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1、(濰坊專版)2022中考數(shù)學復習 第1部分 第三章 函數(shù) 第七節(jié) 二次函數(shù)的綜合應(yīng)用檢測
1.(xx·衡陽中考)如圖,已知直線y=-2x+4分別交x軸、y軸于點A,B,拋物線過A,B兩點,點P是線段AB上一動點,過點P作PC⊥x軸于點C,交拋物線于點D.
(1)若拋物線的表達式為y=-2x2+2x+4,設(shè)其頂點為M,其對稱軸交AB于點N.
①求點M,N的坐標;
②是否存在點P,使四邊形MNPD為菱形?并說明理由;
(2)當點P的橫坐標為1時,是否存在這樣的拋物線,使得以B,P,D為頂點的三角形與△AOB相似?若存在,求出滿足條件的拋物線的表達式;若不存在,請說明理由.
2、
2.(xx·棗莊中考)如圖1,已知二次函數(shù)y=ax2+x+c(a≠0)的圖象與y軸交于點A(0,4),與x軸交于點B,C,點C坐標為(8,0),連接AB,AC.
(1)請直接寫出二次函數(shù)y=ax2+x+c的表達式;
(2)判斷△ABC的形狀,并說明理由;
(3)若點N在x軸上運動,當以點A,N,C為頂點的三角形是等腰三角形時,請寫出此時點N的坐標;
(4)如圖2,若點N在線段BC上運動(不與點B,C重合),過點N作NM∥AC,交AB于點M,當△AMN面積最大時,求此時點N的坐標.
圖1
圖2
3.(xx·隨州中考)如圖1
3、,拋物線C1:y=ax2-2ax+c(a<0)與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C.已知點A的坐標為(-1,0),點O為坐標原點,OC=3OA,拋物線C1的頂點為G.
(1)求出拋物線C1的表達式,并寫出點G的坐標;
(2)如圖2,將拋物線C1向下平移k(k>0)個單位,得到拋物線C2,設(shè)C2與x軸的交點為A′,B′,頂點為G′,當△A′B′G′是等邊三角形時,求k的值;
(3)在(2)的條件下,如圖3,設(shè)點M為x軸正半軸上一動點,過點M作x軸的垂線分別交拋物線C1,C2于P,Q兩點,試探究在直線y=-1上是否存在點N,使得以P,Q,N為頂點的三角形與△AOQ全等,若存在,直接寫出點
4、M,N的坐標:若不存在,請說明理由.
參考答案
1.解:(1)①如圖,
∵y=-2x2+2x+4=-2(x-)2+,
∴頂點M的坐標為(,).
當x=時,y=-2×+4=3,
則點N的坐標為(,3).
②不存在.理由如下:
MN=-3=.
設(shè)P點坐標為(m,-2m+4),則D(m,-2m2+2m+4),
∴PD=-2m2+2m+4-(-2m+4)=-2m2+4m.
∵PD∥MN,
當PD=MN時,四邊形MNPD為平行四邊形,
即-2m2+4m=,解得m1=(舍去),m2=,
此時P點坐標為(,1).
∵PN==,∴PN≠MN
5、,
∴平行四邊形MNPD不為菱形,
∴不存在點P,使四邊形MNPD為菱形.
(2)存在.
如圖,
OB=4,OA=2,則AB==2.
當x=1時,y=-2x+4=2,則P(1,2),
∴PB==.
設(shè)拋物線的表達式為y=ax2+bx+4,
把A(2,0)代入得4a+2b+4=0,解得b=-2a-2,
∴拋物線的表達式為y=ax2-2(a+1)x+4.
當x=1時,y=ax2-2(a+1)x+4=a-2a-2+4=2-a,則D(1,2-a),
∴PD=2-a-2=-a.
∵DC∥OB,∴∠DPB=∠OBA,
∴當=時,△PDB∽△BOA,即=,
解得a=-2,
6、
此時拋物線的表達式為y=-2x2+2x+4;
當=時,△PDB∽△BAO,即=,
解得a=-,
此時拋物線的表達式為y=-x2+3x+4.
綜上所述,滿足條件的拋物線的表達式為y=-2x2+2x+4或y=-x2+3x+4.
2.解:(1)y=-x2+x+4.
提示:∵二次函數(shù)y=ax2+x+c的圖象與y軸交于點A(0,4),與x軸交于點B,C,點C坐標為(8,0),
∴解得
∴拋物線的表達式為y=-x2+x+4.
(2)△ABC是直角三角形.理由如下:
令y=0,則-x2+x+4=0,
解得x1=8,x2=-2,
∴點B的坐標為(-2,0).
在Rt△ABO中,AB
7、2=BO2+AO2=22+42=20,
在Rt△AOC中,AC2=AO2+CO2=42+82=80.
又∵BC=OB+OC=2+8=10,
∴在△ABC中,AB2+AC2=20+80=102=BC2,
∴△ABC是直角三角形.
(3)∵A(0,4),C(8,0),∴AC==4.
①以A為圓心,以AC長為半徑作圓,交x軸于點N,此時N的坐標為(-8,0);
②以C為圓心,以AC長為半徑作圓,交x軸于點N,此時N的坐標為(8-4,0)或(8+4,0);
③作AC的垂直平分線,交x軸于點N,此時N的坐標為(3,0).
綜上所述,若點N在x軸上運動,當以點A,N,C為頂點的三角形是等
8、腰三角形時,點N的坐標分別為(-8,0),(8-4,0),(8+4,0),(3,0).
(4)設(shè)點N的坐標為(n,0),則BN=n+2.
如圖,過點M作MD⊥x軸于點D,
∴MD∥OA,∴△BMD∽△BAO,
∴=.
∵MN∥AC,∴=,∴=.
∵OA=4,BC=10,BN=n+2,∴MD=(n+2).
∵S△AMN=S△ABN-S△BMN=BN·OA-BN·MD
=(n+2)×4-×(n+2)2
=-(n-3)2+5,
當n=3時,S△AMN最大,
∴當△AMN面積最大時,N點坐標為(3,0).
3.解:(1)∵點A的坐標為(-1,0),∴OA=1.
∵OC=3
9、OA,∴點C的坐標為(0,3).
將A,C點坐標代入y=ax2-2ax+c得
解得
∴拋物線C1的表達式為y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,
∴點G的坐標為(1,4).
(2)設(shè)拋物線C2的表達式為y=-x2+2x+3-k,
即y=-(x-1)2+4-k.
如圖,過點G′作G′D⊥x軸于點D,設(shè)B′D=m.
∵△A′B′G′為等邊三角形,
∴G′D=B′D=m,
則點B′的坐標為(m+1,0),點G′的坐標為(1,m).
將點B′,G′的坐標代入y=-(x-1)2+4-k得
解得(舍)或
∴k=1.
(3)存在.
M1(,0),N1(,-1);M2(,0),N2(1,-1);M3(4,0),N3(10,-1);M4(4,0),N4(-2,-1).