2、
(2)若AC=3,BC=9,求DE的長(zhǎng).
第2題圖
類(lèi)型二 8字型(有一組對(duì)頂角)
3. (xx撫順)如圖,矩形ABCD的頂點(diǎn)D在反比例函數(shù)y=(x<0)的圖象上,頂點(diǎn)B、C在x軸上,對(duì)角線AC的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)E,連接BE,若△BCE的面積是6,則k的值為( )
A. -6 B. -8 C. -9 D. -12
第3題圖
4. (xx眉山)如圖,點(diǎn)E是正方形ABCD的邊BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),連接DE,過(guò)頂點(diǎn)B作BF⊥DE,垂足為F,BF分別交AC于H,交DC于G.
(1)求證:BG=DE;
(2)若
3、點(diǎn)G為CD的中點(diǎn),求的值.
第4題圖
類(lèi)型三 母子型(有一個(gè)公共角,及一邊共用)
∠A公共角,AC為公共邊
∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB
5. (xx上海)已知:如圖,平行四邊形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E在邊BC的延長(zhǎng)線上,且OE=OB,連接DE.
(1)求證:DE⊥BE;
(2)如果OE⊥CD,求證:BD·CE=CD·DE.
第5題圖
6. (xx成都)如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,以CB為半徑作⊙C,交AC于點(diǎn)D,交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接BD,BE.
(1)求證:△ABD∽△AEB;
(2)當(dāng)=時(shí),求tanE;
(3)在(
4、2)的條件下,作∠BAC的平分線,與BE交于點(diǎn)F,若AF=2,求⊙C的半徑.
第6題圖
類(lèi)型四 雙垂直型
7. 如圖,在△ABC中,AB=AC,BD=CD,CE⊥AB于點(diǎn)E.
(1)求證:△ABD∽△CBE;
(2)若BD=3,BE=2,求AC的長(zhǎng).
第7題圖
8. (xx陜西)如圖,AB是⊙O的直徑,AC是⊙O的弦,過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線DE,與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D,作AE⊥AC交DE于點(diǎn)E.
(1)求證:∠BAD=∠E;
(2)若⊙O的半徑為5,AC=8,求BE的長(zhǎng).
第8題圖
類(lèi)型五 一線三等角型
9. (xx宿遷)如圖,在△ABC
5、中,AB=AC,點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)(點(diǎn)E不與點(diǎn)B、C重合),滿足∠DEF=∠B,且點(diǎn)D、F分別在邊AB、AC上.
(1)求證:△BDE∽△CEF;
(2)當(dāng)點(diǎn)E移動(dòng)到BC的中點(diǎn)時(shí),求證:FE平分∠DFC.
第9題圖
10. 如圖,等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6,點(diǎn)D,E,F(xiàn)分別在BC,AB,AC上,且∠EDF=60°.
(1)求證:△BDE∽△CFD;
(2)當(dāng)BD=1,CF=3時(shí),求BE的長(zhǎng).
第10題圖
類(lèi)型六 三垂直型
11. (xx江西)如圖,正方形ABCD中,點(diǎn)E,F(xiàn),G分別在AB,BC,CD上,且∠EFG=90°.
求證:△EBF∽△
6、FCG.
第11題圖
12. 如圖,∠AOB=90°,反比例函數(shù)y=的圖象過(guò)點(diǎn)B,若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,1),BO=2,求B的坐標(biāo)和反比例函數(shù)的解析式.
第12題圖
13. (xx達(dá)州)如圖,已知AB為半圓O的直徑,C為半圓O上一點(diǎn),連接AC,BC,過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AC于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)A作半圓O的切線交OD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接BD并延長(zhǎng)交AE于點(diǎn)F.
(1)求證:AE·BC=AD·AB;
(2)若半圓O的直徑為10,sin∠BAC=,求AF的長(zhǎng).
第13題圖
答案
1. - 【解析】∵AC⊥x軸,BD⊥x軸,∴AC∥BD,∴△OCE∽△ODB,∴=()
7、2,∵OC=CD=OD,∴=()2=,設(shè)S△OCE=a,則S△ODB=4a,∴S四邊形BDCE=3a,∴3a=2,解得a=,∴S△OBD=4a=,∵|k|=S△ODB,即|k|=,解得k=±,∵反比例函數(shù)圖象的一支在第二象限,∴k<0,∴k=-.
2. (1)證明:如解圖,連接AE、OD,
第2題解圖
∵∠ACB=90°,
∴AE為⊙O的直徑,
∴O為AE的中點(diǎn),
又∵D為AB的中點(diǎn),
∴OD為△AEB的中位線,
∴OD∥BE,
∴∠ODF=∠DFB,
∵DF⊥BC,
∴∠DFB=90°,
∴∠ODF=90°,即OD⊥DF,
又∵OD是⊙O的半徑,
∴DF為⊙O
8、的切線;
(2)解:∵∠ACB=90°,AC=3,BC=9,
∴在Rt△ABC中,由勾股定理得
AB===3,
∵D為AB的中點(diǎn),
∴BD=AB=,
∵AE為⊙O的直徑,
∴∠ADE=90°,
∴∠BDE=∠BCA=90°,
又∵∠B=∠B,
∴△BDE∽△BCA,
∴=,即=,
解得DE=.
3. D 【解析】∵四邊形ABCD是矩形,∴AB⊥BC,又∵OE⊥BC,∠ACB=∠ECO,∴△ABC∽△EOC,=,∴BC·OE=AB·OC,即S△DCO=S△BCE=6,∴|k|=2S△DCO=12,∵反比例函數(shù)圖象在第二象限,∴k<0,∴k=-12.
4. (1)證明:
9、∵四邊形ABCD是正方形,
∴BC=CD,∠BCD=90°,
∴∠DCE=90°,即∠BCD=∠DCE,
∴∠E+∠CDE=90°,
∵BF⊥DE,
∴∠E+∠EBF=90°,
∴∠EBF=∠CDE,
在△BCG和△DCE中,
,
∴△BCG≌△DCE(ASA),
∴BG=DE;
(2)解:∵G是CD的中點(diǎn),
∴CG=GD,
則AB=BC=CD=2CG,
在Rt△BCG中,BG==CG,
∵∠DFG=∠BCG=90°,∠DGF=∠BGC,
∴△DGF∽△BGC,
∴=,即=,
∴GF=CG,
∵AB∥CD,
∴△GHC∽△BHA,
∴=,即=,
∴H
10、G=BH,
∴HG=BG=CG,
∴==.
5. 證明:(1)∵OE=OB,
∴∠OBE=∠OEB,
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴OB=OD,
∴OE=OD,
∴∠ODE=∠OED,
∵在△BED中,∠OBE+∠OEB+∠OED+∠ODE=180°,
∴2∠OEB+2∠OED=180°,
∴∠OEB+∠OED=90°,
即∠BED=90°,
∴DE⊥BE;
(2)如解圖,設(shè)OE交CD于點(diǎn)H.
第5題解圖
∵OE⊥CD,
∴∠CHE=90°,
∴∠CEH+∠DCE=90°,
∵∠CED=90°,
∴∠CDE+∠DCE=90°,
∴∠CDE=∠C
11、EH,
∵∠OEB=∠OBE,
∴∠OBE=∠CDE,
又∵∠CED=∠BED,
∴△CED∽△DEB,
∴=,即BD·CE=CD·DE.
6. (1)證明:∵∠ABC=90°,
∴∠ABD+∠DBC=90°,
∵CB=CE,
∴∠CBE=∠E,
∵DE是⊙C的直徑,
∴∠DBE=90°,
∴∠DBC+∠CBE=∠DBC+∠ABD=90°,
∴∠ABD=∠CBE=∠E,
又∵∠BAD=∠EAB,
∴△ABD∽△AEB;
(2)解:令A(yù)B=4x,則BC=3x,由勾股定理得AC=5x,
∵CD=BC=3x,
∴AD=2x,AE=8x,
由(1)知,△ABD∽△
12、AEB,
∴==,
∴==,
∵∠DBE=90°,
∴tanE==;
(3)解:如解圖,過(guò)點(diǎn)A作EB延長(zhǎng)線的垂線,垂足為點(diǎn)G,
第6題解圖
∵AF平分∠BAC,
∴∠1=∠2,
又∵BC=CE,
∴∠3=∠E,
在△BAE中,有∠1+∠2+∠3+∠E=180°-90°=90°,
∴∠4=∠2+∠E=45°,
∴△GAF為等腰直角三角形,
∵AF=2,
∴AG=,
由(2)可知,AE=8x,tanE=,
∴AG=AE=x,
即x=,
解得x=,
∴半徑r=3x=.
7. (1)證明:∵AB=AC,BD=CD,
∴AD⊥BC,
∵CE⊥AB,
∴
13、∠ADB=∠CEB=90°,
又∵∠B=∠B,
∴△ABD∽△CBE;
(2)解:∵BD=3,
∴BC=2BD=6,
∵△ABD∽△CBE,
∴=,即=,
解得AB=9,
∴AC=AB=9.
8. (1)證明:∵⊙O與DE相切于點(diǎn)B,AB為⊙O的直徑,
∴∠ABE=90°,
∴∠BAE+∠E=90°,
又∵∠DAE=90°,
∴∠BAD+∠BAE=90°,
∴∠BAD=∠E;
(2)解:如解圖,連接BC,
第8題解圖
∵AB為⊙O的直徑,
∴∠ACB=90°,
∵AC=8,AB=2×5=10,
∴BC==6,
∵∠BCA=∠ABE=90°,∠BAD
14、=∠E,
∴△ABC∽△EAB,
∴=,即=,
∴BE=.
9. 證明:(1)∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵∠B+∠BED+∠EDB=180°,∠BED+∠DEF+∠FEC=180°,∠DEF=∠B,
∴∠EDB=∠FEC,
∵∠B=∠C,
∴△BDE∽△CEF;
(2)由(1)知△BDE∽△CEF,
∴=,
∵BE=CE,
∴=,
又∵∠B=∠C=∠DEF,
∴△EDF∽△CEF,
∴∠DFE=∠EFC,
∴FE平分∠DFC.
10. (1)證明:∵△ABC為等邊三角形,
∴∠B=∠C=60°,
∴∠BED+∠EDB=180°-60°=120°,
15、
∵∠EDF=60°,
∴∠EDB+∠FDC=180°-60°=120°,
∴∠BED=∠FDC,
∴△BDE∽△CFD;
(2)解:由(1)知△BDE∽△CFD,
∴=,
∵BC=6,BD=1,
∴CD=BC-BD=5,
∴=,
解得BE=.
11. 證明:∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠B=∠C=90°,
∴∠BEF+∠EFB=90°,
∵∠EFG=90°,
∴∠EFB+∠CFG=180°-90°=90°,
∴∠BEF=∠CFG,
∴△EBF∽△FCG.
12. 解:如解圖,分別過(guò)點(diǎn)A、B作AC⊥x軸于點(diǎn)C,BD⊥x軸于點(diǎn)D,
第12題解圖
則∠A
16、CO=∠BDO=90°,
∴∠1+∠2=90°,
又∵∠AOB=90°,
∴∠2+∠3=90°,
∴∠1=∠3,
∴△BOD∽△OAC,
∴==,
∵A(2,1),
∴OC=2,AC=1,OA=,
又∵BO=2,
∴==,
∴OD=2,BD=4,
∴B(-2,4).
把B(-2,4)代入y=得k=-8,
∴反比例函數(shù)的解析式為y=-.
13. (1)證明:∵AB為半圓O的直徑,
∴∠ACB=90°,
∴∠BAC+∠ABC=90°,
∵AE為半圓O的切線,
∴∠BAE=90°,
∴∠EAD+∠BAC=90°,
∴∠EAD=∠ABC,
∵OD⊥AC,
17、∴∠ADE=∠ACB=90°,
∴△EAD∽△ABC,
∴=,
∴AE·BC=AD·AB;
(2)解:如解圖,設(shè)BF與半圓O交于點(diǎn)G,連接AG,則∠AGB=∠ACB=90°,
第13題解圖
∵∠ADG=∠BDC,
∴△ADG∽△BDC,
∴=,
∵在Rt△ABC中,BC=AB·sin∠BAC=10×=6,
∴AC==8,
∵OD⊥AC,
∴AD=CD=AC=4,
∴===,
設(shè)AG=3x,則DG=2x,由勾股定理得AG2+DG2=AD2,即9x2+4x2=42,
解得x=,則AG=,
∴BG==,
∵∠AFG+∠FAG=90°,∠FAG+∠GAB=90°,
∴∠AFG=∠BAG,
∴△AGF∽△BGA,
∴=,即=,
∴AF=.