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1、浙江省2022年中考數(shù)學復習 微專題六 以特殊四邊形為背景的計算與證明訓練
1．如圖，在四邊形ABCD中，BC＝CD，∠C＝2∠BAD.O是四邊形ABCD內(nèi)一點，且OA＝OB＝OD.求證：
(1)∠BOD＝∠C；
(2)四邊形OBCD是菱形．
2．如圖，△ABC中，D是BC邊上一點，E是AD的中點，過點A作BC的平行線交BE的延長線于F，且AF＝CD，連結(jié)CF.
(1)求證：△AEF≌△DEB；
(2)若AB＝AC，試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結(jié)論．
3．如圖，正方形ABCD的對角線交于點O，點E，F(xiàn)分別在AB，BC上(AE＜BE)，且∠EOF＝90°，OE，D
2、A的延長線交于點M，OF，AB的延長線交于點N，連結(jié)MN.
(1)求證：OM＝ON；
(2)若正方形ABCD的邊長為4，E為OM的中點，求MN的長．
4．如圖，點E，F(xiàn)分別是矩形ABCD的邊AD，AB上一點，若AE＝DC＝2ED，且EF⊥EC.
(1)求證：點F為AB的中點；
(2)延長EF與CB的延長線相交于點H，連結(jié)AH，已知ED＝2，求AH的值．
5．問題情境：
在綜合與實踐課上，老師讓同學們以“矩形紙片的剪拼”為主題開展數(shù)學活動．如圖1，將矩形紙片ABCD沿對角線AC剪開，得到△ABC和△ACD.并且量得AB＝2 cm，AC＝4 cm.
操作發(fā)現(xiàn)：
(1)將圖
3、1中的△ACD以點A為旋轉(zhuǎn)中心，按逆時針方向旋轉(zhuǎn)∠α，使∠α＝∠BAC，得到如圖2所示的△AC′D，過點C作AC′的平行線，與DC′的延長線交于點E，則四邊形ACEC′的形狀是________；
(2)創(chuàng)新小組將圖1中的△ACD以點A為旋轉(zhuǎn)中心，按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使B，A，D三點在同一條直線上，得到如圖3所示的△AC′D，連結(jié)CC′，取CC′的中點F，連結(jié)AF并延長至點G，使FG＝AF，連結(jié)CG，C′G，得到四邊形ACGC′，發(fā)現(xiàn)它是正方形，請你證明這個結(jié)論；
實踐探究：
(3)縝密小組在創(chuàng)新小組發(fā)現(xiàn)結(jié)論的基礎上，進行如下操作：將△ABC沿著BD方向平移，使點B與點A重合，此時A點平移至
4、A′點，A′C與BC′相交于點H，如圖4所示，連結(jié)CC′，試求tan∠C′CH的值．
參考答案
1．證明：(1)如圖，延長AO到E.
∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO.
又∠BOE＝∠ABO＋∠BAO，
∴∠BOE＝2∠BAO.
同理∠DOE＝2∠DAO，
∴∠BOE＋∠DOE＝2∠BAO＋2∠DAO＝2(∠BAO＋∠DAO)，
即∠BOD＝2∠BAD.
又∠C＝2∠BAD，∴∠BOD＝∠C.
(2)如圖，連結(jié)OC.
∵OB＝OD，CB＝CD，OC＝OC，
∴△OBC≌△ODC，
∴∠BOC＝∠DOC，∠BCO＝∠DCO.
∵∠BOD＝∠B
5、OC＋∠DOC，
∠BCD＝∠BCO＋∠DCO，
∴∠BOC＝∠BOD，∠BCO＝∠BCD.
又∠BOD＝∠BCD，
∴∠BOC＝∠BCO，∴BO＝BC.
又OB＝OD，BC＝CD，
∴OB＝BC＝CD＝DO，
∴四邊形OBCD是菱形．
2．證明：(1)∵E是AD的中點，∴AE＝DE.
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，∠EAF＝∠EDB，
∴△AEF≌△DEB(AAS)．
(2)如圖，連結(jié)DF.
∵AF∥CD，AF＝CD，
∴四邊形ADCF是平行四邊形．
∵△AEF≌△DEB，∴BE＝FE.
∵AE＝DE，
∴四邊形ABDF是平行四邊形，
∴DF＝
6、AB.
∵AB＝AC，∴DF＝AC，
∴四邊形ADCF是矩形．
3．(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴OA＝OB，∠DAO＝45°，∠OBA＝45°，
∴∠OAM＝∠OBN＝135°.
∵∠EOF＝90°，∠AOB＝90°，
∴∠AOM＝∠BON，
∴△OAM≌△OBN(ASA)，∴OM＝ON.
(2)解：如圖，過點O作OH⊥AD于點H.
∵正方形的邊長為4，∴OH＝HA＝2.
∵E為OM的中點，∴HM＝4，
則OM＝＝2，
∴MN＝OM＝2.
4．(1)證明：∵EF⊥EC，
∴∠CEF＝90°，∴∠AEF＋∠DEC＝90°.
∵四邊形ABCD是矩形
7、，
∴∠AEF＋∠AFE＝90°，
∠DEC＋∠DCE＝90°，
∴∠AEF＝∠DCE，∠AFE＝∠DEC.
∵AE＝DC，∴△AEF≌△DCE.
∴ED＝AF.
∵AE＝DC＝AB＝2DE，
∴AB＝2AF，∴F是AB的中點．
(2)解：由(1)得AF＝FB，且AE∥BH，
∴∠FBH＝∠FAE＝90°，∠AEF＝∠FHB，
∴△AEF≌△BHF，∴HB＝AE.
∵ED＝2，且AE＝2ED，∴AE＝4，
∴HB＝AB＝AE＝4，
∴AH2＝AB2＋BH2＝16＋16＝32，
∴AH＝4.
5．解：(1)菱形
(2)在圖1中，∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥
8、CD，
∴∠CAD＝∠ACB，∠B＝90°，
∴∠BAC＋∠ACB＝90°.
在圖3中，由旋轉(zhuǎn)知，∠DAC′＝∠DAC，
∴∠ACB＝∠DAC′，
∴∠BAC＋∠DAC′＝90°.
∵點D，A，B在同一條直線上，
∴∠CAC′＝90°.
由旋轉(zhuǎn)知，AC＝AC′.
∵點F是CC′的中點，∴AG⊥CC′，CF＝C′F.
∵AF＝FG，
∴四邊形ACGC′是平行四邊形．
∵AG⊥CC′，∴四邊形ACGC′是菱形．
∵∠CAC′＝90°，
∴菱形ACGC′是正方形．
(3)在Rt△ABC中，AB＝2，AC＝4，
∴BC′＝AC＝4，BD＝BC＝2，
sin ∠ACB＝＝，
∴∠ACB＝30°.
由(2)結(jié)合平移知，∠CHC′＝90°.
在Rt△BCH中，∠ACB＝30°，
∴BH＝BC·sin 30°＝，
∴C′H＝BC′－BH＝4－.
在Rt△ABH中，AH＝AB＝1，
∴CH＝AC－AH＝4－1＝3，
在Rt△CHC′中，
tan ∠C′CH＝＝.
浙江省2022年中考數(shù)學復習 微專題六 以特殊四邊形為背景的計算與證明訓練
