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1、2022年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 提分專練07 以圓為背景的綜合計算與證明題練習(xí) 湘教版
|類型1| 圓與切線有關(guān)的問題
1.[xx·咸寧] 如圖T7-1,以△ABC的邊AC為直徑的☉O恰為△ABC的外接圓,∠ABC的平分線交☉O于點D,過點D作DE∥AC交BC的延長線于點E.
(1)求證:DE是☉O的切線;
(2)若AB=2,BC=,求DE的長.
圖T7-1
2.[xx·徐州] 如圖T7-2,AB為☉O的直徑,點C在☉O外,∠ABC的平分線與☉O交于點D,∠C=90°.
(1)CD與☉O有怎樣的位置關(guān)系?請說明理由.
(2)若∠CDB=60°,AB=6,求
2、的長.
圖T7-2
|類型2| 圓與四邊形結(jié)合的問題
3.[xx·宜昌] 如圖T7-3,四邊形ABCD中,E是對角線AC上一點,ED=EC,以AE為直徑的☉O與邊CD相切于點D,B點在☉O上,連接OB.
(1)求證:DE=OE;
(2)若AB∥CD,求證:四邊形ABCD是菱形.
圖T7-3
4.[xx·鎮(zhèn)江] 如圖T7-4①,平行四邊形ABCD中,AB⊥AC,AB=6,AD=10,點P在邊AD上運動,以P為圓心,PA為半徑的☉P與對角線AC交于A,E兩點.
(1)如圖②,當(dāng)☉P與邊CD相切于點F時,求AP的長;
(2)不難發(fā)現(xiàn),
3、當(dāng)☉P與邊CD相切時,☉P與平行四邊形ABCD的邊有三個公共點,隨著AP的變化,☉P與平行四邊形ABCD的邊的公共點的個數(shù)也在變化,若公共點的個數(shù)為4,直接寫出相對應(yīng)的AP的長的取值范圍 .?
圖T7-4
|類型3| 圓與三角函數(shù)結(jié)合的問題
5.[xx·貴港] 如圖T7-5,已知☉O是△ABC的外接圓,且AB=BC=CD,AB∥CD,連接BD.
(1)求證:BD是☉O的切線;
(2)若AB=10,cos∠BAC=,求BD的長及☉O的半徑.
圖T7-5
6.[xx·銅仁] 如圖T7-6,在三角形ABC中,AB=6,A
4、C=BC=5,以BC為直徑作☉O交AB于點D,交AC于點G,直線DF是☉O的切線,D為切點,交CB的延長線于點E.
(1)求證:DF⊥AC;
(2)求tanE的值.
圖T7-6
|類型4| 圓與相似三角形結(jié)合的問題
7.[xx·通遼] 如圖T7-7,☉O是△ABC的外接圓,點O在BC邊上,∠BAC的平分線交☉O于點D,連接BD,CD,過點D作BC的平行線與AC的延長線相交于點P.
(1)求證:PD是☉O的切線;
(2)求證:△ABD∽△DCP;
(3)當(dāng)AB=5 cm,AC=12 cm時,求線段PC的長.
圖T7-7
5、8.[xx·蘇州] 如圖T7-8,已知△ABC內(nèi)接于☉O,AB是直徑,點D在☉O上,OD∥BC,過點D作DE⊥AB,垂足為E,連接CD交OE于點F.
(1)求證:△DOE∽△ABC;
(2)求證:∠ODF=∠BDE;
(3)連接OC,設(shè)△DOE的面積為S1,四邊形BCOD的面積為S2,若=,求sinA的值.
圖T7-8
參考答案
1.解:(1)證明:連接OD,
∵AC是☉O的直徑,
∴∠ABC=90°,
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=45°,
∴∠AOD=90°.
∵DE∥AC,
∴∠ODE=∠AOD=90°,
∴DE是☉O的切線.
(2)
6、在Rt△ABC中,AB=2,BC=,
∴AC==5,
∴OD=.
過點C作CG⊥DE,垂足為G,
則四邊形ODGC為正方形,
∴DG=CG=OD=.
∵DE∥AC,
∴∠CEG=∠ACB,
又∵∠ABC=∠CGE=90°,
∴△ABC∽△CGE,
∴=,即=,解得GE=,
∴DE=DG+GE=.
2.解:(1)CD是☉O的切線,理由如下:
連接OD,則OD=OB,
∴∠2=∠3.
∵BD平分∠ABC,∴∠2=∠1,
∴∠1=∠3,∴OD∥BC.
∵∠C=90°,∴BC⊥CD,
∴OD⊥CD,
∴CD是☉O的切線.
(2)∵∠CDB=60°,∠C=90
7、°,
∴∠2=∠1=∠3=30°,
∴∠AOD=∠2+∠3=30°+30°=60°.
∵AB=6,∴OA=3,
∴的長=×π×3=π.
3.證明:(1)如圖,連接OD,∵CD是☉O的切線,
∴OD⊥CD,
∴∠2+∠3=∠1+∠COD=90°,
又∵DE=EC,∴∠2=∠1,∴∠3=∠COD,
∴DE=OE.
(2)∵OD=OE,DE=OE,∴OD=DE=OE,
∴∠3=∠COD=∠DEO=60°,∴∠2=∠1=30°.
∵OA=OB=OE,且OE=DE=EC,∴OA=OB=DE=EC,
又∵AB∥CD,∴∠4=∠1,∴∠2=∠1=∠4=∠OBA=30°,
∴△AB
8、O≌△CDE,∴AB=CD.
又∵AB∥CD,∴四邊形ABCD是平行四邊形.
∵∠DAE=∠DOE=30°,∴∠1=∠DAE,
∴CD=AD,∴四邊形ABCD是菱形.
4.解:(1)如圖,連接PF.
在Rt△ABC中,由勾股定理得AC===8.設(shè)AP=x,則DP=10-x,PF=x.∵☉P與邊CD相切于點F,∴PF⊥CD.
∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB∥CD.
又∵AB⊥AC,∴AC⊥CD,∴PF∥AC,
∴△DPF∽△DAC.
∴=,即=.
解得x=,即AP=.
(2)
9、☉O是△ABC的外接圓,AB=BC,則BH⊥AC且AH=CH.∵AB=CD,AB∥CD,∴四邊形ABDC是平行四邊形,∴AC∥BD,∴BH⊥BD,即OB⊥BD,
∴BD是☉O的切線.
(2)由(1)知,BD=AC,而AC=2AH=2AB·cos∠BAC=2×10×=12,∴BD=12.
設(shè)☉O的半徑為r,且OH=x,則有r+x=BH,AH2+x2=r2,又BH===8,∴r+x=8①,又由AH2+x2=r2得(r+x)(r-x)=AH2=36,
∴r-x=②,①②聯(lián)立,解得r=,∴☉O的半徑為.
6.解:(1)證明:如圖,連接OD,∵DF是☉O的切線,
∴OD⊥EF,∴∠ODE=9
10、0°.
∵AC=BC,∴∠ABC=∠A.
∵OD=OB,∴∠OBD=∠ODB,∴∠A=∠ODB,
∴OD∥AC,
∴∠CFE=∠ODE=90°,∴DF⊥AC.
(2)如圖,連接BG,∵BC是直徑,∴∠BGC=90°.
在Rt△ACD中,DC===4.
∵AB·CD=2S△ABC=AC·BG,
∴BG===,∴CG===.∵BG⊥AC,EF⊥AC,∴BG∥EF,∴∠E=∠CBG,∴tanE=tan∠CBG==.
7.解:(1)證明:連接OD.∵BC是☉O的直徑,∴∠BAC=90°,∵AD平分∠BAC,∴∠BAC=2∠BAD.又∵∠BOD=2∠BAD,∴∠BOD=∠BAC=9
11、0°.∵DP∥BC,∴∠ODP=∠BOD=90°,即PD⊥OD,又OD是☉O的半徑,∴PD是☉O的切線.
(2)證明:∵DP∥BC,∴∠ACB=∠P,又∠ACB=∠ADB,∴∠ADB=∠P.∵∠ABD+∠ACD=180°,∠ACD+∠DCP=180°,∴∠DCP=∠ABD,∴△ABD∽△DCP.
(3)∵BC是☉O的直徑,∴∠BDC=∠BAC=90°.在Rt△ABC中,BC===13(cm).
∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,∴∠BCD=∠CBD,∴BD=CD.在Rt△BCD中,∵BD2+CD2=BC2,∴BD=CD=BC=×13=(cm).
∵△ABD∽△DCP,∴=,即=
12、,
∴PC=16.9(cm).
8.解:(1)證明:∵AB是☉O的直徑,
∴∠ACB=90°.
∵DE⊥AB,∴∠DEO=90°.
∴∠DEO=∠ACB.
∵OD∥BC,∴∠DOE=∠ABC,
∴△DOE∽△ABC.
(2)證明:∵△DOE∽△ABC,∴∠ODE=∠A.
∵∠A和∠BDC是所對的圓周角,
∴∠A=∠BDC,∴∠ODE=∠BDC,
∴∠ODE-∠CDE=∠BDC-∠CDE,
即∠ODF=∠BDE.
(3)∵△DOE∽△ABC,∴=2=,
即S△ABC=4S△DOE=4S1.
∵OA=OB,∴S△BOC=S△ABC,
即S△BOC=2S1.
∵=,S2=S△BOC+S△DOE+S△DBE=2S1+S1+S△DBE,
∴S△DBE=S1,∴BE=OE,
即OE=OB=OD,
∴sinA=sin∠ODE==.
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