內蒙古中考數(shù)學重點題型專項訓練 圓的相關證明與計算

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1、內蒙古中考數(shù)學重點題型專項訓練 圓的相關證明與計算 類型一 平行線模型 ★1. 如圖，△ABC內接于⊙O，AC是直徑，BC＝BA，在 ∠ACB 的內部作∠ACF＝30°，且 CF＝CA，過點 F 作 FH⊥AC 于點 H，連接 BF. ︵ (1)若CF交⊙O于點G，⊙O的半徑是 4，求AG的長； (2)請判斷直線BF與⊙O的位置關系，并說明理由． 第 1 題圖 解：(1)如解圖，連接OG， ∵∠ACF＝30°，∴∠AOG＝2∠ACF＝60°， ∵⊙O的半徑是4，∴l(xiāng)︵＝nπr＝

2、60π×4＝4π； AG 180 180 3 (2)直線BF與⊙O相切，理由如下： 如解圖，連接 OB，∵AC 是⊙O 的直徑，∴∠ABC＝90°， ∵BC＝BA，OC＝OA，∴BO＝12AC，BO⊥AC， ∴∠BOC＝90°， ∵FH⊥AC，∴∠FHC＝∠BOC＝90°，∴BO∥FH， ∵在 Rt△FHC中，∠ACF＝30°，∴FH＝12CF， ∵BO＝12AC，CF＝CA，∴BO＝FH， ∵BO∥FH，∴四邊形 BOHF 是平行四邊形．∵∠FHC＝90°，∴平行四邊形 BOHF 是矩形，∴∠FBO＝90°，∴OB⊥BF， ∵OB 是⊙

3、O 的半徑，∴直線 BF 與⊙O 相切． ★2.在等腰△ABC中，AC＝BC，以BC為直徑的⊙O分別與AB、AC 相交于點 D、E，過點 D 作 DF⊥AC，垂足為點 F. (1)求證：DF是⊙O的切線； (2)分別延長CB、FD，相交于點G，∠A＝60°，⊙O的半徑 為 6，求陰影部分的面積． 第 2 題圖 （1）證明：如解圖，連接OD，∴OD＝OB， ∴∠ODB＝∠OBD， 第 2 題解圖 ∵AC＝BC，∴∠A＝∠OBD，

4、∴∠ODB＝∠A，∴AC∥OD， ∵DF⊥AC，∴DF⊥OD， ∵OD 為⊙O 的半徑，∴DF 是⊙O 的切線； (2)解：∵∠A＝60°，AC＝BC，OB＝OD， ∴∠C＝∠DOB＝60°， 由(1)知∠ODG＝90°，∴∠G＝30°， ∵OD＝6，∴DG＝ OD ＝63＝6 3， tan30° 1 60π×62 ∴S 陰影＝S△ODG－S 扇形DOB＝ ×6×6 3－ ＝18 3－6π. 360 2

5、類型二 弦切角模型 ★1.如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，D在AB的 延長線上，且∠BCD＝∠A. (1)求證：CD是⊙O的切線； (2)若⊙O的半徑為 3，CD＝4，求BD的長． 第 1 題圖 (1)證明：如解圖，連接OC， ∵AB 是⊙O 的直徑，∴∠ACB＝90°， ∴∠ACO＋∠OCB＝90°， ∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA， ∵∠OAC＝∠BCD，∴∠OCA＝∠BCD， ∴∠BCD＋∠BCO＝90°，∴OC⊥CD， ∵CO 是⊙O 的半徑，∴CD 是⊙O

6、的切線； (2)解：∵在Rt△OCD中，OC＝3，CD＝4，∠OCD＝90°，由勾股定理得 OD＝OC2＋CD2＝5， ∴BD＝OD－OB＝5－3＝2. 第 1 題解圖 ★2.如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O與BC 交于點 D，過點 D 作⊙O 的切線交 AC 于點 E. (1)求證：∠ABD＝∠ADE； (2)若⊙O的半徑為256，AD＝203，求CE的長． 第 2 題圖 (1)證明：如解圖，連接OD. ∵DE 為⊙O 的切

7、線，∴OD⊥DE， ∴∠ADO＋∠ADE＝90°. ∵AB 為⊙O 的直徑，∴∠ADB＝90°， ∴∠ADO＋∠ODB＝90°.∴∠ADE＝∠ODB， ∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠ABD ＝∠ADE; 第 2 題解圖 (2)解：∵AB＝AC＝2×256＝253，∠ADB＝∠ADC＝90°， ∴∠ABC＝∠C，BD＝CD. ∵O 為 AB 的中點，∴OD 為△ABC 的中位線，∴OD∥AC， ∵OD⊥DE，∴AC⊥DE， 在 Rt△ACD中， CD＝AC2－AD2＝（

8、253）2－（203）2＝5， ∵∠C＝∠C，∠DEC＝∠ADC＝90°，∴△DEC∽△ADC， CE DC CE 5 ∴DC＝AC，即5＝25，∴CE＝3. 類型三 雙切線模型 ★1.如圖，AB是⊙O的直徑，PA是⊙O的切線，點C在⊙O 上，CB∥PO. (1)判斷PC與⊙O的位置關系，并說明理由； (2)若AB＝6，CB＝4，求PC的長． 解：(1)PC與⊙O相切． 理由如下：如解圖，連接 OC， 第 1 題解圖 ∵CB

9、∥PO，∴∠POA＝∠B，∠POC＝∠OCB，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠B，∴∠POA＝∠POC，又∵OA＝OC，OP＝OP，∴△APO≌△CPO，∴∠OAP＝∠OCP， ∵PA 是⊙O 的切線，∴∠OAP＝90°，∴∠OCP＝90° ∴PC 是⊙O 的切線； (2)如解圖，連接AC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°， 由(1)知∠PCO＝90°，∠B＝∠OCB＝∠POC， ∴△ACB∽△PCO，∴OCBC＝ACPC， 又∵在 Rt△ABC中，AC＝AB2－CB2＝62－42＝25，∴PC＝OC·AC＝3×25＝35. BC 4 2 ★2

10、. 如圖，PB為⊙O的切線，B為切點，過B作OP的垂線BA，垂足為 C，交⊙O 于點 A，連接 PA，AO，并延長 AO 交⊙O 于點 E，與 PB 的延長線交于點 D. (1)求證：PA是⊙O的切線； (2)若 cos∠CAO＝45，且OC＝6，求PB的長． 第 2 題圖 (1)證明：如解圖，連接OB， ∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA， ∵OP⊥AB，∴AC＝BC，∴OP 是 AB 的垂直平分線， ∴PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA，∴∠PAO＝∠PB

11、O. ∵PB 為⊙O 的切線，∴∠OBP＝90°，∴∠PAO＝90°，∵OA 為⊙O 的半徑，∴PA 是⊙O 的切線； (2)解：∵cos∠CAO＝45， ∴設 AC＝4k，AO＝5k，由勾股定理可知 OC＝3k， ∴sin∠CAO＝35，tan∠COA＝43， ∴COOA＝35，即OA6＝35，解得 OA＝10， ∵tan∠POA＝tan∠COA＝AOAP＝43， ∴AP10＝43，解得 AP＝403， ∵PA＝PB，∴PB＝PA＝403. ★3.如圖，PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點，連接AO并延長，交 PB 的延長線于點

12、C，連接 PO，交⊙O 于點 D. (1)求證：PO平分∠APC； (2)連接DB，若∠C＝30°，求證：DB∥AC. 第 3 題圖 證明：(1)如解圖，連接OB， ∵PA、PB 是⊙O 的切線，∴OA⊥AP，OB⊥BP.又∵OA＝OB，∴PO 平分∠APC； 第 3 題解圖 (2)∵OA⊥AP，OB⊥BP， ∴∠CAP＝∠OBP＝90°， ∵∠C＝30°，∴∠APC＝90°－∠C＝60°， ∵PO 平分∠APC，∴∠OPC＝12∠APC＝12×60°

13、＝30°， ∴∠POB＝90°－∠OPC＝60°， 又∵OD＝OB， ∴△ODB 是等邊三角形，∴∠OBD＝60°， ∴∠DBP＝∠OBP－∠OBD＝30°， ∴∠DBP＝∠C，∴DB∥AC. 類型四 其他模型 ★1.如圖，以AB為直徑的⊙O經過點P，C是⊙O上一點，連接 PC 交 AB 于點 E，且∠ACP＝60°，PA＝PD. (1)試判斷DP與⊙O的位置關系，并說明理由； 若點 C 是︵的中點，AB＝ ，求 CE CP 的值． (2) AB 4 · 第 1 題圖 解：(1)

14、PD與⊙O相切．證明如下： 如解圖，連接 OP，∵∠ACP＝60°，∴∠AOP＝120°， ∵OA＝OP，∴∠OAP＝∠OPA＝30°， ∵PA＝PD，∴∠PAO＝∠D＝30°， ∵∠POD＝∠OAP＋∠OPA＝60°， ∴在△POD 中， ∠OPD ＝180°－∠D －∠DOP ＝180°－30°－60°＝90°，即 DP⊥OP， ∵OP 是⊙O 的半徑，∴DP 是⊙O 的切線； 第 1 題解圖 (2)如解圖，連接BC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°， 又 C 為︵的中點，

15、CAB＝ ABC＝ APC＝ ， ∵ AB ∴∠ ∠ ∠ 45° ∵AB＝4，∴AC＝AB·sin45°＝22，∵∠ACP＝∠ACP，∠CAB＝∠APC， ∴△CAE∽△CPA，∴CACP＝CACE， ∴CE·CP＝CA2＝(22)2＝8. ★2.如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，AD和過 點 C 的切線互相垂直，垂足為 D，直線 DC 與 AB 的延長線相交于點 P，弦 CE 平分∠ACB，交直徑 AB 于點 F，連接 BE. (1)求證：AC平分∠DAB； (2)探究線段PC，PF之間的大小關系，并加以證明； (3)若 ta

16、n∠PCB＝34，BE＝52，求PF的長． 第 2 題圖 (1)證明：如解圖，連接 OC,∵OA=OC，∴∠OAC＝∠OCA， ∵PC 是⊙O 的切線，∴AD⊥CD，∴∠OCP＝∠D＝90°， ∴OC∥AD,∴∠CAD＝∠OCA=∠OAC， 即 AC 平分∠DAB； （2）解：PC=PF，證明如下： ∵AB 是⊙O 的直徑，∴∠ACB=90°， ∴∠PCB+∠ACD=90°， 又∵∠CAD+∠ACD=90°，∴∠CAB＝∠CAD=∠PCB,

17、 第 2 題解圖 ∵∠ACE＝∠BCE,∠PFC＝∠CAB+∠ACE， ∠PCF＝∠PCB+∠BCE, ∴∠PFC＝∠PCF,∴PC＝PF； （3）解：如解圖，連接AE， ∵∠ACE＝∠BCE,∴ AE=BE,∴AE=BE,∴AB 是⊙的直徑，∴∠AEB=90°，∴AB= 2 BE=10,∴OB=OC=5,∵∠PCB=∠PAC，∠P=∠P， ∴△PCB∽△PAC，∴PCPB=BCCA， ∵tan∠PCB=tan∠CAB=34， 設 PB=3x，則 PC=4x，在Rt△POC 中， （3x+5）2=（4x）2+52，解

18、得x1=0（舍去），x2= 307，∴PF=PC=1207. ★3.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC為直徑的⊙O 交 AB 于點 D，E 是 AC 的中點，OE 交 CD 于點 F. (1)若 BCD＝36°，BC＝10，求 的長； ∠ BD (2)判斷直線DE與⊙O的位置關系，并說明理由； (3)求證：2CE2＝AB·EF. 第 3 題圖 (1)解：如解圖，連接OD，∵∠BCD＝36°， ∴∠BOD＝2∠BCD＝2×36°＝72°， ∵BC 是⊙O 的直徑，BC＝10，∴OB＝5，

19、 ∴l(xiāng) ︵＝72π×5＝2π； BD 180 第 3 題解圖 (2)解：DE是⊙O的切線；理由如下： ∵BC 是⊙O 的直徑，∴∠ADC＝180°－∠BDC＝90°， 又∵點 E 是線段 AC 的中點，∴DE＝12AC＝EC， OD＝OC 在△DOE 與△COE 中，OE＝OE ，∴△DOE≌△COE(SSS)．DE＝CE ∵∠ACB＝90°，∴∠ODE＝∠OCE＝90°， ∵OD 是⊙O 的半徑，∴DE 是⊙O 的切線； (3)證明：由(2)知，△DOE≌△COE， ∴OE 是線段 CD 的垂直平分線，DE＝CE， ∴點 F 是線段 CD 的中點， 已知點 E 是線段 AC 的中點，則 EF＝12AD， ∵∠BAC＝∠CAD，∠ADC＝∠ACB， ∴△ACD∽△ABC，則ACAB＝ADAC，即 AC2＝AB·AD， 而 AC＝2CE，AD＝2EF， ∴(2CE)2＝AB·2EF，即 4CE2＝AB·2EF， ∴2CE2＝AB·EF.