（全國(guó)通用版）2022年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 專(zhuān)題復(fù)習(xí)（七）函數(shù)與幾何綜合探究題練習(xí)

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1、（全國(guó)通用版）2022年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 專(zhuān)題復(fù)習(xí)（七）函數(shù)與幾何綜合探究題練習(xí) 　如圖，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝的拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)B(2，0)，C(0，4)兩點(diǎn)，拋物線(xiàn)與x軸的另一交點(diǎn)為A. (1)求拋物線(xiàn)的解析式； 【思路點(diǎn)撥】　已知對(duì)稱(chēng)軸，可設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a(x－)2＋k，然后將點(diǎn)B，C的坐標(biāo)代入，解方程組即可得到拋物線(xiàn)的解析式．(一題多解) 【答題示范】　解法一：∵拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝， ∴設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y＝a(x－)2＋k(a≠0)． ∵拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(2，0)，C(0，4)， ∴解得 ∴拋物線(xiàn)的解析式為y＝－2(x－)2＋， 即y＝－2x2＋2x＋4. 解法二：∵拋物線(xiàn)

2、的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝，A，B兩點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)x＝對(duì)稱(chēng)且B(2，0)， ∴A(－1，0)． ∴設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y＝a(x＋1)(x－2)(a≠0)． ∵拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(0，4)， ∴－2a＝4，解得a＝－2. ∴拋物線(xiàn)的解析式為y＝－2(x＋1)(x－2)， 即y＝－2x2＋2x＋4. 解法三：設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． ∵拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝且經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(2，0)，C(0，4)， ∴解得 ∴拋物線(xiàn)的解析式為y＝－2x2＋2x＋4. 二次函數(shù)的解析式的確定： 1．確定二次函數(shù)的解析式一般用待定系數(shù)法，由于二次函數(shù)解析式有三個(gè)待定系數(shù)a，b，c(a，h

3、，k或a，x1，x2)，因而確定二次函數(shù)的解析式需要已知三個(gè)獨(dú)立的條件： (1)已知拋物線(xiàn)上任意三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，選用一般式，即y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； (2)已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)和另外一點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，選用頂點(diǎn)式，即y＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)； (3)已知拋物線(xiàn)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)(或橫坐標(biāo)x1，x2)時(shí)，選用交點(diǎn)式，即y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． 2．用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式的步驟： (1)設(shè)二次函數(shù)的解析式； (2)根據(jù)已知條件，得到關(guān)于待定系數(shù)的方程(組)； (3)解方程(組)，求出待定系數(shù)的值，從而寫(xiě)出函數(shù)的解析式． (2)若點(diǎn)P為第一象

4、限內(nèi)拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，設(shè)四邊形COBP的面積為S，求S的最大值； 【思路點(diǎn)撥】　先設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，再利用割補(bǔ)法將四邊形COBP的面積表示成幾個(gè)容易計(jì)算的圖形面積的和差，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值．(一題多解) 【答題示范】　解法一：如圖1，連接BC，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E. 圖1 設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為y＝dx＋t(d≠0)． ∵直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(2，0)，C(0，4)， ∴解得 ∴直線(xiàn)BC的解析式為y＝－2x＋4. ∵P為第一象限內(nèi)拋物線(xiàn)上一點(diǎn)， 設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(n，－2n2＋2n＋4)(0

5、2n2＋2n＋4|－|－2n＋4|＝－2n2＋2n＋4＋2n－4＝－2n2＋4n. ∵S△BPC＝S△BPE＋S△CPE＝PE·BF＋PE·OF＝PE·(BF＋OF)＝PE·OB＝－2n2＋4n. ∴S＝S△BPC＋S△OCB＝－2n2＋4n＋4＝－2(n－1)2＋6. ∴當(dāng)n＝1時(shí)，S最大＝6. 解法二：①當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)C下方時(shí)，如圖2， 過(guò)點(diǎn)P作PE⊥y軸于E. 圖2 ∵P為第一象限內(nèi)拋物線(xiàn)上一點(diǎn)， 設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(n，－2n2＋2n＋4)， 則E點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－2n2＋2n＋4)， ∴PE＝n，CE＝4＋2n2－2n－4＝2n2－2n. ∵S△PEC＝n(2n2－2

6、n)＝n3－n2， S四邊形OBPE＝(n＋2)(－2n2＋2n＋4)＝－n3－n2＋4n＋4， ∴S＝S△PEC＋S四邊形OBPE＝n3－n2－n3－n2＋4n＋4＝－2n2＋4n＋4＝－2(n－1)2＋6. ∴當(dāng)n＝1時(shí)，S最大＝6； ②當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)C上方時(shí)，過(guò)P′作P′H⊥OB于H.同①可設(shè)P′(m，－2m2＋2m＋4)，則H(m，0)． ∴P′H＝－2m2＋2m＋4，BH＝2－m. ∴S＝S四邊形OCP′H＋S△P′HB ＝(4－2m2＋2m＋4)·m＋(2－m)·(－2m2＋2m＋4) ＝－2m2＋4m＋4 ＝－2(m－1)2＋6. ∴當(dāng)m＝1時(shí)，S最大 ＝6.

7、 綜上可知，S的最大值為6. 1．探究面積最值的存在性： 第(2)問(wèn)是與拋物線(xiàn)有關(guān)的三角形或四邊形，拋物線(xiàn)三角形就是三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線(xiàn)上，同樣，拋物線(xiàn)四邊形就是四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線(xiàn)上，要求三角形或四邊形的面積的最大值或最小值．Ｋ 解決這類(lèi)問(wèn)題的基本步驟： (1)首先要確定所求三角形或四邊形面積最值，可設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t或動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)(t，at2＋bt＋c)； (2)①求三角形面積最值時(shí)要用含t的代數(shù)式表示出三角形的底和高，此時(shí)就應(yīng)先證明涉及底和高的三角形與已知線(xiàn)段長(zhǎng)度的三角形相似，從而求得用含t的代數(shù)式表示的底和高； ②求四邊形的面積最值時(shí)，常用到的方法是利用割補(bǔ)法

8、將四邊形分成兩個(gè)三角形，從而利用三角形的方法求得用含t的代數(shù)式表示的線(xiàn)段； (3)用含有未知數(shù)的代數(shù)式表示出圖形的面積； (4)用二次函數(shù)的知識(shí)來(lái)求最大值或最小值．(如P206T1(3)、P206T2(2)、P208T3(2) 2．探究面積等量關(guān)系的存在性問(wèn)題： 對(duì)于圖形的運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的相等關(guān)系問(wèn)題， 解答時(shí)應(yīng)認(rèn)真審題，仔細(xì)研究圖形，分析動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)及運(yùn)動(dòng)過(guò)程，解題過(guò)程的一般步驟： (1)弄清其取值范圍，畫(huà)出符合條件的圖形； (2)確定其存在的情況有幾種，然后分別求解，在求解計(jì)算中一般由函數(shù)關(guān)系式設(shè)出圖形的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)并結(jié)合作輔助線(xiàn)，畫(huà)出所求面積為定值的三角形； (3)過(guò)動(dòng)點(diǎn)作有關(guān)三

9、角形的高或平行于x軸、y軸的輔助線(xiàn)，利用面積公式或三角形相似求出有關(guān)線(xiàn)段長(zhǎng)度或面積的代數(shù)式，列方程求解，再根據(jù)實(shí)際問(wèn)題確定方程的解是否符合題意，從而證得面積等量關(guān)系的存在性．(如P206T2(3)) 3．探究線(xiàn)段最值問(wèn)題： 無(wú)論是線(xiàn)段和的最小值或是周長(zhǎng)的最小值，還有兩條線(xiàn)段差的最大值等，解決這類(lèi)問(wèn)題最基本的定理就是“兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短”，最常見(jiàn)的基本圖形就是“將軍飲馬問(wèn)題”，即已知一條直線(xiàn)和直線(xiàn)同旁的兩個(gè)點(diǎn)，要在直線(xiàn)上找一點(diǎn)，使得這兩個(gè)點(diǎn)與這點(diǎn)連接的線(xiàn)段之和最小，解決問(wèn)題的方法就是通過(guò)軸對(duì)稱(chēng)作出對(duì)稱(chēng)點(diǎn)來(lái)解決．(如P203T1(3)，P203T2(3)，P208T1(2)，P209T2(2))

10、,　　 (3)若M是線(xiàn)段BC上一動(dòng)點(diǎn)，在x軸上是否存在這樣的點(diǎn)Q，使△MQC為等腰三角形且△MQB為直角三角形？若存在，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【思路點(diǎn)撥】　在探究同時(shí)存在兩個(gè)結(jié)論時(shí)，通常先假設(shè)一個(gè)結(jié)論成立，然后探究另一個(gè)結(jié)論是否也成立，方法一般也不唯一，詳見(jiàn)解答中的一題多解． 【答題示范】　存在點(diǎn)Q，使△MQC為等腰三角形且△MQB為直角三角形． 理由如下： 分以下兩種情況： 圖3 (ⅰ)解法一：如圖3所示：當(dāng)∠BQM＝90°時(shí)， ∵∠CMQ>90°，∴只能CM＝MQ. 由(2)的解法一得：直線(xiàn)BC的解析式為y＝－2x＋4. 設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為(m

11、，－2m＋4)(0

12、M＝2－(2－m)＝m. ∵CM＝MQ， ∴－2m＋4＝m，m＝＝4－8. ∴Q(4－8，0)． 解法三：如圖4所示：當(dāng)∠BQM＝90°時(shí)， 圖4 ∵∠CMQ>90°， ∴只能CM＝MQ. 由(2)的解法一得：直線(xiàn)BC的解析式為y＝－2x＋4. 設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為(m，－2m＋4)(0

13、一：如圖5所示：當(dāng)∠QMB＝90°時(shí)， 圖5 ∵∠CMQ＝90°， ∴只能CM＝MQ. 過(guò)點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N，設(shè)M(m，－2m＋4)(0

14、M＝∠MNQ＝90°， ∴Rt△BNM∽R(shí)t△MNQ. ∴＝，即＝. ∴NQ＝.∴OQ＝NQ－ON＝－＝. ∴Q(－，0)． 解法二：如圖6所示：當(dāng)∠QMB＝90°時(shí)， 圖6 ∵∠CMQ＝90°， ∴只能CM＝MQ. 設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為(m，－2m＋4)(0

15、∴Q(－，0)． 綜上所述，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(4－8，0)或(－，0)． 1．在解答直角三角形的存在性問(wèn)題時(shí)，具體方法如下： (1)先假設(shè)結(jié)論成立，根據(jù)直角頂點(diǎn)的不確定性，分情況討論； (2)找點(diǎn)：當(dāng)所給定長(zhǎng)未說(shuō)明是直角三角形的斜邊還是直角邊時(shí)，需分情況討論，具體方法如下： ①當(dāng)定長(zhǎng)為直角三角形的直角邊時(shí)，分別以定長(zhǎng)的某一端點(diǎn)作定長(zhǎng)的垂線(xiàn)，與坐標(biāo)軸或拋物線(xiàn)有交點(diǎn)時(shí)，此交點(diǎn)即為符合條件的點(diǎn)； ②當(dāng)定長(zhǎng)為直角三角形的斜邊時(shí)，以此定長(zhǎng)為直徑作圓，圓弧與所求點(diǎn)滿(mǎn)足條件的坐標(biāo)軸或拋物線(xiàn)有交點(diǎn)時(shí)，此交點(diǎn)即為符合條件的點(diǎn)； (3)計(jì)算：把圖形中的點(diǎn)坐標(biāo)用含有自變量的代數(shù)式表示出來(lái)，從

16、而表示出三 角形的各邊(表示線(xiàn)段時(shí)，還要注意代數(shù)式的符號(hào))，再利用相似三角形的性質(zhì)得出比例式，或者利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，或者利用三角函數(shù)建立方程求點(diǎn)的坐標(biāo)．(如P207T2(2)②) 2．除了探究直角三角形外，還常常探究等腰三角形的存在性，這個(gè)和直角三角形的方法類(lèi)似： (1)假設(shè)結(jié)論成立； (2)找點(diǎn)：當(dāng)所給定長(zhǎng)未說(shuō)明是等腰三角形的底還是腰時(shí)，需分情況討論，具體方法如下： ①當(dāng)定長(zhǎng)為腰時(shí)，找已知直線(xiàn)或拋物線(xiàn)上滿(mǎn)足條件的點(diǎn)時(shí)，以定長(zhǎng)的某一端點(diǎn)為圓心，以定長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，若所畫(huà)弧與坐標(biāo)軸或拋物線(xiàn)有交點(diǎn)且交點(diǎn)不是定長(zhǎng)的另一端點(diǎn)時(shí)，交點(diǎn)即為符合條件的點(diǎn)； ②當(dāng)定長(zhǎng)為底邊時(shí)，根據(jù)尺規(guī)作圖作出定

17、長(zhǎng)的垂直平分線(xiàn)，若作出的垂直平分線(xiàn)與坐標(biāo)軸或拋物線(xiàn)有交點(diǎn)，則交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)，若作出的垂直平分線(xiàn)與坐標(biāo)軸或拋物線(xiàn)無(wú)交點(diǎn)，則滿(mǎn)足條件的點(diǎn)不存在； 以上方法即可找出所有符合條件的點(diǎn)； (3)計(jì)算：在求點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，大多時(shí)候利用相似三角形求解，如果圖形中沒(méi)有相似三角形，可以通過(guò)添加輔助線(xiàn)構(gòu)造直角三角形，有時(shí)也可利用直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解．(如P207T1(3)，P208T3(3)) 　如圖，直線(xiàn)y＝2x＋2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，把△AOB沿y軸翻折，點(diǎn)A落到點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)B的拋物線(xiàn)y＝－x2＋bx＋c與直線(xiàn)BC交于點(diǎn)D(3，－4)． (1)求直線(xiàn)BD和拋物線(xiàn)的解析式； 【思路

18、點(diǎn)撥】　由直線(xiàn)y＝2x＋2可求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，把B，D兩點(diǎn)代入y＝－x2＋bx＋c中即可求出拋物線(xiàn)解析式，由B，D兩點(diǎn)可求出直線(xiàn)BD的解析式． 【答題示范】　∵y＝2x＋2， ∴當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2. ∴B(0，2)． ∵當(dāng)y＝0時(shí)，x＝－1， ∴A(－1，0)． ∵拋物線(xiàn)y＝－x2＋bx＋c過(guò)點(diǎn)B(0，2)，D(3，－4)， ∴解得 ∴拋物線(xiàn)的解析式為y＝－x2＋x＋2. 設(shè)直線(xiàn)BD的解析式為y＝kx＋m，由題意，得 解得 ∴直線(xiàn)BD的解析式為y＝－2x＋2. (2)在第一象限內(nèi)的拋物線(xiàn)上，是否存在點(diǎn)M，作MN垂直于x軸，垂足為點(diǎn)N，使得以M，O，N為頂點(diǎn)

19、的三角形與△BOC相似？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由； 【思路點(diǎn)撥】　與△BOC相似的△MON，只有兩個(gè)直角頂點(diǎn)可以確定對(duì)應(yīng)，所以要分兩種情況討論，再利用△MON的兩條直角邊長(zhǎng)恰好是點(diǎn)M的坐標(biāo)，與△BOC的兩直角邊對(duì)應(yīng)成比例，便可列出方程，求解即可，注意是否符合條件． 【答題示范】　存在．由(1)知C(1，0)，設(shè)M(a，－a2＋a＋2)． ∵M(jìn)N⊥x軸，∴∠BOC＝∠MNO＝90°，即點(diǎn)O與點(diǎn)N對(duì)應(yīng)，可分兩種情況討論： ①如圖1，當(dāng)△BOC∽△MNO時(shí)，＝. ∴＝，解得a1＝1，a2＝－2(舍)．∴M(1，2)； ②如圖2，當(dāng)△BOC∽△ONM時(shí)，＝. ∴＝

20、，解得a1＝，a2＝(舍)． ∴M(，)． ∴符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1，2)或(，)．, 探究三角形相似的存在性問(wèn)題的一般思路： 解答三角形相似的存在性問(wèn)題時(shí)，要具備分類(lèi)討論的思想以及數(shù)形結(jié)合思想，要先找出三角形相似的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，一般涉及動(dòng)態(tài)問(wèn)題要以靜制動(dòng)，動(dòng)中求靜，具體如下： (1)假設(shè)結(jié)論成立，分情況討論．探究三角形相似時(shí)，往往沒(méi)有明確指出兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)(尤其是以文字形式出現(xiàn)讓證明兩個(gè)三角形相似的題目)，或者涉及動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，因動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中點(diǎn)的位置不確定，此時(shí)應(yīng)考慮不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，分情況討論； (2)確定分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)：在分類(lèi)時(shí)，先要找出分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)，看兩個(gè)相似三角形是否有對(duì)應(yīng)

21、相等的角，若有，找出對(duì)應(yīng)相等的角后，再根據(jù)其他角進(jìn)行分類(lèi)討論來(lái)確定相似三角形成立的條件；若沒(méi)有，則分別按三種角對(duì)應(yīng)來(lái)分類(lèi)討論； (3)建立關(guān)系式，并計(jì)算．由相似三角形列出相應(yīng)的比例式，將比例式中的線(xiàn)段用所設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來(lái)(其長(zhǎng)度多借助勾股定理運(yùn)算)，整理可得一元一次方程或者一元二次方程，解方程可得字母的值，再通過(guò)計(jì)算得出相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)．(如P208T(3)①，P210T1(2)) (3)在直線(xiàn)BD上方的拋物線(xiàn)上有一動(dòng)點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PH垂直于x軸，交直線(xiàn)BD于點(diǎn)H，是否存在點(diǎn)P，使四邊形BOHP是平行四邊形，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【思路點(diǎn)撥】　點(diǎn)P在

22、拋物線(xiàn)上，可設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，從而可表示出點(diǎn)H的坐標(biāo)，因?yàn)樽鱌H⊥x軸，所以可得PH∥OB.要證四邊形BOHP是平行四邊形，只需證PH＝OB，再利用PH的長(zhǎng)可列方程求出P點(diǎn)的坐標(biāo)． 【答題示范】　存在． 設(shè)P(t，－t2＋t＋2)，H(t，－2t＋2)．如圖3， ∵四邊形BOHP是平行四邊形， ∴BO＝PH＝2. ∵PH＝－t2＋t＋2＋2t－2＝－t2＋3t. ∴2＝－t2＋3t，解得t1＝1，t2＝2. 當(dāng)t＝1時(shí)，P(1，2)； 當(dāng)t＝2時(shí)，P(2，0)． ∴存在點(diǎn)P(1，2)或(2，0)，使四邊形BOHP為平行四邊形． 在解答平行四邊形的存在性問(wèn)題時(shí)，具體方法

23、如下： (1)假設(shè)結(jié)論成立； (2)探究平行四邊形通常有兩類(lèi)，一類(lèi)是已知兩定點(diǎn)去求未知點(diǎn)的坐標(biāo)，一類(lèi)是已知給定的三點(diǎn)去求未知點(diǎn)的坐標(biāo)．第一類(lèi)，以?xún)啥c(diǎn)連線(xiàn)所成的線(xiàn)段作為要探究平行四邊形的邊或?qū)蔷€(xiàn)，畫(huà)出符合題意的平行四邊形；第二類(lèi)，分別以已知三個(gè)定點(diǎn)中的任意兩個(gè)定點(diǎn)確定的線(xiàn)段為探究平行四邊形的邊或?qū)蔷€(xiàn)，畫(huà)出符合題意的平行四邊形； (3)建立關(guān)系式，并計(jì)算．根據(jù)以上分類(lèi)方法畫(huà)出所有符合條件的圖形后，可以利用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，也可利用全等三角形、相似三角形或直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，要具體情況具體分析，有時(shí)也可以利用直線(xiàn)的解析式聯(lián)立方程組，由方程組的解為交點(diǎn)坐標(biāo)求解．(如P208T

24、1(3)) 類(lèi)型1　探究線(xiàn)段最值問(wèn)題 1．(xx·永州)如圖1，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，4)，拋物線(xiàn)與x軸相交于B，C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)E(0，3)． (1)求拋物線(xiàn)的表達(dá)式； (2)已知點(diǎn)F(0，－3)，在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)G，使得EG＋FG最小，如果存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由； (3)如圖2，連接AB，若點(diǎn)P是線(xiàn)段OE上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作線(xiàn)段AB的垂線(xiàn)，分別與線(xiàn)段AB.拋物線(xiàn)相交于點(diǎn)M，N(點(diǎn)M，N都在拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè))，當(dāng)MN最大時(shí)，求△PON的面積． 　　 圖1　 　　　　　　　　　圖2 解：(1)設(shè)拋物線(xiàn)的表達(dá)式為y＝a(x－1)

25、2＋4， 把(0，3)代入，得3＝a(0－1)2＋4，解得a＝－1. ∴拋物線(xiàn)的表達(dá)式為y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3. (2)存在． 作點(diǎn)E關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E′，連接E′F交對(duì)稱(chēng)軸于G，此時(shí)EG＋FG的值最小． ∵E(0，3)，拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝1，∴E′(2，3)． 易得直線(xiàn)E′F的解析式為y＝3x－3. 當(dāng)x＝1時(shí)，y＝3×1－3＝0. ∴G(1，0)． (3)∵A(1，4)，B(3，0)， 易得直線(xiàn)AB的解析式為y＝－2x＋6. 過(guò)點(diǎn)N作NH⊥x軸于點(diǎn)H，交AB于點(diǎn)Q， 設(shè)N(m，－m2＋2m＋3)，則Q(m，－2m＋6)(1≤m≤3)． ∴N

26、Q＝(－m2＋2m＋3)－(－2m＋6)＝－m2＋4m－3. ∵AD∥NH，∴∠DAB＝∠NQM. ∵∠ADB＝∠QMN＝90°，∴△QMN∽△ADB. ∴＝.∴＝. ∴MN＝－(m－2)2＋. ∵－＜0，∴當(dāng)m＝2時(shí)，MN有最大值． 過(guò)點(diǎn)N作NG⊥y軸于點(diǎn)G， ∵∠GPN＝∠ABD，∠NGP＝∠ADB＝90°， ∴△NGP∽△ADB. ∴＝＝＝.∴PG＝NG＝m. ∴OP＝OG－PG＝－m2＋2m＋3－m＝－m2＋m＋3. ∴S△PON＝OP·GN＝(－m2＋m＋3)·m. 當(dāng)m＝2時(shí)，S△PON＝×2(－4＋3＋3)＝2. 2．(xx·柳州)如圖，拋物

27、線(xiàn)y＝ax2＋bx＋c與x軸交于A(，0)，B兩點(diǎn)(點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C，且OB＝3OA＝OC，∠OAC的平分線(xiàn)AD交y軸于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)A且垂直于AD的直線(xiàn)l交y軸于點(diǎn)E，點(diǎn)P是x軸下方拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥x軸，垂足為F，交直線(xiàn)AD于點(diǎn)H. (1)求拋物線(xiàn)的解析式； (2)設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，當(dāng)FH＝HP時(shí)，求m的值； (3)當(dāng)直線(xiàn)PF為拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸時(shí)，以點(diǎn)H為圓心，HC為半徑作⊙H，點(diǎn)Q為⊙H上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求AQ＋EQ的最小值． 解：(1)由題意，得A(，0)， B(－3，0)，C(0，－3)， 設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y＝a(x＋3)(x－)， 把C

28、(0，－3)代入得到a＝， ∴拋物線(xiàn)的解析式為y＝x2＋x－3. (2)在Rt△AOC中，tan∠OAC＝＝， ∴∠OAC＝60°. ∵AD平分∠OAC，∴∠OAD＝30°. ∴OD＝OA·tan30°＝1.∴D(0，－1)． ∴直線(xiàn)AD的解析式為y＝x－1. 由題意，得P(m，m2＋m－3)，H(m，m－1)，F(xiàn)(m，0)． ∵FH＝PH，∴1－m＝m－1－(m2＋m－3)，解得m＝－或(舍去)． ∴當(dāng)FH＝HP時(shí)，m的值為－. (3)如圖， ∵PF是對(duì)稱(chēng)軸，∴F(－，0)，H(－，－2)． ∵AH⊥AE，∴∠EAO＝60°.EA＝2OA＝2. ∵C(0，－3)，

29、 ∴HC＝＝2，AH＝2FH＝4. ∴QH＝CH＝1. 在HA上取一點(diǎn)K，使得HK＝. AK＝AH－HK＝. ∵HQ2＝1，HK·HA＝1， ∴HQ2＝HK·HA，可得△QHK∽△AHQ. ∴＝＝，即KQ＝AQ. ∴AQ＋QE＝KQ＋EQ. ∴當(dāng)E，Q，K共線(xiàn)時(shí)，AQ＋QE的值最小，最小值為EK＝＝＝. 類(lèi)型2　探究角度問(wèn)題 1．(xx·萊蕪)如圖，拋物線(xiàn)y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過(guò)A(－1，0)，B(4，0)，C(0，3)三點(diǎn)，D為直線(xiàn)BC上方拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，DE⊥BC于點(diǎn)E. (1)求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式； (2)如圖1，求線(xiàn)段DE長(zhǎng)度的最大值； (3)如圖2，設(shè)A

30、B的中點(diǎn)為F，連接CD，CF，是否存在點(diǎn)D，使得△CDE中有一個(gè)角與∠CFO相等？若存在，求點(diǎn)D的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 　　 圖1　　　　　　　　　　　　圖2 解：(1)由題意，得解得 ∴拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為y＝－x2＋x＋3. (2)設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為y＝kx＋b， 由題意，得解得 ∴y＝－x＋3. 設(shè)D(a，－a2＋a＋3)(0＜a＜4)，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥x軸交BC于點(diǎn)M， 則M(a，－a＋3)，DM＝(－a2＋a＋3)－(－a＋3)＝－a2＋3a. ∵∠DME＝∠OCB，∠DEM＝∠BOC， ∴△DEM∽△BOC.∴＝. ∵OB＝4，OC＝3，∴BC＝5

31、.∴DE＝DM. ∴DE＝－a2＋a＝－(a－2)2＋. ∴當(dāng)a＝2時(shí)，DE取最大值，最大值是. (3)假設(shè)存在這樣的點(diǎn)D，使得△CDE中有一個(gè)角與∠CFO相等． ∵點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)， ∴OF＝，tan∠CFO＝＝2. 過(guò)點(diǎn)B作BG⊥BC，交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥x軸，垂足為H， ①若∠DCE＝∠CFO， ∴tan∠DCE＝＝2.∴BG＝10. ∵△GBH∽BCO，∴＝＝. ∴GH＝8，BH＝6.∴G(10，8)． 設(shè)直線(xiàn)CG的解析式為y＝k1x＋b1， ∴解得 ∴直線(xiàn)CG的解析式為y＝x＋3. ∴解得x＝或x＝0(舍)． ②若∠CDE＝∠CFO，

32、同理可得，BG＝，GH＝2，BH＝，∴G(，2)． 同理可得，直線(xiàn)CG的解析式為y＝－x＋3. ∴解得x＝或x＝0(舍)． 綜上所述，存在點(diǎn)D，使得△CDE中有一個(gè)角與∠CFO相等，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為或. 2．(xx·揚(yáng)州)如圖1，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3，0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，6)，點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿OA以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A出發(fā)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)運(yùn)動(dòng)停止．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒． (1)當(dāng)t＝2時(shí)，線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(，2)； (2)當(dāng)△CBQ與△PAQ相似時(shí)，求t的值； (3)當(dāng)t＝

33、1時(shí)，拋物線(xiàn)y＝x2＋bx＋c經(jīng)過(guò)P，Q兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)M，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為K，如圖2所示，問(wèn)該拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)D，使∠MQD＝∠MKQ？若存在，求出所有滿(mǎn)足條件的D的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由． 　　 圖1　　　　　　　　　　圖2 解：(2)如圖1，∵當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)運(yùn)動(dòng)停止，且△PAQ可以構(gòu)成三角形，∴0＜t＜3. ∵四邊形OABC是矩形，∴∠B＝∠PAQ＝90°. ∴當(dāng)△CBQ與△PAQ相似時(shí)，存在兩種情況： ①當(dāng)△PAQ∽△QBC時(shí)，＝. ∴＝.解得t1＝3(舍)，t2＝. ②當(dāng)△PAQ∽△CBQ時(shí)，＝. ∴＝.解得t＝. ∵0＜t＜3，∴x＝不符合題意，舍去．

34、 綜上所述，當(dāng)△CBQ與△PAQ相似時(shí)，t的值是或. (3)當(dāng)t＝1時(shí)，P(1，0)，Q(3，2)， 把P(1，0)，Q(3，2)代入拋物線(xiàn)y＝x2＋bx＋c中，得 解得 ∴拋物線(xiàn)解析式y(tǒng)＝x2－3x＋2＝(x－)2－. ∴頂點(diǎn)K(，－)． ∵Q(3，2)，M(0，2)，∴MQ∥x軸． 作拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸，交MQ于點(diǎn)E， ∴KM＝KQ，KE⊥MQ. ∴∠MKE＝∠QKE＝∠MKQ. 如圖2，∠MQD＝∠MKQ＝∠QKE. 設(shè)DQ交y軸于點(diǎn)H. ∵∠HMQ＝∠QEK＝90°，∴△KEQ∽△QMH. ∴＝.∴＝. ∴MH＝2.∴H(0，4)． 易得HQ的解析式為y＝－x＋

35、4. 則解得x1＝3(舍)，x2＝－. ∴D(－，)． 同理，在M的下方，y軸上存在點(diǎn)H，如圖3，使∠HQM＝∠MKQ＝∠QKE， 圖3 由對(duì)稱(chēng)性得，H(0，0)，易得OQ的解析式為y＝x. 則解得x1＝3(舍)，x2＝. ∴D(，)． 綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(－，)或(，)． 類(lèi)型3　探究面積問(wèn)題 1．(xx·菏澤)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y＝ax2＋bx－5交y軸于點(diǎn)A，交x軸于點(diǎn)B(－5，0)和點(diǎn)C(1，0)，過(guò)點(diǎn)A作AD∥x軸交拋物線(xiàn)于點(diǎn)D. (1)求此拋物線(xiàn)的表達(dá)式； (2)點(diǎn)E是拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，且點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在直線(xiàn)A

36、D上，求△EAD的面積； (3)若點(diǎn)P是直線(xiàn)AB下方的拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，△ABP的面積最大，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)和△ABP的最大面積． 解：(1)∵拋物線(xiàn)y＝ax2＋bx－5交x軸于點(diǎn)B(－5，0)和點(diǎn)C(1，0)， ∴ 解得 ∴此拋物線(xiàn)的表達(dá)式是y＝x2＋4x－5. (2)∵拋物線(xiàn)y＝x2＋4x－5交y軸于點(diǎn)A， ∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，－5)． ∵AD∥x軸，點(diǎn)E是拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，且點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在直線(xiàn)AD上， ∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)是5，點(diǎn)E到AD的距離是10. 當(dāng)y＝－5時(shí)，－5＝x2＋4x－5，得x＝0或x＝－4. ∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(－4，－5)．

37、∴AD＝4. ∴S△EAD＝＝20. (3)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(p，p2＋4p－5)， 設(shè)直線(xiàn)AB的函數(shù)解析式為y＝mx＋n，由題意，得 解得 即直線(xiàn)AB的函數(shù)解析式為y＝－x－5. 當(dāng)x＝p時(shí)，y＝－p－5. ∵OB＝5，∴S△ABP＝·5＝[－(p＋)2＋]． ∵點(diǎn)P是直線(xiàn)AB下方的拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)， ∴－5＜p＜0. ∴當(dāng)p＝－時(shí)，S取得最大值，此時(shí)S＝，點(diǎn)P的坐標(biāo)是(－，－)． 即點(diǎn)P的坐標(biāo)是(－，－)時(shí)，△ABP的面積最大，此時(shí)△ABP的面積是. 2．(xx·內(nèi)江)如圖，已知拋物線(xiàn)y＝ax2＋bx－3與x軸交于點(diǎn)A(－3，0)和點(diǎn)B(1，0)，交y軸于點(diǎn)

38、C，過(guò)點(diǎn)C作CD∥x軸，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)D. (1)求拋物線(xiàn)的解析式； (2)若直線(xiàn)y＝m(－3＜m＜0)與線(xiàn)段AD，BD分別交于G，H兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)G作EG⊥x軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)H作HF⊥x軸于點(diǎn)F，求矩形GEFH的最大面積； (3)若直線(xiàn)y＝kx＋1將四邊形ABCD分成左、右兩個(gè)部分，面積分別為S1，S2，且S1∶S2＝4∶5，求k的值． 　　　 　　　　　　　　　　　　 　備用圖 解：(1)∵拋物線(xiàn)y＝ax2＋bx－3與x軸交于點(diǎn)A(－3，0)和點(diǎn)B(1，0)， ∴解得 ∴拋物線(xiàn)的解析式為y＝x2＋2x－3.

39、 (2)由(1)知，拋物線(xiàn)的解析式為y＝x2＋2x－3， ∴C(0，－3)． 由x2＋2x－3＝－3，得x＝0或x＝－2. ∴D(－2，－3)． ∵A(－3，0)和點(diǎn)B(1，0)， ∴直線(xiàn)AD的解析式為y＝－3x－9，直線(xiàn)BD的解析式為y＝x－1. ∵直線(xiàn)y＝m(－3＜m＜0)與線(xiàn)段AD，BD分別交于G，H兩點(diǎn)， ∴G(－m－3，m)，H(m＋1，m)． ∴GH＝m＋1－(－m－3)＝m＋4. ∴S矩形GEFH＝－m(m＋4)＝－(m2＋3m) ＝－(m＋)2＋3. ∴當(dāng)m＝－時(shí)，矩形GEFH有最大面積為3. (3)∵A(－3，0)，B(1，0)，∴AB＝4. ∵C

40、(0，－3)，D(－2，－3)，∴CD＝2. ∴S四邊形ABCD＝×3×(4＋2)＝9. ∵S1∶S2＝4∶5，∴S1＝4. 設(shè)直線(xiàn)y＝kx＋1與線(xiàn)段AB相交于點(diǎn)M，與線(xiàn)段CD相交于點(diǎn)N， ∴M(－，0)，N(－，－3)． ∴AM＝－＋3，DN＝－＋2. ∴S1＝(－＋3－＋2)×3＝4. ∴k＝. 類(lèi)型4　探究特殊三角形的存在性問(wèn)題 1．(xx·赤峰)已知拋物線(xiàn)y＝－x2－x的圖象如圖所示： (1)將該拋物線(xiàn)向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，分別交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，則平移后的解析式為y＝－x2－x＋2； (2)判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由； (3)在拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上

41、是否存在一點(diǎn)P，使得以A，C，P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由． 　　 解：(2)當(dāng)y＝0時(shí)，－x2－x＋2＝0，解得x1＝－4，x2＝1，即B(－4，0)，A(1，0)． 當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2，即C(0，2)． AB＝1－(－4)＝5，AB2＝25， AC2＝(1－0)2＋(0－2)2＝5，BC2＝(－4－0)2＋(0－2)2＝20， ∵AC2＋BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形． (3)y＝－x2－x＋2的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x＝－，設(shè)P(－，n)， AP2＝(1＋)2＋n2＝＋n2，CP2＝＋(2－n)2，AC2＝12＋22＝5，

42、當(dāng)AP＝AC時(shí)，AP2＝AC2，＋n2＝5，方程無(wú)解； 當(dāng)AP＝CP時(shí)，AP2＝CP2，＋n2＝＋(2－n)2，解得n＝0，即P1(－，0)． 當(dāng)AC＝CP時(shí)AC2＝CP2，＋(2－n)2＝5，解得n1＝2＋，n2＝2－，P2(－，2＋)，P3(－，2－)． 綜上所述：使得以A，C，P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，點(diǎn)P的坐標(biāo)(－，0)，(－，2＋)，(－，2－)． 2．(xx·臨沂)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，∠ACB＝90°，OC＝2OB，tan∠ABC＝2，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，0)．拋物線(xiàn)y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)． (1)求拋物線(xiàn)的解析式； (2)點(diǎn)P是直線(xiàn)AB上方

43、拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD垂直x軸于點(diǎn)D，交線(xiàn)段AB于點(diǎn)E，使PE＝DE. ①求點(diǎn)P的坐標(biāo)； ②在直線(xiàn)PD上是否存在點(diǎn)M，使△ABM為直角三角形？若存在，求出符合條件的所有點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 解：(1)∵B(1，0)， ∴OB＝1. ∵OC＝2OB＝2， ∴C(－2，0)． 在Rt△ABC中，tan∠ABC＝2， ∴＝2.∴AC＝6.∴A(－2，6)． 把A(－2，6)和B(1，0)代入y＝－x2＋bx＋c，得 解得 ∴拋物線(xiàn)的解析式為y＝－x2－3x＋4. (2)①∵A(－2，6)，B(1，0)，易得AB的解析式為y＝－2x＋2. 設(shè)P(x

44、，－x2－3x＋4)，則E(x，－2x＋2)． ∵PE＝DE，∴－x2－3x＋4－(－2x＋2)＝(－2x＋2)，解得x＝1(舍)或－1. ∴P(－1，6)． ②∵M(jìn)在直線(xiàn)PD上，且P(－1，6)，設(shè)M(－1，y)， ∴AM2＝(－1＋2)2＋(y－6)2＝1＋(y－6)2. BM2＝(1＋1)2＋y2＝4＋y2. AB2＝(1＋2)2＋62＝45. 分三種情況： i)當(dāng)∠AMB＝90°時(shí)，有AM2＋BM2＝AB2， ∴1＋(y－6)2＋4＋y2＝45，解得y＝3±. ∴M(－1，3＋)或(－1，3－)． ii)當(dāng)∠ABM＝90°時(shí)，有AB2＋BM2＝AM2， ∴45＋

45、4＋y2＝1＋(y－6)2，解得y＝－1. ∴M(－1，－1)． iii)當(dāng)∠BAM＝90°時(shí)，有AM2＋AB2＝BM2， ∴1＋(y－6)2＋45＝4＋y2，解得y＝. ∴M(－1，)． 綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(－1，3＋)或(－1，3－)或(－1，－1)或(－1，)． 3．(xx·眉山)如圖1，已知拋物線(xiàn)y＝ax2＋bx＋c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0，3)，B(1，0)，其對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)l：x＝2，過(guò)點(diǎn)A作AC∥x軸交拋物線(xiàn)于點(diǎn)C，∠AOB的平分線(xiàn)交線(xiàn)段AC于點(diǎn)E，點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)其橫坐標(biāo)為m. (1)求拋物線(xiàn)的解析式； (2)若動(dòng)點(diǎn)P在直線(xiàn)OE下方的拋物線(xiàn)上

46、，連接PE，PO，當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形AOPE面積最大，并求出其最大值； (3)如圖2，F(xiàn)是拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸l上的一點(diǎn)，在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)P，使△POF成為以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 　　 圖1　　　　　　　　　　　圖2 解：(1)設(shè)拋物線(xiàn)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D，由對(duì)稱(chēng)性，得D(3，0)． 設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y＝a(x－1)(x－3)． 把A(0，3)代入，得3＝3a，a＝1. ∴拋物線(xiàn)的解析式為y＝x2－4x＋3. (2)設(shè)P(m，m2－4m＋3)， ∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，∴∠AOE＝4

47、5°. ∴△AOE是等腰直角三角形． ∴AE＝OA＝3.∴E(3，3)． 易得OE的解析式為y＝x. 過(guò)P作PG∥y軸，交OE于點(diǎn)G，∴G(m，m)． ∴PG＝m－(m2－4m＋3)＝－m2＋5m－3. ∴S四邊形AOPE＝S△AOE＋S△POE＝×3×3＋PG·AE＝＋×3×(－m2＋5m－3)＝－m2＋＝－(m－)2＋. ∵－＜0，∴當(dāng)m＝時(shí)，S有最大值是. (3)當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作MN⊥y軸，交y軸于點(diǎn)M，交l于點(diǎn)N， ∵△OPF是等腰直角三角形，且OP＝PF， 易得△OMP≌△PNF，∴OM＝PN. ∵P(m，m2－4m＋3)，則－m2＋4m－3＝2－

48、m， 解得m＝或. ∴P的坐標(biāo)為(，)或(，)． 當(dāng)P在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)時(shí)，過(guò)P′作M′N(xiāo)′⊥x軸于點(diǎn)N′，過(guò)F′作F′M′⊥M′N(xiāo)′于點(diǎn)M′， 同理得，△ON′P′≌△P′M′F′，∴P′N(xiāo)′＝F′M′. 則－m2＋4m－3＝m－2，解得x＝或； P′的坐標(biāo)為(，)或(，)． 綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)是：(，)或(，)或(，)或(，)． 類(lèi)型5　探究特殊四邊形存在性問(wèn)題 1．(xx·自貢)如圖，拋物線(xiàn)y＝ax2＋bx－3過(guò)A(1，0)，B(－3，0)，直線(xiàn)AD交拋物線(xiàn)于點(diǎn)D，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為－2，點(diǎn)P(m，n)是線(xiàn)段AD上的動(dòng)點(diǎn)． (1)求直線(xiàn)AD及拋物線(xiàn)的解析式

49、； (2)過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)垂直于x軸，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)Q，求線(xiàn)段PQ的長(zhǎng)度l與m的關(guān)系式，m為何值時(shí)，PQ最長(zhǎng)？ (3)在平面內(nèi)是否存在整點(diǎn)R(橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù))，使得P，Q，D，R為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)R的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由． 解：(1)把A(1，0)，B(－3，0)代入拋物線(xiàn)解析式，得 解得 ∴拋物線(xiàn)的解析式為y＝x2＋2x－3. ∴當(dāng)x＝－2時(shí)，y＝－3，即D(－2，－3)． 設(shè)AD的解析式為y＝kx＋b，將A(1，0)，D(－2，－3)代入，得 解得 ∴直線(xiàn)AD的解析式為y＝x－1. (2)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(m，m－1)，Q(m，m2＋2m－

50、3)， ∴l(xiāng)＝(m－1)－(m2＋2m－3)＝－(m＋)2＋. ∴當(dāng)m＝－時(shí)，l最大＝，即PQ長(zhǎng)度最長(zhǎng)為. (3)由(2)可知，0＜PQ≤.當(dāng)PQ為邊時(shí)，DR∥PQ且DR＝PQ. ∵R是整點(diǎn)，D(－2，－3)，∴PQ是正整數(shù)． ∴PQ＝1或2.當(dāng)PQ＝1時(shí)，DR＝1. 此時(shí)點(diǎn)R的橫坐標(biāo)為－2，縱坐標(biāo)為－3＋1＝－2或－3－1＝－4， ∴R(－2，－2)或R(－2，－4)． 當(dāng)PQ＝2時(shí)，DR＝2. 此時(shí)點(diǎn)R的橫坐標(biāo)為－2，縱坐標(biāo)為－3＋2＝－1或－3－2＝－5. ∴R(－2，－1)或R(－2，－5)． 當(dāng)QR為邊時(shí)，QR∥DP，且QR＝DP. 設(shè)點(diǎn)R的坐標(biāo)為(n，n＋m

51、2＋m－3)，則QR2＝2(m－n)2. 又∵P(m，m－1)，D(－2，－3)，∴PD2＝2(m＋2)2. ∴(m＋2)2＝(m－n)2，解得n＝－2(不合題意，舍去)或n＝2m＋2. ∴點(diǎn)R的坐標(biāo)為(2m＋2，m2＋3m－1)． ∵R是整點(diǎn)，－2＜m＜1， ∴當(dāng)m＝－1時(shí)，點(diǎn)R的坐標(biāo)為(0，－3)； 當(dāng)m＝0時(shí)，點(diǎn)R的坐標(biāo)為(2，－1)． 綜上所述，存在滿(mǎn)足R的點(diǎn)，它的坐標(biāo)為(－2，－2)或(－2，－4)或(－2，－1)或(－2，－5)或(0，－3)或(2，－1)． 2．(xx·齊齊哈爾)綜合與探究 如圖1所示，直線(xiàn)y＝x＋c與x軸交于點(diǎn)A(－4，0)，與

52、y軸交于點(diǎn)C，拋物線(xiàn)y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，C. (1)求拋物線(xiàn)的解析式； (2)點(diǎn)E在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，求CE＋OE的最小值； (3)如圖2所示，M是線(xiàn)段OA的上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M垂直于x軸的直線(xiàn)與直線(xiàn)AC和拋物線(xiàn)分別交于點(diǎn)P，N. ①若以C，P，N為頂點(diǎn)的三角形與△APM相似，則△CPN的面積為或4； ②若點(diǎn)P恰好是線(xiàn)段MN的中點(diǎn)，點(diǎn)F是直線(xiàn)AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)D，使以點(diǎn)D，F(xiàn)，P，M為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 注：二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－，) 　　 圖1　　　　　　　　　　

53、　圖2 解：(1)將A(－4，0)代入y＝x＋c，∴c＝4. 將A(－4，0)和c＝4代入y＝－x2＋bx＋c， ∴b＝－3. ∴拋物線(xiàn)解析式為y＝－x2－3x＋4. (2)作點(diǎn)C關(guān)于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′，連接OC′，交直線(xiàn)l于點(diǎn)E.連接CE，此時(shí)CE＋OE的值最?。? ∵拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝－，∴CC′＝3. 由勾股定理，得OC′＝5，∴CE＋OE的最小值為5. ②存在． 設(shè)M坐標(biāo)為(a，0)， 則N為(a，－a2－3a＋4)． 則P點(diǎn)坐標(biāo)為(a，)． 把點(diǎn)P坐標(biāo)代入y＝x＋4. 解得a1＝－4(舍去)，a2＝－1，則P(－1，3)． 當(dāng)PF＝FM時(shí)，

54、點(diǎn)D在PM的垂直平分線(xiàn)上，則D(，)． 當(dāng)PM＝PF時(shí)，由菱形性質(zhì)得，點(diǎn)D坐標(biāo)為(－1＋，)或(－1－，－)． 當(dāng)MP＝MF時(shí)，M，D關(guān)于直線(xiàn)y＝x＋4對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)D坐標(biāo)為(－4，3)． 類(lèi)型6　探究全等、相似三角形的存在性問(wèn)題 1．(xx·衡陽(yáng))如圖，已知直線(xiàn)y＝－2x＋4分別交x軸，y軸于點(diǎn)A，B，拋物線(xiàn)過(guò)A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是線(xiàn)段AB上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)C，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)D. (1)若拋物線(xiàn)的解析式為y＝－2x2＋2x＋4，設(shè)其頂點(diǎn)為M，其對(duì)稱(chēng)軸交AB于點(diǎn)N. ①求點(diǎn)M，N的坐標(biāo)； ②是否存在點(diǎn)P，使四邊形MNPD為菱形？并說(shuō)明理由； (2)當(dāng)點(diǎn)P的橫坐

55、標(biāo)為1時(shí)，是否存在這樣的拋物線(xiàn)，使得以B，P，D為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似？若存在，求出滿(mǎn)足條件的拋物線(xiàn)的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 解：(1)①如圖1， 圖1 ∵y＝－2x2＋2x＋4＝－2(x－)2＋， ∴頂點(diǎn)為M的坐標(biāo)為(，)． 當(dāng)x＝時(shí)，y＝－2×＋4＝3，則點(diǎn)N坐標(biāo)為(，3)． ②不存在．理由如下： MN＝－3＝. 設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(m，－2m＋4)，則D(m，－2m2＋2m＋4)， ∴PD＝－2m2＋2m＋4－(－2m＋4)＝－2m2＋4m. ∵PD∥MN， 當(dāng)PD＝MN時(shí)，四邊形MNPD為平行四邊形，即－2m2＋4m＝，解得m1＝(舍去)，m2＝.

56、此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(，1)． ∵PN＝＝，∴PN≠M(fèi)N. ∴平行四邊形MNPD不為菱形． ∴不存在點(diǎn)P，使四邊形MNPD為菱形． (2)存在． 如圖2，OB＝4，OA＝2，則AB＝＝2. 圖2 當(dāng)x＝1時(shí)，y＝－2x＋4＝2，則P(1，2)． ∴PB＝＝. 設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y＝ax2＋bx＋4. 把A(2，0)代入，得4a＋2b＋4＝0，解得b＝－2a－2. ∴拋物線(xiàn)的解析式為y＝ax2－2(a＋1)x＋4. 當(dāng)x＝1時(shí)，y＝ax2－2(a＋1)x＋4＝a－2a－2＋4＝2－a，則D(1，2－a)． ∴PD＝2－a－2＝－a. ∵DC∥OB，∴∠DPB＝∠OBA.

57、 ∴當(dāng)＝時(shí)，△PDB∽△BOA，即＝，解得a＝－2，此時(shí)拋物線(xiàn)解析式為y＝－2x2＋2x＋4. 當(dāng)＝時(shí)，△PDB∽△BAO，即＝，解得a＝－，此時(shí)拋物線(xiàn)解析式為y＝－x2＋3x＋4. 綜上所述，滿(mǎn)足條件的拋物線(xiàn)的解析式為y＝－2x2＋2x＋4或y＝－x2＋3x＋4. 2．如圖，拋物線(xiàn)y＝ax2＋c(a≠0)與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于B，C兩點(diǎn)(點(diǎn)C在x軸正半軸上)，△ABC為等腰直角三角形，且面積為4.現(xiàn)將拋物線(xiàn)沿BA方向平移，平移后的拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，與x軸的另一交點(diǎn)為E，其頂點(diǎn)為F，對(duì)稱(chēng)軸與x軸的交點(diǎn)為H. (1)求a，c的值； (2)連接OF，試判斷△OEF是

58、否為等腰三角形，并說(shuō)明理由； (3)現(xiàn)將一足夠大的三角板的直角頂點(diǎn)Q放在射線(xiàn)AF或射線(xiàn)HF上，一直角邊始終過(guò)點(diǎn)E，另一直角邊與y軸相交于點(diǎn)P，是否存在這樣的點(diǎn)Q，使以點(diǎn)P，Q，E為頂點(diǎn)的三角形與△POE全等？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 圖1 圖2 圖3 圖4 圖5 圖6 解：(1)∵△ABC為等腰直角三角形， ∴OA＝BC. 又∵S△ABC＝BC·OA＝4，即OA2＝4， ∴OA＝2. ∴A(0，2)，B(－2，0)，C(2，0)． ∴解得 ∴a＝－，c＝2. (2)△OEF是等腰三角形．理由如下： 如圖1，

59、∵A(0，2)，B(－2，0)， ∴直線(xiàn)AB的函數(shù)解析式為y＝x＋2. 又∵平移后的拋物線(xiàn)頂點(diǎn)F在射線(xiàn)BA上， ∴設(shè)頂點(diǎn)F的坐標(biāo)為(m，m＋2)． ∴平移后的拋物線(xiàn)函數(shù)表達(dá)式為y＝－(x－m)2＋m＋2. ∵拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)C(2，0)． ∴－(2－m)2＋m＋2＝0.解得m1＝0(舍去)，m2＝6. ∴平移后的拋物線(xiàn)函數(shù)解析式為y＝－(x－6)2＋8，即y＝－x2＋6x－10. 當(dāng)y＝0時(shí)，－x2＋6x－10＝0， 解得x1＝2，x2＝10. ∴E(10，0)，OE＝10. 又∵F(6，8)，OH＝6，F(xiàn)H＝8. ∴OF＝＝＝10. ∴OE＝OF，即△OEF為等腰三角形．

60、 (3)存在．點(diǎn)Q的位置分兩種情形： 情形一：點(diǎn)Q在射線(xiàn)HF上， 當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，如圖2. ∵△PQE≌△POE，∴QE＝OE＝10. 在Rt△QHE中，QH＝＝＝2，∴Q(6，2)； 當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，如圖3，有PQ＝OE＝10， 過(guò)P點(diǎn)作PK⊥HF于點(diǎn)K，則PK＝6. 在Rt△PQK中，QK＝＝＝8. ∵∠PQE＝90°，∴∠PQK＋∠HQE＝90°. ∵∠HQE＋∠HEQ＝90°，∴∠PQK＝∠HEQ. 又∵∠PKQ＝∠QHE＝90°， ∴△PKQ∽△QHE. ∴＝，即＝，解得QH＝3. ∴Q(6，3)． 情形二：點(diǎn)Q在射線(xiàn)AF上， 當(dāng)PQ＝OE＝1

61、0時(shí)，如圖4，有QE＝PO， ∴四邊形POEQ為矩形，∴Q的橫坐標(biāo)為10. 當(dāng)x＝10時(shí)，y＝x＋2＝12，∴Q(10，12)． 當(dāng)QE＝OE＝10時(shí)，如圖5. 過(guò)Q點(diǎn)作QM⊥y軸于點(diǎn)M，過(guò)E點(diǎn)作x軸的垂線(xiàn)交QM于點(diǎn)N. 設(shè)Q的坐標(biāo)為(x，x＋2)， ∴MQ＝x，QN＝10－x，EN＝x＋2. 在Rt△QEN中，QE2＝QN2＋EN2， 即102＝(10－x)2＋(x＋2)2，解得x＝4±. 當(dāng)x＝4＋時(shí)，如圖5，y＝x＋2＝6＋， ∴Q(4＋，6＋)． 當(dāng)x＝4－時(shí)，如圖6，y＝x＋2＝6－， ∴Q(4－，6－)． 綜上所述，存在點(diǎn)Q(6，2)或(6，3)或(10，

62、12)或(4＋，6＋)或(4－，6－)，使以P，Q，E三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△POE全等． 類(lèi)型7　反比例函數(shù)與幾何圖形的綜合 1．(xx·宜昌)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OADB的頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A(－6，0)，B(0，4)．過(guò)點(diǎn)C(－6，1)的雙曲線(xiàn)y＝(k≠0)與矩形OADB的邊BD交于點(diǎn)E. (1)填空：OA＝6，k＝－6，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(－，4)； (2)當(dāng)1≤t≤6時(shí)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(t－1，－t2＋5t－)與點(diǎn)N(－t－3，－t2＋3t－)的直線(xiàn)交y軸于點(diǎn)F，點(diǎn)P是過(guò)M，N兩點(diǎn)的拋物線(xiàn)y＝－x2＋bx＋c的頂點(diǎn)． ①當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)y＝上時(shí)，求證：

63、直線(xiàn)MN與雙曲線(xiàn)y＝?jīng)]有公共點(diǎn)； ②當(dāng)拋物線(xiàn)y＝－x2＋bx＋c與矩形OADB有且只有三個(gè)公共點(diǎn)，求t的值； ③當(dāng)點(diǎn)F和點(diǎn)P隨著t的變化同時(shí)向上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求t的取值范圍，并求在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中直線(xiàn)MN在四邊形OAEB中掃過(guò)的面積． 解：(1)∵A點(diǎn)坐標(biāo)為(－6，0)，∴OA＝6. ∵點(diǎn)C(－6，1)在雙曲線(xiàn)y＝上，∴k＝－6. 當(dāng)y＝4時(shí)，x＝－＝－. ∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(－，4)． (2)①證明：設(shè)直線(xiàn)MN解析式為y1＝k1x＋b1. 由題意，得解得 ∵拋物線(xiàn)y＝－x2＋bx＋c過(guò)點(diǎn)M，N， ∴解得 ∴拋物線(xiàn)解析式為y＝－x2－x＋5t－2. ∴頂點(diǎn)P坐標(biāo)為(－1，5t－)．

64、 ∵P在雙曲線(xiàn)y＝－上， ∴(5t－)×(－1)＝－6.∴t＝. 此時(shí)直線(xiàn)MN解析式為y＝x＋. 聯(lián)立 ∴8x2＋35x＋48＝0. ∵Δ＝352－4×8×48＝1 225－1 536＜0， ∴直線(xiàn)MN與雙曲線(xiàn)y＝－沒(méi)有公共點(diǎn)． ②當(dāng)拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)B，此時(shí)拋物線(xiàn)y＝－x2＋bx＋c與矩形OADB有且只有三個(gè)公共點(diǎn)， ∴4＝5t－2，得t＝. 當(dāng)拋物線(xiàn)頂點(diǎn)在線(xiàn)段DB上，此時(shí)拋物線(xiàn)與矩形OADB有且只有三個(gè)公共點(diǎn)， ∴5t－＝4，得t＝. ∴t＝或t＝. ③∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－1，5t－)，∴yP＝5t－. 當(dāng)1≤t≤6時(shí)，yP隨t的增大而增大，此時(shí)，點(diǎn)P在直線(xiàn)x＝－1上向上

65、運(yùn)動(dòng)． ∵點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0，－t2＋4t－)， ∴yF＝－(t－4)2＋. ∴當(dāng)1≤t≤4時(shí)，yF隨t的增大而增大． 此時(shí)，隨著t的增大，點(diǎn)F在y軸上向上運(yùn)動(dòng)． ∴1≤t≤4. 當(dāng)t＝1時(shí)，直線(xiàn)MN：y＝x＋3與x軸交于點(diǎn)G(－3，0)，與y軸交于點(diǎn)H(0，3)． 當(dāng)t＝4－時(shí)，直線(xiàn)MN過(guò)點(diǎn)A. ∴當(dāng)1≤t≤4時(shí)，直線(xiàn)MN在四邊形AEBO中掃過(guò)的面積為S＝S四邊形AEBO－S△GHO＝×(＋6)×4－×3×3＝. 類(lèi)型8　其他問(wèn)題 1．(xx·武漢)拋物線(xiàn)L：y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0，1)，與它的對(duì)稱(chēng)軸直線(xiàn)x＝1交于點(diǎn)B. (1)直接寫(xiě)出拋物線(xiàn)L的

66、解析式； (2)如圖1，過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)y＝kx－k＋4(k＜0)與拋物線(xiàn)L交于點(diǎn)M，N.若△BMN的面積等于1，求k的值； (3)如圖2，將拋物線(xiàn)L向上平移m(m＞0)個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線(xiàn)L1，拋物線(xiàn)L1與y軸交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作y軸的垂線(xiàn)交拋物線(xiàn)L1于另一點(diǎn)D.F為拋物線(xiàn)L1的對(duì)稱(chēng)軸與x軸的交點(diǎn)，P為線(xiàn)段OC上一點(diǎn)．若△PCD與△POF相似，并且符合條件的點(diǎn)P恰有2個(gè)，求m的值及相應(yīng)點(diǎn)P的坐標(biāo)． 　　 圖1　　　　　　　　　　　圖2 解：(1)由題意，知解得 ∴拋物線(xiàn)L的解析式為y＝－x2＋2x＋1. (2)∵y＝kx－k＋4＝k(x－1)＋4， ∴當(dāng)x＝1時(shí)，y＝4，即該直線(xiàn)所過(guò)定點(diǎn)G坐標(biāo)為(1，4)． ∵y＝－x2＋2x＋1＝－(x－1)2＋2， ∴點(diǎn)B(1，2)．則BG＝2. ∵S△BMN＝1，即S△BNG－S△BMG＝BG·xN－BG·xM＝1，∴xN－xM＝1. 由得x2＋(k－2)x－k＋3＝0. 解得x＝. 則xN＝，xM＝. 由xN－xM＝1，得＝1，∴k＝±3. ∵k＜0，∴k＝－3. (3)設(shè)拋物線(xiàn)L1的解析式為y＝－x2＋2x＋1