（全國通用版）2022年中考數(shù)學復習 第六單元 圓 滾動小專題（七）與圓有關(guān)的計算與證明練習

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1、（全國通用版）2022年中考數(shù)學復習 第六單元 圓 滾動小專題（七）與圓有關(guān)的計算與證明練習 類型1　與圓的基本性質(zhì)有關(guān)的計算與證明 1．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，D為⊙O上一點，OD⊥AC，垂足為E，連接BD. (1)求證：BD平分∠ABC； (2)當∠ODB＝30°時，求證：BC＝OD. 證明：(1)∵OD⊥AC，OD為半徑， ∴＝. ∴∠CBD＝∠ABD. ∴BD平分∠ABC. (2)∵OB＝OD， ∴∠OBD＝∠ODB＝30°. ∴∠AOD＝∠OBD＋∠ODB＝30°＋30°＝60°. 又∵OD⊥AC于E，∴∠OEA＝90°. ∴∠A

2、＝180°－∠OEA－∠AOD＝30°. 又∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°. ∴在Rt△ACB中，BC＝AB. 又∵OD＝AB， ∴BC＝OD. 2．(xx·溫州)如圖，D是△ABC的BC邊上一點，連接AD，作△ABD的外接圓，將△ADC沿直線AD折疊，點C的對應(yīng)點E落在⊙O上． (1)求證：AE＝AB； (2)若∠CAB＝90°，cos∠ADB＝，BE＝2，求BC的長． 解：(1)證明：由題意，得△ADE≌△ADC， ∴∠AED＝∠ACD，AE＝AC. ∵∠ABD＝∠AED， ∴∠ABD＝∠ACD. ∴AB＝AC，∴AE＝AB. (2)過點A作AH⊥

3、BE于點H. ∵AB＝AE，BE＝2. ∴BH＝EH＝1. ∵∠ABE＝∠AEB＝∠ADB，cos∠ADB＝， ∴cos∠ABE＝cos∠ADB＝. ∴＝. ∴AC＝AB＝3. ∵∠BAC＝90°，AC＝AB， ∴BC＝3. 3．(xx·包頭)如圖，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，以點A為圓心，AC長為半徑的圓交AB于點D，BA的延長線交⊙A于點E，連接CD，CE，F(xiàn)是⊙A上一點，點F與點C位于BE兩側(cè)，且∠FAB＝∠ABC，連接BF. (1)求證：∠BCD＝∠BEC； (2)若BC＝2，BD＝1，求CE的長及sin∠ABF的值． 解：(1)證明：∵∠ACB

4、＝90°， ∴∠BCD＋∠ACD＝90°. ∵DE是⊙A的直徑， ∴∠DCE＝90°. ∴∠BEC＋∠CDE＝90°. ∵AD＝AC， ∴∠CDE＝∠ACD.∴∠BCD＝∠BEC. (2)∵∠BCD＝∠BEC，∠CBD＝∠EBC， ∴△BDC∽△BCE.∴＝＝. ∵BC＝2，BD＝1，∴BE＝4，EC＝2CD. ∴DE＝BE－BD＝3. 在Rt△DCE中，DE2＝CD2＋CE2＝9. ∴CD＝.∴CE＝. 過點F作FM⊥AB于點M， ∵∠FAB＝∠ABC，∠FMA＝∠ACB＝90°， ∴△AFM∽△BAC.∴＝. ∵DE＝3，∴AD＝AF＝AC＝，AB＝. ∴

5、FM＝. 過點F作FN⊥BC于點N， ∴∠FNC＝90°. ∵∠FAB＝∠ABC，∴FA∥BC. ∴∠FAC＝∠ACB＝90°.∴四邊形FNCA是矩形． ∴FN＝AC＝，NC＝AF＝，∴BN＝. 在Rt△FBN中，BF＝＝， ∴在Rt△FBM中，sin∠ABF＝＝. 類型2　與圓的切線有關(guān)的計算與證明 4．(xx·濱州)如圖，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上，AD⊥CD于點D，且AC平分∠DAB.求證： (1)直線DC是⊙O的切線； (2)AC2＝2AD·AO. 證明：(1)連接OC. ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA. ∵AC平分∠DAB， ∴∠

6、OAC＝∠DAC. ∴∠DAC＝∠OCA. ∴OC∥AD. 又∵AD⊥CD， ∴OC⊥DC. ∵OC為⊙O的半徑， ∴DC是⊙O的切線． (2)連接BC. ∵AB為⊙O的直徑， ∴AB＝2AO，∠ACB＝90°. ∵AD⊥DC， ∴∠ADC＝∠ACB＝90°. 又∵∠DAC＝∠CAB， ∴△DAC∽△CAB. ∴＝，即AC2＝AB·AD. ∴AC2＝2AD·AO. 5．(xx·金華)如圖，已知：AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，CD是⊙O的切線，AD⊥CD于點D，E是AB延長線上一點，CE交⊙O于點F，連接OC，AC. (1)求證：AC平分∠DAO；

7、(2)若∠DAO＝105°，∠E＝30°. ①求∠OCE的度數(shù)； ②若⊙O的半徑為2，求線段EF的長． 解：(1)證明：∵直線CD與⊙O相切，∴OC⊥CD. 又∵AD⊥CD，∴AD∥OC. ∴∠DAC＝∠OCA. 又∵OC＝OA， ∴∠OAC＝∠OCA. ∴∠DAC＝∠OAC. ∴AC平分∠DAO. (2)①∵AD∥OC，∴∠EOC＝∠DAO＝105°， ∵∠E＝30°，∴∠OCE＝45°. ②過點O作OG⊥CE于點G，可得FG＝CG. ∵OC＝2，∠OCE＝45°，∴OG＝CG＝2. ∴FG＝2. ∵在Rt△OGE中，∠E＝30°，∴GE＝2. ∴EF＝G

8、E－FG＝2－2. 6．(xx·蘇州)如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，AD垂直于過點C的切線，垂足為D，CE垂直AB，垂足為E，延長DA交⊙O于點F，連接FC，F(xiàn)C與AB相交于點G，連接OC. (1)求證：CD＝CE； (2)若AE＝GE，求證：△CEO是等腰直角三角形． 證明：(1)連接AC. ∵CD為⊙O的切線， ∴OC⊥CD. 又∵AD⊥CD， ∴∠DCO＝∠D＝90°. ∴AD∥OC，∴∠DAC＝∠ACO. 又∵OC＝OA，∴∠CAO＝∠ACO. ∴∠DAC＝∠CAO. 又∵CE⊥AB，∴∠CEA＝90°. 在△CDA和△CEA中， ∴△C

9、DA≌△CEA(AAS)． ∴CD＝CE. (2)證法一：連接BC. ∵△CDA≌△CEA，∴∠DCA＝∠ECA. ∵CE⊥AG，AE＝EG，∴CA＝CG. ∴∠ECA＝∠ECG. ∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°. 又∵CE⊥AB， ∴∠ACE＝∠B. 又∵∠B＝∠F， ∴∠F＝∠ACE＝∠DCA＝∠ECG. 又∵∠D＝90°， ∴∠DCF＋∠F＝90°. ∴∠F＝∠DCA＝∠ACE＝∠ECG＝22.5°. ∴∠AOC＝2∠F＝45°. ∴△CEO是等腰直角三角形． 證法二：設(shè)∠F＝x°， 則∠AOC＝2∠F＝2x°. ∵AD∥OC，∴∠OAF＝∠A

10、OC＝2x°. ∴∠CGA＝∠OAF＋∠F＝3x°. ∵CE⊥AG，AE＝EG， ∴CA＝CG.∴∠EAC＝∠CGA. ∴∠DAC＝∠EAC＝∠CGA＝3x°. 又∵∠DAC＋∠EAC＋∠OAF＝180°， ∴3x°＋3x°＋2x°＝180°. ∴x＝22.5. ∴∠AOC＝2x°＝45°. ∴△CEO是等腰直角三角形． 7．(xx·孝感)如圖，⊙O的直徑AB＝10，弦AC＝6，∠ACB的平分線交⊙O于D，過點D作DE∥AB交CA的延長線于點E，連接AD，BD. (1)由AB，BD，圍成的曲邊三角形的面積是＋； (2)求證：DE是⊙O的切線； (3)求線段DE

11、的長． 解：(2)證明：連接OD. ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD. ∴AD＝DB. 又∵AB為直徑，∴AD⊥DB，∴∠ADB＝90°. ∴OD⊥AB. ∵DE∥AB， ∴OD⊥DE. 又∵OD為⊙O的半徑， ∴DE是⊙O的切線． (3)∵AB＝10，AC＝6， ∴BC＝＝8. 過點A作AF⊥DE于點F，則四邊形AODF是正方形， ∴AF＝OD＝FD＝5，∠BAF＝90°. ∵∠EAF＋∠CAB＝90°，∠ABC＋∠CAB＝90°， ∴∠EAF＝∠ABC. ∴tan∠EAF＝tan∠ABC. ∴＝，即＝. ∴EF＝. ∴DE＝DF＋EF＝

12、5＋＝. 8．(xx·株洲)如圖，已知AB為⊙O的直徑，AB＝8，點C和點D是⊙O上關(guān)于直線AB對稱的兩個點，連接OC，AC，且∠BOC＜90°，直線BC和直線AD相交于點E，過點C作直線CG與線段AB的延長線相交于點F，與直線AD相交于點G，且∠GAF＝∠GCE. (1)求證：直線CG為⊙O的切線； (2)若點H為線段OB上一點，連接CH，滿足CB＝CH. ①求證：△CBH∽△OBC； ②求OH＋HC的最大值． 解：(1)證明：∵C，D關(guān)于AB對稱， ∴∠GAF＝∠CAF. ∵∠GAF＝∠GCE， ∴∠GCE＝∠CAF. ∵OA＝OC， ∴∠CAF＝∠ACO.∴∠

13、GCE＝∠ACO. ∵AB為直徑， ∴∠ACO＋∠OCB＝90°. ∴∠GCE＋∠OCB＝90°，即∠OCG＝90°. 又∵OC為⊙O的半徑， ∴CG為⊙O的切線． (2)①證明：∵OC＝OB，CH＝BC， ∴∠OCB＝∠OBC，∠CHB＝∠CBH，∠CBH＝∠OBC＝∠OCB＝∠CHB. ∴△CBH∽△OBC. ②∵△CBH∽△OBC，∴＝.∴BH＝. 設(shè)BC＝x，則CH＝x，BH＝. ∴OH＋HC＝－x2＋x＋4＝－(x－2)2＋5. ∴當x＝2時，OH＋HC的最大值為5. 9．(xx·婁底)如圖，C，D是以AB為直徑的⊙O上的點，＝，弦CD交AB于點E.

14、(1)當PB是⊙O的切線時，求證：∠PBD＝∠DAB； (2)求證：BC2－CE2＝CE·DE； (3)已知OA＝4，E是半徑OA的中點，求線段DE的長． 解：(1)證明：∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ADB＝90°，即∠DAB＋∠ABD＝90°. ∵PB是⊙O的切線， ∴∠ABP＝90°，即∠PBD＋∠ABD＝90°. ∴∠DAB＝∠PBD. (2)證明：∵∠A＝∠C，∠AED＝∠CEB， ∴△ADE∽△CBE. ∴＝，即DE·CE＝AE·BE. 連接OC. 設(shè)圓的半徑為r，則OA＝OB＝OC＝r， 則DE·CE＝AE·BE＝(OA－OE)(OB＋OE)＝r2－OE2. ∵＝， ∴∠AOC＝∠BOC＝90°. ∴CE2＝OE2＋OC2＝OE2＋r2，BC2＝BO2＋CO2＝2r2，則BC2－CE2＝2r2－(OE2＋r2)＝r2－OE2. ∴BC2－CE2＝DE·CE. (3)∵OA＝4， ∴OB＝OC＝OA＝4. ∴BC＝＝4. 又∵E是半徑OA的中點， ∴AE＝OE＝2. 則CE＝＝＝2. ∵BC2－CE2＝DE·CE， ∴(4)2－(2)2＝DE·2. ∴DE＝.