《(文理通用)2022屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專題6 解析幾何 第2講 圓錐曲線的概念與性質(zhì)、與弦有關(guān)的計算問題練習(xí)》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(文理通用)2022屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專題6 解析幾何 第2講 圓錐曲線的概念與性質(zhì)、與弦有關(guān)的計算問題練習(xí)(10頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、(文理通用)2022屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專題6 解析幾何 第2講 圓錐曲線的概念與性質(zhì)、與弦有關(guān)的計算問題練習(xí)
A組
1.拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,O為坐標(biāo)原點,M為拋物線上一點,且|MF|=4|OF|,△MFO的面積為4,則拋物線方程為( B )
A.y2=6x B.y2=8x
C.y2=16x D.y2=x
[解析] 依題意,設(shè)M(x,y),因為|OF|=,
所以|MF|=2p,即x+=2p,
解得x=,y=p.
又△MFO的面積為4,所以××p=4,
解得p=4.所以拋物線方程為y2=8x.
2.若雙曲線-=1(a>0
2、,b>0)和橢圓+=1(m>n>0)有共同的焦點F1、F2,P是兩條曲線的一個交點,則|PF1|·|PF2|= ( D )
A.m2-a2 B.-
C.(m-a) D.m-a
[解析] 不妨設(shè)F1、F2分別為左、右焦點,P在雙曲線的右支上,由題意得|PF1|+|PF2|=2,|PF1|-|PF2|=2,∴|PF1|=+,|PF2|=-,故|PF1|·|PF2|=m-a.
3.(文)若雙曲線-=1的一條漸近線經(jīng)過點(3,-4),則此雙曲線的離心率為( D )
A. B.
C. D.
[解析] 由題利用雙曲線的漸近線經(jīng)過點(3,-4),得到關(guān)于a,b的關(guān)系式,然后求
3、出雙曲線的離心率即可.因為雙曲線-=1的一條漸近線經(jīng)過點(3,-4),
∴3b=4a,∴9(c2-a2)=16a2,∴e==,故選D.
(理)已知雙曲線-=1(b>0),以原點為圓心,雙曲線的實半軸長為半徑長的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A、B、C、D四點,四邊形的ABCD的面積為2b,則雙曲線的方程為( D )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
[解析] 根據(jù)圓和雙曲線的對稱性,可知四邊形ABCD為矩形.雙曲線的漸近線方程為y=±x,圓的方程為x2+y2=4,不妨設(shè)交點A在第一象限,由y=x,x2+y2=4得xA=,yA=,故四邊形ABCD的面積為4xAyA=
4、=2b,解得b2=12,
故所求的雙曲線方程為-=1,故選D.
4.(2018·重慶一模)已知圓(x-1)2+y2=的一條切線y=kx與雙曲線C:-=1(a>0,b>0)有兩個交點,則雙曲線C的離心率的取值范圍是( D )
A.(1,) B.(1,2)
C.(,+∞) D.(2,+∞)
[解析] 由題意,圓心到直線的距離d==,所以k=±,
因為圓(x-1)2+y2=的一條切線y=kx與雙曲線C:
-=1(a>0,b>0)有兩個交點,
所以>,所以1+>4,所以e>2.
5.(2018·濟南一模)已知拋物線C:y2=8x的焦點為F,準(zhǔn)線為l,P是l上一點,Q是直線PF
5、與C的一個交點,若=4,則|QF|=( B )
A. B.3
C. D.2
[解析] 如圖所示,因為=4,所以=,過點Q作QM⊥l垂足為M,則MQ∥x軸,
所以==,所以|MQ|=3,由拋物線定義知|QF|=|QM|=3.
6.(2018·泉州一模)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線l,過M(1,0)且斜率為的直線與l相交于點A,與點C的一個交點為點B,若=,則p=2.
[解析] 設(shè)直線AB:y=x-,代入y2=2px得:
3x2+(-6-2p)x+3=0,
又因為=,即M為A,B的中點,
所以xB+(-)=2,即xB=2+,得p2+4p-12=0,
6、
解得p=2,p=-6(舍去).
7.已知雙曲線x2-=1的左頂點為A1,右焦點為F2,P為雙曲線右支上一點,則·的最小值為-2.
[解析] 由已知得A1(-1,0),F(xiàn)2(2,0).設(shè)P(x,y)(x≥1),則·=(-1-x,-y)·(2-x,-y)=4x2-x-5.令f(x)=4x2-x-5,則f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,所以當(dāng)x=1時,函數(shù)f(x)取最小值,即·取最小值,最小值為-2.
8.已知橢圓C:+=1,點M與橢圓C的焦點不重合.若M關(guān)于橢圓C的焦點的對稱點分別為A,B,線段MN的中點在橢圓C上,則|AN|+|BN|=12.
[解析] 取MN的中點G,G在橢圓C上,
7、因為點M關(guān)于C的焦點F1,F(xiàn)2的對稱點分別為A,B,故有|GF1|=|AN|,|GF2|=|BN|,所以|AN|+|BN|=2(|GF|1+|GF|2)=4a=12.
9.(2018·郴州三模)已知拋物線E:y2=8x,圓M:(x-2)2+y2=4,點N為拋物線E上的動點,O為坐標(biāo)原點,線段ON的中點P的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的方程;
(2)點Q(x0,y0)(x0≥5)是曲線C上的點,過點Q作圓M的兩條切線,分別與x軸交于A,B兩點,求△QAB面積的最小值.
[解析] (1)設(shè)P(x,y),則點N(2x,2y)在拋物線E:y2=8x上,所以4y2=16x,
所以曲線C的方程
8、為y2=4x.
(2)設(shè)切線方程為y-y0=k(x-x0).
令y=0,可得x=x0-,
圓心(2,0)到切線的距離d==2,
整理可得(x-4x0)k2+(4y0-2x0y0)k+y-4=0,
設(shè)兩條切線的斜率分別為k1,k2,則k1+k2=,k1k2=,
所以△QAB面積S=|(x0-)-(x0-)|y0
=2·=2
=2[(x0-1)++2].
設(shè)t=x0-1∈[4,+∞),
則f(t)=2(t++2)在[4,+∞)上單調(diào)遞增,
所以f(t)≥,即△QAB面積的最小值為.
B組
1.若a>1,則雙曲線-y2=1的離心率的取值范圍是( C )
A.(,+∞)
9、 B.(,2 )
C.(1,) D.(1,2)
[解析] 由題意得雙曲線的離心率e=.
∴e2==1+.
∵a>1,∴0<<1,∴1<1+<2,∴1b>0)的左焦點,A,B分別為C的左,右頂點.P為C上一點,且PF⊥x軸.過點A的直線l與線段PF交于點M,與y軸交于點E.若直線BM經(jīng)過OE的中點,則C的離心率為( A )
A. B.
C. D.
[解析] 解法一:設(shè)E(0,m),則直線AE的方程為-+=1,由題意可知M(-c,m-),(0,)和B(a,0)三點共線,則=,化簡得a=3c,則C
10、的離心率e==.
解法二:如圖所示,由題意得A(-a,0),B(a,0),F(xiàn)(-c,0).
由PF⊥x軸得P(-c,).
設(shè)E(0,m),
又PF∥OE,得=,
則|MF|=.①
又由OE∥MF,得=,
則|MF|=.②
由①②得a-c=(a+c),即a=3c,
所以e==.
故選A.
3.(文)以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A,B兩點,交C的準(zhǔn)線于D,E兩點.已知|AB|=4,|DE|=2,則C的焦點到準(zhǔn)線的距離為( B )
A.2 B.4
C.6 D.8
[解析] 由題意,不妨設(shè)拋物線方程為y2=2px(p>0),由|AB|=4,|DE|=2,可
11、取A(,2),D(-,),設(shè)O為坐標(biāo)原點,由|OA|=|OD|,得+8=+5,得p=4.故選B.
(理)已知橢圓C1:+y2=1(m>1)與雙曲線C2:-y2=1(n>0)的焦點重合,e1,e2分別為C1,C2的離心率,則( A )
A.m>n且e1e2>1 B.m>n且e1e2<1
C.m1 D.mn,又(e1e2)2=·=·==1+>1,所以e1e2>1.故選A.
4.已知M(x0,y0)是曲線C:-y=0上的一點,F(xiàn)是曲線C的焦點,過M作x軸的垂線,垂足為點N,若·
12、<0,則x0的取值范圍是( A )
A.(-1,0)∪(0,1) B.(-1,0)
C.(0,1) D.(-1,1)
[解析] 由題意知曲線C為拋物線,其方程為x2=2y,所以F(0,).根據(jù)題意,可知N(x0,0),x0≠0,=(-x0,-y0),=(0,-y0),所以·=-y0(-y0)<0,即0
13、知a=3,b=,c==2,Rt△AOF中,|OF|=2,|OA|=2,則|AF|=4.設(shè)橢圓的左焦點為F1,則△APF的周長為|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+2a-|PF1|=4+6+|PA|-|PF1|≤10+|AF1|(當(dāng)且僅當(dāng)A,P,F(xiàn)1三點共線,P在線段AF1的延長線上時取“=”).此時直線AF1的方程為+=1,與橢圓的方程為5x2+9y2-45=0聯(lián)立并整,得32y2-20y-75=0,解得yP=-(正值舍去),則△APF的周長最大時,S△APF=|F1F|·|yA-yP|=×4×|2+|=.故選B.
6.設(shè)直線l過雙曲線C的一個焦點,且與C的一條對稱軸垂直,l與
14、C交于A,B兩點,|AB|為C的實軸長的2倍,則C的離心率為.
[解析] 設(shè)雙曲線方程:-=1(a>0,b>0),
由題意可知,將x=c代入,解得:y=±,
則|AB|=,由|AB|=2×2a,
則b2=2a2,所以雙曲線離心率e===.
7.已知橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,過F1且與x軸垂直的直線交橢圓于A,B兩點,直線AF2與橢圓的另一個交點為點C,若S△ABC=3S△BCF2,則橢圓的離心率為.
[解析] 如圖所示,
因為S△ABC=3S△BCF2,所以|AF2|=2|F2C|.
A(-c,),直線AF2的方程為:y-0=(x-c),
化為
15、:y=(x-c),代入橢圓方程+=1(a>b>0),
可得:(4c2+b2)x2-2cb2x+b2c2-4a2c2=0,
所以xC·(-c)=,解得xC=.
因為=2,
所以c-(-c)=2(-c),
化為:a2=5c2,解得e=.
8.設(shè)F1,F(xiàn)2為橢圓C:+=1(a>b>0)的焦點,過F2的直線交橢圓于A,B兩點,AF1⊥AB且AF1=AB,則橢圓C的離心率為-.
[解析] 設(shè)|AF1|=t,則|AB|=t,|F1B|=t,由橢圓定義有:|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a,
所以|AF1|+|AB|+|F1B|=4a,
化簡得(+2)t=4a,t=(
16、4-2)a,
所以|AF2|=2a-t=(2-2)a,
在Rt△AF1F2中,|F1F2|2=(2c)2,
所以[(4-2)a]2+[(2-2)a]2=(2c)2,
所以()2=9-6=(-)2,所以e=-.
9.(文)設(shè)F1、F2分別是橢圓E:+=1(a>b>0)的左、右焦點,過點F1的直線交橢圓E于A、B兩點,|AF1|=3|F1B|.
(1)若|AB|=4,△ABF2的周長為16,求|AF2|;
(2)若cos∠AF2B=,求橢圓E的離心率.
[解析] (1)由|AF1|=3|F1B|及|AB|=4得|AF1|=3,|F1B|=1,
又∵△ABF2的周長為16,
∴由
17、橢圓定義可得4a=16,|AF1|+|AF2|=2a=8.
∴|AF2|=2a-|AF1|=8-3=5.
(2)設(shè)|F1B|=k,則k>0且|AF1|=3k,|AB|=4k,
由橢圓定義知:|AF2|=2a-3k,|BF2|=2a-k,
在△ABF2中,由余弦定理得,
|AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2||BF2|cos∠AF2B,
即(4k)2=(2a-3k)2+(2a-k)2-(2a-3k)(2a-k),
∴(a+k)(a-3k)=0,而a+k>0,
∴a=3k,
于是有|AF2|=3k=|AF1|,|BF2|=5k,
∴|BF2|2=|F2A|2+|A
18、B|2
∴F2A⊥AB,F(xiàn)2A⊥AF1,
∴△AF1F2是等腰直角三角形,
從而c=a,所以橢圓離心率為e==.
(理)設(shè)點F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0)分別是橢圓C:+y2=1(a>1)的左、右焦點,P為橢圓C上任意一點,且·的最小值為0.
(1)求橢圓C的方程;
(2)如圖,動直線l:y=kx+m與橢圓C有且僅有一個公共點,作F1M⊥l,F(xiàn)2N⊥l分別交直線l于M,N兩點,求四邊形F1MNF2面積S的最大值.
[解析] 本題主要考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算、橢圓的方程及幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系、基本不等式.
(1)設(shè)P(x,y),則=(-c-x,-y),
=(
19、c-x,-y),
∴·=x2+y2-c2=x2+1-c2,
x∈[-a,a],
由題意得,1-c2=0,c=1,則a2=2,
∴橢圓C的方程為+y2=1.
(2)將直線l的方程l:y=kx+m代入橢圓C的方程+y2=1中,得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0,
由直線l與橢圓C有且僅有一個公共點知
Δ=16k2m2-4(2k2+1)(2m2-2)=0,
化簡得:m2=2k2+1.
設(shè)d1=|F1M|=,d2=|F2N|=.
①當(dāng)k≠0時,設(shè)直線l的傾斜角為θ,則|d1-d2|=|MN|·|tanθ|,
∴|MN|=·|d1-d2|,
∴S=··|d1-d2|·(d1+d2)===,
∵m2=2k2+1,∴當(dāng)k≠0時,|m|>1,|m|+>2,
即S<2.
②當(dāng)k=0時,四邊形F1MNF2是矩形,此時S=2.
∴四邊形F1MNF2面積S的最大值為2.