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1、2022高考數(shù)學(xué)”一本“培養(yǎng)優(yōu)選練 中檔大題分類(lèi)練2 數(shù)列 文
1．已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a1＝4，an＝2n＋1(n≥2)．
(1)證明：當(dāng)n≥2時(shí)，Sn＝an＋n2；
(2)若等比數(shù)列{bn}的前兩項(xiàng)分別為S2，S5，求{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
[解] (1)證明：當(dāng)n≥2時(shí)，
∵Sn＝4＋(5＋7＋…＋2n＋1)
＝4＋＝n2＋2n＋1，
∴Sn＝(2n＋1)＋n2＝an＋n2.
(2)由(1)知，S2＝9，S5＝36，
∴等比數(shù)列{bn}的公比q＝＝4，
又b1＝S2＝9，∴Tn＝＝3(4n－1)．
2．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＝1，S
2、n＋1＝4an＋2.
(1)設(shè)bn＝an＋1－2an，證明：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
[解] (1)證明：由已知有a1＋a2＝4a1＋2.
解得a2＝3a1＋2＝5，故b1＝a2－2a1＝3.
又an＋2＝Sn＋2－Sn＋1
＝4an＋1＋2－(4an＋2)
＝4an＋1－4an，
于是an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)，
即bn＋1＝2bn.
因此數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列．
(2)由(1)知等比數(shù)列{bn}中b1＝3，公比q＝2，
所以an＋1－2an＝3×2n－1.
于是－＝，
因此數(shù)列是首項(xiàng)為、公差
3、為的等差數(shù)列．
＝＋(n－1)＝n－.
所以an＝(3n－1)·2n－2.
3．設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a3＝7，an＝2an－1＋a2－2(n≥2)．
(1)證明：{an＋1}為等比數(shù)列；
(2)求{an}的通項(xiàng)公式，并判斷n，an，Sn是否成等差數(shù)列．
[解] (1)證明：∵a3＝7，a3＝3a2－2，∴a2＝3，
∴an＝2an－1＋1，∴a1＝1，＝＝2(n≥2)，
∴{an＋1}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．
(2)由(1)知，an＋1＝2n，∴an＝2n－1.
∴Sn＝－n＝2n＋1－n－2，∴n＋Sn－2an＝n＋2n＋1－n－2－2(2n－1)
4、＝0
∴n＋Sn＝2an，即n，an，Sn成等差數(shù)列．
4．設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a1＝1，Sn＝2－2an＋1.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)bn＝(－1)nlogan，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
[解] (1)∵Sn＝2－2an＋1，a1＝1，
∴當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝2－2a2，得a2＝1－＝1－＝；
當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝2－2an，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，an＝2an－2an＋1，
即an＋1＝an, 又a2＝a1，
∴{an}是以a1＝1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．
∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝.
(2)由(1)知，bn＝(－1)n(
5、n－1)，
Tn＝0＋1－2＋3－…＋(－1)n(n－1),
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Tn＝；
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Tn＝－(n－1)＝，
∴Tn＝
（教師備選）
1．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2＋pn，且a2，a5，a10成等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)若bn＝1＋，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
[解] (1)當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n－1＋p，
當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝1＋p，也滿足an＝2n－1＋p，故an＝2n－1＋p，
∵a2，a5，a10成等比數(shù)列，∴(3＋p)(19＋p)＝(9＋p)2，
∴p＝6.∴an＝2n＋5.
(2)
6、由(1)可得bn＝1＋＝1＋＝1＋，
∴Tn＝n＋－＋－＋…＋－＝n＋＝.
2．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足Sn＝(an－1)，n∈N*.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)令bn＝log2an，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為T(mén)n，證明：Tn＜.
[解] (1)當(dāng)n＝1時(shí)，有a1＝S1＝(a1－1)，解得a1＝4.當(dāng)n≥2時(shí)，有Sn－1＝(an－1－1)，則
an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)，整理得：＝4，∴數(shù)列{an}是以q＝4為公比，以a1＝4為首項(xiàng)的等比數(shù)列. ∴an＝4×4n－1＝4n(n∈N*)，
即數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為：an＝4n(n∈N*)．
(2)由(1)有bn＝log2an＝log24n＝2n，則，
＝＝，
∴Tn＝＋＋＋…＋
＝－＋－＋－＋…＋－＝＜，故得證．
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