié)合a1>0可得:a1=1; 當(dāng)n=2時(shí),2(a1+a2)=a2+, 結(jié)合a2>0可得:a2=-1; 當(dāng)n=3時(shí),2(a1+a2+a3)=a3+, 結(jié)合a3>0可得:a3=-; 猜想an= 以下用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明: 當(dāng)n=1,n=2時(shí),結(jié)論是成立的, 假設(shè)當(dāng)n≥2時(shí),數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為:ak=-,則Sk=, 由題意可知:2Sk+1=ak+1+, 結(jié)合假設(shè)有:2(+ak+1)=ak+1+, 解得:ak+1=-, 綜上可得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是正確的.

15、據(jù)此可知:Sn=,=n, 利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式可得:Tn=, 則==++, 結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知,當(dāng)n=3或n=4時(shí),取得最小值, 當(dāng)n=3時(shí)=++=, 當(dāng)n=4時(shí)=++=, 由于<,據(jù)此可知的最小值為. 答案: 15.如圖,在△ABC中,BC=2,∠ABC=,AC的垂直平分線DE與AB,AC分別交于D,E兩點(diǎn),且DE=,則BE2=________. ? 【解析】由題意知DE垂直平分AC,所以∠A=∠ACD, 故∠BDC=2∠A,所以==, 故CD=. 又DE=CDsin∠ACD=CDsin A==, 所以cos A=,而A∈(0,π),故A=, 因此△A

16、DE為等腰直角三角形,所以AE=DE=. 在△ABC中,∠ACB=,所以=, 故AB=+1, 在△ABE中,BE2=(+1)2+-2×(+1)××=+. 答案:+ 16.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓C1:(x-1)2+y2=2,圓C2:(x-m)2+(y+m)2=m2.圓C2上存在點(diǎn)P滿足:過(guò)點(diǎn)P向圓C1作兩條切線PA,PB,切點(diǎn)為A,B,△ABP的面積為1,則正數(shù)m的取值范圍是____________. ? 【解析】如圖,由圓C1:(x-1)2+y2=2,圓C2:(x-m)2+(y+m)2=m2, 得C1(1,0),C2(m,-m), 設(shè)圓C2上點(diǎn)P,則PA2=PG·PC1, 而PA2=P-2, 所以P-2=PG·PC1,則PG=, AG== =, 所以S△PAB=2··· ==1. 令=t(t≥0), 得t3-t2-4=0,解得:t=2. 即=2,所以PC1=2. 圓C2:(x-m)2-(y+m)2=m2上點(diǎn)P到C1距離的最小值為|C1C2|-m=-m, 最大值為|C1C2|+m=+m, 由-m≤2≤+m, 得 解①得:3-2≤m≤3+2, 解②得:m≤-3或m≥1. 取交集得:1≤m≤3+2. 所以正數(shù)m的取值范圍是[1,3+2]. 答案:[1,3+2]