山東省德州市2022中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第三章 函數(shù) 第七節(jié) 二次函數(shù)的綜合應(yīng)用檢測

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1、山東省德州市2022中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第三章 函數(shù) 第七節(jié) 二次函數(shù)的綜合應(yīng)用檢測 1.(xx·衡陽中考)如圖,已知直線y=-2x+4分別交x軸、y軸于點A,B,拋物線過A,B兩點,點P是線段AB上一動點,過點P作PC⊥x軸于點C,交拋物線于點D. (1)若拋物線的解析式為y=-2x2+2x+4,設(shè)其頂點為M,其對稱軸交AB于點N. ①求點M,N的坐標(biāo); ②是否存在點P,使四邊形MNPD為菱形?并說明理由; (2)當(dāng)點P的橫坐標(biāo)為1時,是否存在這樣的拋物線,使得以B,P,D為頂點的三角形與△AOB相似?若存在,求出滿足條件的拋物線的解析式;若不存在,請說明理由. 2

2、.(xx·棗莊中考)如圖1,已知二次函數(shù)y=ax2+x+c(a≠0)的圖象與y軸交于點A(0,4),與x軸交于點B,C,點C坐標(biāo)為(8,0),連接AB,AC. (1)請直接寫出二次函數(shù)y=ax2+x+c的解析式; (2)判斷△ABC的形狀,并說明理由; (3)若點N在x軸上運動,當(dāng)以點A,N,C為頂點的三角形是等腰三角形時,請寫出此時點N的坐標(biāo); (4)如圖2,若點N在線段BC上運動(不與點B,C重合),過點N作NM∥AC,交AB于點M,當(dāng)△AMN面積最大時,求此時點N的坐標(biāo). 圖1 圖2 3.(xx·隨州中考)如圖1,拋物線C1:y=ax2-2ax+c(a<0)

3、與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C.已知點A的坐標(biāo)為(-1,0),點O為坐標(biāo)原點,OC=3OA,拋物線C1的頂點為G. (1)求出拋物線C1的解析式,并寫出點G的坐標(biāo); (2)如圖2,將拋物線C1向下平移k(k>0)個單位,得到拋物線C2,設(shè)C2與x軸的交點為A′,B′,頂點為G′,當(dāng)△A′B′G′是等邊三角形時,求k的值; (3)在(2)的條件下,如圖3,設(shè)點M為x軸正半軸上一動點,過點M作x軸的垂線分別交拋物線C1,C2于P,Q兩點,試探究在直線y=-1上是否存在點N,使得以P,Q,N為頂點的三角形與△AOQ全等,若存在,直接寫出點M,N的坐標(biāo):若不存在,請說明理由.

4、 參考答案 1.解:(1)①如圖, ∵y=-2x2+2x+4=-2(x-)2+, ∴頂點M的坐標(biāo)為(,). 當(dāng)x=時,y=-2×+4=3, 則點N的坐標(biāo)為(,3). ②不存在.理由如下: MN=-3=. 設(shè)P點坐標(biāo)為(m,-2m+4),則D(m,-2m2+2m+4), ∴PD=-2m2+2m+4-(-2m+4)=-2m2+4m. ∵PD∥MN, 當(dāng)PD=MN時,四邊形MNPD為平行四邊形, 即-2m2+4m=,解得m1=(舍去),m2=, 此時P點坐標(biāo)為(,1). ∵PN==,∴PN≠MN, ∴平行四邊形MNPD不為菱形, ∴不存在點P,使四邊形MNPD為菱

5、形. (2)存在. 如圖, OB=4,OA=2,則AB==2. 當(dāng)x=1時,y=-2x+4=2,則P(1,2), ∴PB==. 設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+4, 把A(2,0)代入得4a+2b+4=0,解得b=-2a-2, ∴拋物線的解析式為y=ax2-2(a+1)x+4. 當(dāng)x=1時,y=ax2-2(a+1)x+4=a-2a-2+4=2-a,則D(1,2-a), ∴PD=2-a-2=-a. ∵DC∥OB,∴∠DPB=∠OBA, ∴當(dāng)=時,△PDB∽△BOA,即=, 解得a=-2, 此時拋物線的解析式為y=-2x2+2x+4; 當(dāng)=時,△PDB∽△BA

6、O,即=, 解得a=-, 此時拋物線的解析式為y=-x2+3x+4. 綜上所述,滿足條件的拋物線的解析式為y=-2x2+2x+4或y=-x2+3x+4. 2.解:(1)y=-x2+x+4. 提示:∵二次函數(shù)y=ax2+x+c的圖象與y軸交于點A(0,4),與x軸交于點B,C,點C坐標(biāo)為(8,0), ∴解得 ∴拋物線的解析式為y=-x2+x+4. (2)△ABC是直角三角形.理由如下: 令y=0,則-x2+x+4=0, 解得x1=8,x2=-2, ∴點B的坐標(biāo)為(-2,0). 在Rt△ABO中,AB2=BO2+AO2=22+42=20, 在Rt△AOC中,AC2=AO2

7、+CO2=42+82=80. 又∵BC=OB+OC=2+8=10, ∴在△ABC中,AB2+AC2=20+80=102=BC2, ∴△ABC是直角三角形. (3)∵A(0,4),C(8,0),∴AC==4. ①以A為圓心,以AC長為半徑作圓,交x軸于點N,此時N的坐標(biāo)為(-8,0); ②以C為圓心,以AC長為半徑作圓,交x軸于點N,此時N的坐標(biāo)為(8-4,0)或(8+4,0); ③作AC的垂直平分線,交x軸于點N,此時N的坐標(biāo)為(3,0). 綜上所述,若點N在x軸上運動,當(dāng)以點A,N,C為頂點的三角形是等腰三角形時,點N的坐標(biāo)分別為(-8,0),(8-4,0),(8+4,0),

8、(3,0). (4)設(shè)點N的坐標(biāo)為(n,0),則BN=n+2. 如圖,過點M作MD⊥x軸于點D, ∴MD∥OA,∴△BMD∽△BAO, ∴=. ∵MN∥AC,∴=,∴=. ∵OA=4,BC=10,BN=n+2,∴MD=(n+2). ∵S△AMN=S△ABN-S△BMN=BN·OA-BN·MD =(n+2)×4-×(n+2)2 =-(n-3)2+5, 當(dāng)n=3時,S△AMN最大, ∴當(dāng)△AMN面積最大時,N點坐標(biāo)為(3,0). 3.解:(1)∵點A的坐標(biāo)為(-1,0),∴OA=1. ∵OC=3OA,∴點C的坐標(biāo)為(0,3). 將A,C點坐標(biāo)代入y=ax2-2ax+

9、c得 解得 ∴拋物線C1的解析式為y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, ∴點G的坐標(biāo)為(1,4). (2)設(shè)拋物線C2的解析式為y=-x2+2x+3-k, 即y=-(x-1)2+4-k. 如圖,過點G′作G′D⊥x軸于點D,設(shè)B′D=m. ∵△A′B′G′為等邊三角形, ∴G′D=B′D=m, 則點B′的坐標(biāo)為(m+1,0),點G′的坐標(biāo)為(1,m). 將點B′,G′的坐標(biāo)代入y=-(x-1)2+4-k得 解得(舍)或 ∴k=1. (3)存在. M1(,0),N1(,-1);M2(,0),N2(1,-1);M3(4,0),N3(10,-1);M4(4,0),N4(-2,-1).

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