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1、2022年高三數(shù)學一輪復習 專項訓練 函數(shù)（含解析）
1．記f(x)＝lg(2x－3)的定義域為集合M，函數(shù)g(x)＝的定義域為集合N，求：
(1)集合M，N；(2)集合M∩N，M∪N.
解 (1)M＝{x|2x－3>0}＝，
N＝＝＝{x|x≥3，或x<1}．
(2)M∩N＝{x|x≥3}，M∪N＝.
2．二次函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)在區(qū)間[－1,1]上，函數(shù)y＝f(x)的圖象恒在直線y＝2x＋m的上方，試確定實數(shù)m的取值范圍．
解 (1)由f(0)＝1，可設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋1(a≠0)，故f
2、(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2ax＋a＋b，由題意，得解得
故f(x)＝x2－x＋1.
(2)由題意，得x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1>m，對x∈[－1,1]恒成立．令g(x)＝x2－3x＋1，則問題可轉(zhuǎn)化為g(x)min>m，又因為g(x)在[－1,1]上遞減， 所以g(x)min＝g(1)＝－1，故m<－1.
3．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減的函數(shù)是
( )．
A．y＝x2 B．y＝|x|＋1
C．y＝－lg|x| D．y＝2|x|
解析 對于C中函數(shù)，當x>0時，y＝－lg x，
3、故為(0，＋∞)上的減函數(shù)，且y＝－lg |x|為偶函數(shù)．
答案 C
4、設(shè)函數(shù)y＝x2－2x，x∈[－2，a]，若函數(shù)的最小值為g(a)，求g(a)的表達式。
解析 ∵函數(shù)y＝x2－2x＝(x－1)2－1，∴對稱軸為直線x＝1.
當－2≤a<1時，函數(shù)在[－2，a]上單調(diào)遞減，則當x＝a時，ymin＝a2－2a；當a≥1時，函數(shù)在[－2,1]上單調(diào)遞減，在[1，a]上單調(diào)遞增，則當x＝1時，ymin＝－1.
綜上，g(a)＝
答案
5．設(shè)函數(shù)f(x)對任意的a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，且當x>0時，f(x)>1.
(1)求證：f(x)是R上的增函數(shù)
4、；
(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m2－m－2)<3.
(1)證明 設(shè)x10，∴f(Δx)>1，
∴f(x2)＝f(x1＋Δx)＝f(x1)＋f(Δx)－1>f(x1)，
∴f(x)是R上的增函數(shù)．
(2)解 f(4)＝f(2)＋f(2)－1＝5，∴f(2)＝3，
∴f(3m2－m－2)<3＝f(2)．
又由(1)的結(jié)論知f(x)是R上的增函數(shù)，
∴3m2－m－2<2，∴－1
5、原點對稱
.∵當00?－20.
∴綜上，f(x)<0的解集為{x|－2
6、義在R上的奇函數(shù)，且x≤0時，f(x)＝2x2－x，∴f(1)＝－f(－1)＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3.
答案 A
8．(xx·上海)已知y＝f(x)＋x2是奇函數(shù)，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，則g(－1)＝________.
解析 因為y＝f(x)＋x2是奇函數(shù)，且x＝1時，y＝2，所以當x＝－1時，y＝－2，即f(－1)＋(－1)2＝－2，得f(－1)＝－3，所以g(－1)＝f(－1)＋2＝－1.
答案?。?
9．(12分)已知f(x)是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對任意x，y，f(x)都滿足f(xy)＝y(tǒng)f(x)＋xf(y)．
(1)求f(1)，f(－
7、1)的值；
(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性．
解 (1)因為對定義域內(nèi)任意x，y，f(x)滿足f(xy)＝y(tǒng)f(x)＋xf(y)，所以令x＝y(tǒng)＝1，得f(1)＝0，令x＝y(tǒng)＝－1，得f(－1)＝0.
(2)令y＝－1，有f(－x)＝－f(x)＋xf(－1)，代入f(－1)＝0得f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)．
10．(13分)設(shè)定義在[－2,2]上的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2,0]上單調(diào)遞減，若f(1－m)
8、此f(1－m)0，∴0≤16－4x<16，∴∈[0,4)．
答案 C
12．已知函數(shù)f(x)＝若f(a)＝，則a的值為 ( )．
A．－1 B.
C．－1或 D．－1或
解析 若a>0，有l(wèi)og2a＝，a＝；若a≤0，有2a＝，a＝－1.
答案 D
13．函數(shù)y＝f(x)在R上單調(diào)遞增，且f(m2＋1)>f(－m＋1)，則實數(shù)
9、m的取值范圍是 ( )．
A．(－∞，－1) B．(0，＋∞)
C．(－1,0) D．(－∞，－1)∪(0，＋∞)
解析 由題意得m2＋1>－m＋1，即m2＋m>0，故m<－1或m>0.
答案 D
14．奇函數(shù)f(x)在[3,6]上是增函數(shù)，且在[3,6]上的最大值為2，最小值為－1，則2f(－6)＋f(－3)＝ ( )．
A．5 B．－5 C．3 D．－3
解析 由題意又∵f(x)是奇函數(shù)，∴2f(－6)＋f(－3)＝－2f(6)－f(3)＝－4＋1＝－3.
答案 D
15
10、．規(guī)定記號“?”表示一種運算，即a?b＝ab＋a＋b2(a，b為正實數(shù))．若1?k＝3，則k＝ ( )．
A．－2 B．1 C．－2或1 D．2
解析 根據(jù)運算有1·k＋1＋k2＝3，k為正實數(shù)，所以k＝1.
答案 B
16．函數(shù)f(x)＝的定義域是________．
解析 由log(x－1)≥0?0
11、f(|2x－1|)0時，f(x)＝ax(a>0且a≠1)，且f＝－3，則a的值為 ( )．
A. B．3 C．9 D.
解析 ∵f(log4)＝f＝f(－2)＝－f(2)＝－a2＝－3，∴a2＝3，解得a＝±，又a>0，∴a＝.
答案 A
19．設(shè)a＝log3，b＝0.3，c＝ln π，則 ( )．
A．a(chǎn)
12、ln e＝1，故a7，則實數(shù)m的取值范圍是________．
解析 ∵f(2)＝4，∴f(f(2))＝f(4)＝12－m>7，∴m<5.
答案 (－∞，5)
21．設(shè)f(x)＝lg是奇函數(shù)，則使f(x)<0的x的取值范圍是 ( )．
A．(－1,0) B．(0,1)
C．(－∞，0) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
解析 因為函數(shù)f(x)＝lg為奇函數(shù)，且在x＝0處有定義，故f(0)＝
13、0，即lg(2＋a)＝0，∴a＝－1.故函數(shù)f(x)＝lg＝lg.令f(x)<0得0<<1，即x∈(－1,0)．
答案 A
22．a(chǎn)＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8的大小關(guān)系是 ( )．
A．a(chǎn)>b>c B．c>a>b
C．b>c>a D．b>a>c
解析 由y＝ax的性質(zhì)知c>1，a<1，b<1，又考慮y＝0.8x的單調(diào)性可知a>b，∴c>a>b.
答案 B
23.(xx·山東卷)函數(shù)f(x)＝＋的定義域為( )．
A．(－3,0] B．(－3,1]
C．(－∞，－3)∪(－3,0] D．(－∞，－3)∪(－3,1]
14、
解析 (1)由題意解得－3＜x≤0.
24.函數(shù)y＝ln＋的定義域為________．
解析 (1)根據(jù)題意可知，??0＜x≤1，故定義域為(0,1]．
25. 函數(shù)f(x)＝的值域為________．
解析：當x≥1時，logx≤0；當x＜1時，0＜2x＜2，故值域為(0,2)∪(－∞，0]＝(－∞，2)．
26、Error! No bookmark name given. (1)已知f＝lg x，求f(x)的解析式．
(2)f(x)為二次函數(shù)且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2.試求出f(x)的解析式．
(3)定義在(－1,1)內(nèi)的函數(shù)f(x)滿足2f(x)－
15、f(－x)＝lg(x＋1)，求函數(shù)f(x)的解析式．
解 (1)令＋1＝t，由于x＞0，∴t＞1且x＝，
∴f(t)＝lg ，即f(x)＝lg (x＞1)．
(2)設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，又f(0)＝c＝3.
∴f(x)＝ax2＋bx＋3，∴f(x＋2)－f(x)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋3－(ax2＋bx＋3)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2.
∴∴
∴f(x)＝x2－x＋3.
(3)當x∈(－1,1)時，有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)．①
以－x代替x得，2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)．②
由①②消去f(－x)得，
f(x)＝lg
16、(x＋1)＋lg(1－x)，x∈(－1,1)．
27、(1)若f(x＋1)＝2x2＋1，則f(x)＝________.
(2)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝2f(x)．若當0≤x≤1時，f(x)＝x(1－x)，則當－1≤x≤0時，f(x)＝________.
解析 (1)令t＝x＋1，則x＝t－1，
所以f(t)＝2(t－1)2＋1＝2t2－4t＋3.
所以f(x)＝2x2－4x＋3.
(2)當－1≤x≤0時，有0≤x＋1≤1，所以f(1＋x)＝(1＋x)[1－(1＋x)]＝－x(1＋x)，又f(x＋1)＝2f(x)，所以f(x)＝f(1＋x)＝－.
答案 (1)2x
17、2－4x＋3 (2)－
28.已知函數(shù)f(x)＝則f(a)＋f(1)＝0，則實數(shù)a的值等于( )．
A．－3 B．－1或3
C．1 D．－3或1
解析 因為f(1)＝lg 1＝0，所以由f(a)＋f(1)＝0得f(a)＝0.當a＞0時，f(a)＝lg a＝0，所以a＝1.
當a≤0時，f(a)＝a＋3＝0，解得a＝－3.所以實數(shù)a的值為a＝1或a＝－3，選D.
答案 D
29．(xx·臨沂一模)函數(shù)f(x)＝ln＋的定義域為( )．
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(0,1) D．(0,1)∪(1，＋∞)
解析 要使函數(shù)有意義，則有
即解得
18、x＞1.
答案 B
30．已知函數(shù)f(x)＝則f(log27)＝( )．
A. B. C. D.
解析 因為log27＞1，log2＞1,0＜log2＜1，所以f(log27)＝f(log27－1)＝f(log2)＝f(log2－1)＝f(log2)＝2log2＝.
答案 C
31．函數(shù)f(x)＝ln的定義域是________．
解析 由題意知＞0，即(x－2)(x＋1)＞0，解得x＞2或x＜－1.
答案 {x|x＞2，或x＜－1}
32．已知函數(shù)f(x)＝若f(f(0))＝4a，則實數(shù)a＝________.
解析 f(f(0))＝f(2)＝4＋2a＝4a，解得a＝
19、2.
答案 2
32．f(x)＝則滿足f(x)＝的x值為________．
解析 當x∈(－∞，1]時，2－x＝＝2－2，∴x＝2(舍去)；
當x∈(1，＋∞)時，log81x＝，即x＝＝＝3.
答案 3
33．若函數(shù)f(x)＝x2－x＋a的定義域和值域均為[1，b](b>1)，求a，b的值．
解 ∵f(x)＝(x－1)2＋a－，
∴其對稱軸為x＝1，即函數(shù)f(x)在[1，b]上單調(diào)遞增．
∴f(x)min＝f(1)＝a－＝1，①
f(x)max＝f(b)＝b2－b＋a＝b，②
又b>1，由①②解得∴a，b的值分別為，3.
單調(diào)性
1、 求函數(shù)y＝log(x2－4x＋
20、3)的單調(diào)區(qū)間．
解析：令u＝x2－4x＋3，原函數(shù)可以看作y＝logu與u＝x2－4x＋3的復合函數(shù)．
令u＝x2－4x＋3＞0.則x＜1或x＞3.
∴函數(shù)y＝log(x2－4x＋3)的定義域為
(－∞，1)∪(3，＋∞)．
又u＝x2－4x＋3的圖象的對稱軸為x＝2，且開口向上，
∴u＝x2－4x＋3在(－∞，1)上是減函數(shù)，在(3，＋∞)上是增函數(shù)．而函數(shù)y＝logu在(0，＋∞)上是減函數(shù)，
∴y＝log(x2－4x＋3)的單調(diào)遞減區(qū)間為(3，＋∞)，單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，1)．
2、若f(x)＝－x2＋2ax與g(x)＝在區(qū)間[1,2]上都是減函數(shù)，則a的取值范圍是(
21、 )．
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－1,0)∪(0,1]
C．(0,1) D．(0,1]
f(x)在[a，＋∞)上是減函數(shù)，對于g(x)，只有當a>0時，它有兩個減區(qū)間為(－∞，－1)和(－1，＋∞)，故只需區(qū)間[1,2]是f(x)和g(x)的減區(qū)間的子集即可，則a的取值范圍是0
22、 B
4、(xx·日照模擬)已知f(x)＝是(－∞，＋∞)上的減函數(shù)，那么a的取值范圍是( )．
A．(0,1) B.
C. D.
解析 當x＝1時，loga1＝0，若f(x)為R上的減函數(shù)，則(3a－1)x＋4a≥0在x＜1時恒成立．
令g(x)＝(3a－1)x＋4a，
則必有即?≤a＜.
答案 C
5．下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，＋∞)上為增函數(shù)的是( )．
A．y＝ln(x＋2) B．y＝－
C．y＝x D．y＝x＋
解析 函數(shù)y＝ln(x＋2)在(－2，＋∞)上是增函數(shù)；函數(shù)y＝－在[－1，＋∞)上是減函數(shù)；函數(shù)y＝x在(0，＋∞)上是減函數(shù)；函數(shù)y＝x＋
23、在(0,1)上是減函數(shù)，在(1，＋∞)上是增函數(shù)．綜上可得在(0，＋∞)上是增函數(shù)的是y＝ln(x＋2)，故選A.
答案 A
6．已知函數(shù)f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在區(qū)間(－∞，3)上是減函數(shù)，則a的取值范圍是( )．
A. B. C. D.
解析 當a＝0時，f(x)＝－12x＋5在(－∞，3)上是減函數(shù)；當a≠0時，由得0＜a≤.
綜上，a的取值范圍是0≤a≤.
答案 D
7．已知函數(shù)f(x)為R上的減函數(shù)，則滿足f
24、∪(0,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析 由f(x)為R上的減函數(shù)且f
25、y＝－(x－3)|x|＝由圖可知其遞增區(qū)間為.
答案
10．設(shè)a>1，函數(shù)f(x)＝logax在區(qū)間[a,2a]上的最大值與最小值之差為，則a＝________.
解析 由a>1知函數(shù)f(x)在[a,2a]上為單調(diào)增函數(shù)，則loga(2a)－logaa＝，解得a＝4.
答案 4
11．設(shè)函數(shù)f(x)＝的最小值為2，則實數(shù)a的取值范圍是________．
解析 由題意知，當x＝1時，f(x)min＝2，故－1＋a≥2，
∴a≥3.
答案 [3，＋∞)
奇偶性和周期性
1、已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)和偶函數(shù)g(x)滿足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a>0且a≠
26、1)，若g(2)＝a，則f(2)＝( )．
A．2 B.
C. D．a(chǎn)2
解析 (1)∵g(x)為偶函數(shù)，f(x)為奇函數(shù)，
∴g(2)＝g(－2)＝a，f(－2)＝－f(2)，
∴f(2)＋g(2)＝a2－a－2＋2，①
f(－2)＋g(－2)＝－f(2)＋g(2)＝a－2－a2＋2，②
聯(lián)立①②解得g(2)＝2＝a，f(2)＝a2－a－2
＝22－2－2＝.
答案 B
2、設(shè)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)．當x≥0時，f(x)＝2x＋2x＋b(b為常數(shù))，則f(－1)＝( )．
A．－3 B．－1 C．1 D．3
(2
27、)因為f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，
所以f(0)＝20＋2×0＋b＝0，解得b＝－1.
所以當x≥0時，f(x)＝2x＋2x－1，
所以f(－1)＝－f(1)＝－(21＋2×1－1)＝－3.
答案：A
3、下列函數(shù)中，在其定義域中，既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是( )．
A．f(x)＝ B．f(x)＝
C．f(x)＝2－x－2x D．f(x)＝－tan x
解析 (1)f(x)＝在定義域上是奇函數(shù)，但不單調(diào)；
f(x)＝為非奇非偶函數(shù)；f(x)＝－tan x在定義域上是奇函數(shù)，但不單調(diào)．
答案：C
4、已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，在區(qū)間[0，＋∞)上為增函數(shù)，且f
28、＝0，則不等式f(logx)＞0的解集為( )．
A. B．(2，＋∞)
C.∪(2，＋∞) D.∪(2，＋∞)
解析：由已知f(x)在R上為偶函數(shù)，且f＝0，
∴f(logx)＞0等價于f(|logx|)＞f，又f(x)在[0，＋∞)上為增函數(shù)，∴|logx|＞，即logx＞或logx＜－，解得0＜x＜或x＞2，故選C.
答案 C
5、已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，則( )．
A．f(－25)＜f(11)＜f(80)
B．f(80)＜f(11)＜f(－25)
C．f(11)＜f(80)＜f(－25)
29、D．f(－25)＜f(80)＜f(11)
審題路線 f(x－4)＝－f(x)f(x－8)＝f(x)→結(jié)合f(x)奇偶性、周期性把－25,11,80化到區(qū)間[－2,2]上→利用[－2,2]上的單調(diào)性可得出結(jié)論．
解析 ∵f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，
∴f(x－8)＝f(x)，∴函數(shù)f(x)是以8為周期的周期函數(shù)，則f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．
由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．
∵f(x)在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，
f(x)在R上是奇函數(shù)，
∴f(x)
30、在區(qū)間[－2,2]上是增函數(shù)，
∴f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)．
答案 D
6、定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足：f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上是增函數(shù)，下列關(guān)于f(x)的判斷：
①f(x)是周期函數(shù)；
②f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱；
③f(x)在[0,1]上是增函數(shù)；
④f(x)在[1,2]上是減函數(shù)；
⑤f(4)＝f(0)．
其中判斷正確的序號是________．
解析 f(x＋1)＝－f(x)?f(x＋2)＝f(x)，故f(x)是周期函數(shù)．又f(x)＝f(－x)，所以f(x＋2)＝f(－x)，故f(x)的圖象
31、關(guān)于直線x＝1對稱．同理，f(x＋4)＝f(x)＝f(－x)，所以f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱．由f(x)在[－1,0]上是增函數(shù)，得f(x)在[0,1]上是減函數(shù)，在[1,2]上是增函數(shù)．因此可得①②⑤正確．
答案 ①②⑤
7、(xx·遼寧卷)若函數(shù)f(x)＝為奇函數(shù)，則a＝( )．
A. B. C. D．1
解析：由已知f(x)為奇函數(shù)得f(－1)＝－f(1)，
即＝，
所以a＋1＝3(1－a)，解得a＝.
[答案] A
8．若函數(shù)f(x)＝ax2＋(2a2－a－1)x＋1為偶函數(shù)，則實數(shù)a的值為( )．
A．1 B．－
C．1或－
32、 D．0
解析 由2a2－a－1＝0，得a＝1或－.
答案 C
9．已知定義域為R的函數(shù)f(x)＝是奇函數(shù)，則a＝________，b＝________.
解析 由f(0)＝0，得b＝1，再由f(－1)＝－f(1)，得＝－，解得a＝2.
答案 2 1
10．(xx·廣東卷)定義域為R的四個函數(shù)y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sin x中，奇函數(shù)的個數(shù)是( )．
A．4 B．3 C．2 D．1
解析 由奇函數(shù)的概念可知y＝x3，y＝2sin x是奇函數(shù)．
答案 C
11、設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對稱，則f＝(
33、 )．
A．0 B．1 C．－1 D．2
解析 由f(x)是奇函數(shù)可知，f(0)＝0，f＝－f.又y＝f(x)的圖象關(guān)于x＝對稱，所以f(0)＝f，因此f＝0.
答案 A
12、已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，對任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)，若f(－2)＝2，則f(2 014)等于( )．
A．2 012 B．2 C．2 013 D．－2
解析 ∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)的周期為4，
∴f(2 014)＝f(2)，又f(x)為奇函數(shù)，∴f(2)＝－f(－2)＝－2，即f(2 014)＝－2.
答案 D
13．函數(shù)f(x)是周期為4的偶函數(shù)
34、，當x∈[0,2]時，f(x)＝x－1，則不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集為( )．
A．(1,3) B．(－1,1)
C．(－1,0)∪(1,3) D．(－1,0)∪(0,1)
解析 f(x)的圖象如圖．
當x∈(－1,0)時，由xf(x)>0，得x∈(－1,0)；
當x∈(0,1)時，由xf(x)>0，得x∈?；
當x∈(1,3)時，由xf(x)>0，得x∈(1,3)．
∴x∈(－1,0)∪(1,3)，故選C.
答案 C
14、f(x)為奇函數(shù)，當x＜0時，f(x)＝log2(1－x)，則f(3)＝________.
解析 f(3)＝－f(－3)＝－
35、log24＝－2.
答案?。?
15．(xx·青島二模)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f(x＋2)＝f(x)對任意x∈R成立，當x∈(－1,0)時f(x)＝2x，則f＝________.
解析 因為f(x＋2)＝f(x)，故f＝f＝－f＝1.
答案 1
16．設(shè)定義在[－2,2]上的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞減，若f(1－m)＜f(m)，則實數(shù)m的取值范圍是________．
解析 ∵f(x)是偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．
∴不等式f(1－m)＜f(m)?f(|1－m|)＜f(|m|)．
又當x∈[0,2]時，f(x)是減函數(shù)．
∴
36、解得－1≤m＜.
答案
17．f(x)為R上的奇函數(shù)，當x＞0時，f(x)＝－2x2＋3x＋1，求f(x)的解析式．
解 當x＜0時， －x＞0，則
f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.
由于f(x)是奇函數(shù)，故f(x)＝－f(－x)，
所以當x＜0時，f(x)＝2x2＋3x－1.
因為f(x)為R上的奇函數(shù)，故f(0)＝0.
綜上可得f(x)的解析式為f(x)＝
18．設(shè)f(x)是定義域為R的周期函數(shù)，最小正周期為2，且f(1＋x)＝f(1－x)，當－1≤x≤0時，f(x)＝－x.
(1)判定f(x)的奇偶性；
(2)試求出函數(shù)f(x)在區(qū)
37、間[－1,2]上的表達式．
解 (1)∵f(1＋x)＝f(1－x)，
∴f(－x)＝f(2＋x)．
又f(x＋2)＝f(x)，
∴f(－x)＝f(x)，
∴f(x)是偶函數(shù)．
(2)當x∈[0,1]時，－x∈[－1,0]，
則f(x)＝f(－x)＝x；
進而當1≤x≤2時，－1≤x－2≤0，
f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2.
故f(x)＝
19、已知偶函數(shù)f(x)對?x∈R都有f(x－2)＝－f(x)，且當x∈[－1,0]時f(x)＝2x，則f(2 013)＝( )．
A．1 B．－1 C. D．－
解析 由f(x－2)＝－f(x)得f(x－4
38、)＝f(x)，所以函數(shù)的周期是4，故f(2 013)＝f(4×503＋1)＝f(1)＝f(－1)＝2－1＝.
答案 C
20．設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且對任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知當x∈[0,1]時，f(x)＝1－x，則：
①2是函數(shù)f(x)的周期；
②函數(shù)f(x)在(1,2)上遞減，在(2,3)上遞增；
③函數(shù)f(x)的最大值是1，最小值是0；
④當x∈(3,4)時，f(x)＝x－3.
其中所有正確命題的序號是________．
解析 由已知條件：f(x＋2)＝f(x)，則y＝f(x)是以2為周期的周期函數(shù)，①正確；當－1≤x≤0時0≤－x≤
39、1，
f(x)＝f(－x)＝1＋x，
函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示：
當3＜x＜4時，－1＜x－4＜0，
f(x)＝f(x－4)＝x－3，因此②④正確，③不正確．
答案?、佗冖?
B組
1．設(shè)函數(shù)f(x)＝x3cos x＋1，若f(a)＝11，則f(－a)＝________.
解析 記g(x)＝x3cos x，則g(x)為奇函數(shù)．
故g(－a)＝－g(a)＝－[f(a)－1]＝－10.
故f(－a)＝g(－a)＋1＝－9.
答案?。?
2．已知函數(shù)f(x)＝則f(f(2 013))＝________.
解析 f(2 013)＝2 013－100＝1 913，
40、
∴f(f(2 013))＝f(1 913)＝2cos
＝2cos＝1.
答案 1
3．設(shè)函數(shù)f(x)＝
若f(x)>1成立，則實數(shù)x的取值范圍是 ( )．
A．(－∞，－2)
B.
C.
D．(－∞，－2)∪
解析 當x≤－1時，由(x＋1)2>1，得x<－2，當x>－1時，由2x＋2>1，得x>－，故選D.
答案 D
4．設(shè)函數(shù)f(x)定義在實數(shù)集上，f(2－x)＝f(x)，且當x≥1時，f(x)＝ln x，則有 ( )．
A．f
41、2)
42、2，所以f[f(2 013)]＝f(32)＝2cos ＝2cos ＝－1.
答案 D
7、已知f(x)＝，x∈[1，＋∞)．
(1)當a＝時，求函數(shù)f(x)的最小值；
(2)若對任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，試求實數(shù)a的取值范圍．
審題路線 (1)當a＝時，f(x)為具體函數(shù)→求出f(x)的單調(diào)性，利用單調(diào)性求最值．
(2)當x∈[1，＋∞)時，f(x)＞0恒成立→轉(zhuǎn)化為x2＋2x＋a＞0恒成立．
解 (1)當a＝時，f(x)＝x＋＋2，聯(lián)想到g(x)＝x＋的單調(diào)性，猜想到求f(x)的最值可先證明f(x)的單調(diào)性．任取1≤x1＜x2，
則f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋＝，
∵1≤x1＜x2，∴x1x2＞1，∴2x1x2－1＞0.
又x1－x2＜0，∴f(x1)＜f(x2)，
∴f(x)在[1，＋∞)上是增函數(shù)，
∴f(x)在[1，＋∞)上的最小值為f(1)＝.
(2)在區(qū)間[1，＋∞)上，f(x)＝＞0恒成立，
則?等價于a大于函數(shù)φ(x)＝－(x2＋2x)在[1，＋∞)上的最大值．
只需求函數(shù)φ(x)＝－(x2＋2x)在[1，＋∞)上的最大值．
φ(x)＝－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上遞減，
∴當x＝1時，φ(x)最大值為φ(1)＝－3.
∴a＞－3，故實數(shù)a的取值范圍是(－3，＋∞)．
2022年高三數(shù)學一輪復習 專項訓練 函數(shù)（含解析）
