25、
[技法演示] 利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求出首項(xiàng)a1與公比q，再將a1a2…an的最值問題利用指數(shù)冪的運(yùn)算法則轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問題．
設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則由a1＋a3＝10，a2＋a4＝q(a1＋a3)＝5，知q＝.又a1＋a1q2＝10，∴a1＝8.
故a1a2…an＝aq1＋2＋…＋(n－1)＝23n·
＝23n－＋＝2－＋n.
記t＝－＋＝－(n2－7n)＝－2＋，
結(jié)合n∈N*可知n＝3或4時(shí)，t有最大值6.
又y＝2t為增函數(shù)，從而a1a2…an的最大值為26＝64.
[答案] 64
[應(yīng)用體驗(yàn)]
6．(xx·天津高考)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且
26、在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞增．若實(shí)數(shù)a滿足f(2|a－1|)＞f(－)，則a的取值范圍是________．
解析：∵f(x)是偶函數(shù)，且在(－∞，0)上單調(diào)遞增，
∴f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，f(－)＝f()，
∴f(2|a－1|)＞f()，∴2|a－1|＜＝2，
∴|a－1|＜，即－＜a－1＜，即＜a＜.
答案：
7．(xx·全國卷Ⅰ)若x，y滿足約束條件則的最大值為________．
解析：畫出可行域如圖陰影部分所示，∵表示過點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)(0,0)的直線的斜率，
∴點(diǎn)(x，y)在點(diǎn)A處時(shí)最大．
由得
∴A(1,3)．
∴的最大值為3.
答案：3
27、五、構(gòu)造法
根據(jù)題設(shè)條件與結(jié)論的特殊性，構(gòu)造出一些新的數(shù)學(xué)形式，并借助它來認(rèn)識和解決問題．
[典例] (xx·浙江高考)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，則a1＝________，S5＝________.
[技法演示] 先構(gòu)造等比數(shù)列，再進(jìn)一步利用通項(xiàng)公式求解．
∵an＋1＝2Sn＋1，∴Sn＋1－Sn＝2Sn＋1，
∴Sn＋1＝3Sn＋1，∴Sn＋1＋＝3，
∴數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，
∴＝3.
又S2＝4，∴S1＝1，∴a1＝1，
∴S5＋＝×34＝×34＝，
∴S5＝121.
[答案] 1 121
[應(yīng)用體驗(yàn)]
8．(
28、xx·浙江高考)已知向量a，b，|a|＝1，|b|＝2.若對任意單位向量e，均有|a·e|＋|b·e|≤，則a·b的最大值是________．
解析：由于e是任意單位向量，可設(shè)e＝，
則|a·e|＋|b·e|＝＋
≥
＝＝|a＋b|.
∵|a·e|＋|b·e|≤，∴|a＋b|≤，
∴(a＋b)2≤6，∴|a|2＋|b|2＋2a·b≤6.
∵|a|＝1，|b|＝2，∴1＋4＋2a·b≤6，
∴a·b≤，∴a·b的最大值為.
答案：
六、分析法
根據(jù)題設(shè)條件的特征進(jìn)行觀察、分析，從而得出正確的結(jié)論．
[典例] (xx·全國卷Ⅱ)有三張卡片，分別寫有1和2,1和3,2和3
29、.甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”，乙看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”，丙說：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”，則甲的卡片上的數(shù)字是________．
[技法演示] 先確定丙的卡片上的數(shù)字，再確定乙的卡片上的數(shù)字，進(jìn)而確定甲的卡片上的數(shù)字．
因?yàn)榧着c乙的卡片上相同的數(shù)字不是2，所以丙的卡片上必有數(shù)字2.又丙的卡片上的數(shù)字之和不是5，所以丙的卡片上的數(shù)字是1和2.因?yàn)橐遗c丙的卡片上相同的數(shù)字不是1，所以乙的卡片上的數(shù)字是2和3，所以甲的卡片上的數(shù)字是1和3.
[答案] 1和3
[應(yīng)用體驗(yàn)]
9．(xx·全國卷Ⅰ)甲、
30、乙、丙三位同學(xué)被問到是否去過A，B，C三個(gè)城市時(shí)，
甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過B城市；
乙說：我沒去過C城市；
丙說：我們?nèi)巳ミ^同一個(gè)城市．
由此可判斷乙去過的城市為________．
解析：由甲、丙的回答易知甲去過A城市和C城市，乙去過A城市或C城市，結(jié)合乙的回答可得乙去過A城市．
答案：A
“12＋4”小題提速練(一)
(限時(shí)：40分鐘 滿分：80分)
一、選擇題
1．集合A＝{1,3,5,7}，B＝{x|x2－4x≤0}，則A∩B＝( )
A．(1,3) B．{1,3}
C．(5,7) D．{5,7}
解析：選B 因?yàn)榧螦＝{1,3
31、,5,7}，B＝{x|x2－4x≤0}＝{x|0≤x≤4}，所以A∩B＝{1,3}．
2．已知z＝(i為虛數(shù)單位)，則z的共軛復(fù)數(shù)的虛部為( )
A．－i B．i
C．－1 D．1
解析：選D ∵z＝＝＝＝－i，∴z的共軛復(fù)數(shù)＝i，其虛部為1.
3．已知函數(shù)f(x)＝若f(0)＝2，則a＋f(－2)＝( )
A．－2 B．0
C．2 D．4
解析：選C ∵函數(shù)f(x)＝
由f(0)＝2，可得log2(0＋a)＝2，∴a＝4.
∴a＋f(－2)＝4－＝2.
4．如圖，圓C內(nèi)切于扇形AOB，∠AOB＝，若向扇形AOB內(nèi)隨機(jī)投擲600個(gè)點(diǎn)，則落入圓內(nèi)的點(diǎn)的個(gè)
32、數(shù)估計(jì)值為( )
A．100 B．200
C．400 D．450
解析：選C 如圖所示，作CD⊥OA于點(diǎn)D，連接OC并延長交扇形于點(diǎn)E，設(shè)扇形半徑為R，圓C半徑為r，∴R＝r＋2r＝3r，∴落入圓內(nèi)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)估計(jì)值為600·＝400.
5．雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線與圓(x－)2＋(y－1)2＝1相切，則此雙曲線的離心率為( )
A．2 B．
C． D．
解析：選A 由題可知雙曲線的漸近線方程為bx±ay＝0，與圓相切，∴圓心(，1)到漸近線的距離為＝1或＝1，又a>0，b＞0，解得a＝b，∴c2＝a2＋b2＝4a2，即c＝2a，∴e＝＝2.
33、
6．某程序框圖如圖所示，該程序運(yùn)行后輸出S的值是( )
A．－3 B．－
C． D．2
解析：選A 模擬程序框圖的運(yùn)算結(jié)果如下：
開始S＝2，i＝1.
第一次循環(huán)，S＝－3，i＝2；第二次循環(huán)，S＝－，i＝3；第三次循環(huán)，S＝，i＝4；第四次循環(huán)，S＝2，i＝5；
第五次循環(huán)，S＝－3，i＝6；……，可知S的取值呈周期性出現(xiàn)，且周期為4，∵跳出循環(huán)的i值2 018＝504×4＋2，∴輸出的S＝－3.
7．在△ABC中，|＋|＝|－|，||＝||＝3，則·的值為( )
A．3 B．－3
C．－ D．
解析：選D 由|＋|＝|－|，兩邊平方可得||2＋|
34、|2＋2·＝3||2＋3||2－6·，又||＝||＝3，∴·＝，
∴·＝(＋)·＝2＋·＝2－·＝9－＝.
8．設(shè){an}是公差不為0的等差數(shù)列，滿足a＋a＝a＋a，則{an}的前10項(xiàng)和S10＝( )
A．－10 B．－5
C．0 D．5
解析：選C 由a＋a＝a＋a，可得(a－a)＋(a－a)＝0，即2d(a6＋a4)＋2d(a7＋a5)＝0，∵d≠0，
∴a6＋a4＋a7＋a5＝0，∵a5＋a6＝a4＋a7，∴a5＋a6＝0，
∴S10＝＝5(a5＋a6)＝0.
9．函數(shù)f(x)＝cos x的圖象的大致形狀是( )
解析：選B ∵f(x)＝cos x，
35、
∴f(－x)＝cos(－x)＝cos x＝－cos x＝－f(x)，故函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，可排除A，C；
又由當(dāng)x∈時(shí)，f(x)<0，函數(shù)圖象位于第四象限，可排除D，故選B.
10．已知過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在第一象限)，若＝3，則直線AB的斜率為( )
A． B． C． D．
解析：選D 作出拋物線的準(zhǔn)線l：x＝－1，
設(shè)A，B在l上的投影分別是C，D，
連接AC，BD，過B作BE⊥AC于E，如圖所示．
∵＝3，∴設(shè)|AF|＝3m，
|BF|＝m，則|AB|＝4m，
由點(diǎn)A，B分別在拋物線上，結(jié)
36、合拋物線的定義，得|AC|＝|AF|＝3m，|BD|＝|BF|＝m，則|AE|＝2m.
因此在Rt△ABE中，cos∠BAE＝＝＝，
得∠BAE＝60°.
所以直線AB的傾斜角∠AFx＝60°，故直線AB的斜率為k＝tan 60°＝.
11．某幾何體的三視圖如圖，若該幾何體的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球面的表面積為( )
A．4π B．
C． D．20π
解析：選B 由三視圖知，該幾何體是一個(gè)三棱柱，三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，側(cè)棱長是2，則三棱柱的兩個(gè)底面的中心連線的中點(diǎn)到三棱柱的頂點(diǎn)的距離就是其外接球的半徑r，所以r＝ ＝，則球面的表面積為4πr2＝4π
37、×＝.
12．設(shè)正實(shí)數(shù)x，y，z滿足x2－3xy＋4y2－z＝0.則當(dāng) 取得最大值時(shí)，＋－ 的最大值為( )
A．0 B．1
C． D．3
解析：選B ∵x2－3xy＋4y2－z＝0，∴z＝x2－3xy＋4y2，又x，y，z均為正實(shí)數(shù)，∴＝＝≤＝1(當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y時(shí)等號成立)，∴max＝1，此時(shí)x＝2y，
則z＝x2－3xy＋4y2＝(2y)2－3×2y×y＋4y2＝2y2，
∴＋－＝＋－＝－2＋1≤1，
當(dāng)且僅當(dāng)y＝1時(shí)等號成立，滿足題意．
∴＋－的最大值為1.
二、填空題
13．已知等比數(shù)列{an}中，a1＋a3＝，a2＋a4＝，則a6＝________.
38、
解析：∵a1＋a3＝，a2＋a4＝，
∴解得
∴a6＝2×5＝.
答案：
14．已知sin＝，則cos＝________.
解析：cos＝cos＝cos ＝1－2sin2＝1－2×2＝.
答案：
15．設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件若目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值為10，則a2＋b2的最小值為________．
解析：由z＝ax＋by(a>0，b>0)得y＝－x＋，∵a＞0，b＞0，∴直線y＝－x＋的斜率為負(fù)．作出不等式組表示的可行域如圖，
平移直線y＝－x＋，由圖象可知當(dāng)y＝－x＋經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，直線在y軸上的截距最大，此時(shí)z也最大．
由解得即A(4,6)
39、．
此時(shí)z＝4a＋6b＝10，即2a＋3b－5＝0，
即點(diǎn)(a，b)在直線2x＋3y－5＝0上，因?yàn)閍2＋b2的幾何意義為直線上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，又原點(diǎn)到直線的距離d＝＝，故a2＋b2的最小值為d2＝.
答案：
16．已知函數(shù)f(x)＝|xex|－m(m∈R)有三個(gè)零點(diǎn)，則m的取值范圍為________．
解析：函數(shù)f(x)＝|xex|－m(m∈R)有三個(gè)零點(diǎn)，即y＝|xex|與y＝m的圖象有三個(gè)交點(diǎn)．令g(x)＝xex，則g′(x)＝(1＋x)ex，
當(dāng)x＜－1時(shí)，g′(x)＜0，當(dāng)x＞－1時(shí)，g′(x)＞0，
故g(x)＝xex在(－∞，－1)上為減函數(shù)，在(－1，＋∞)
40、上是增函數(shù)，g(－1)＝－，又由x＜0時(shí)，g(x)＜0，當(dāng)x＞0時(shí)，g(x)＞0，故函數(shù)y＝|xex|的圖象如圖所示：
由圖象可知y＝m與函數(shù)y＝|xex|的圖象有三個(gè)交點(diǎn)時(shí)，m∈，故m的取值范圍是.
答案：
“12＋4”小題提速練(二)
(限時(shí)：40分鐘 滿分：80分)
一、選擇題
1．(xx·西安模擬)已知集合A＝{x|log2x≥1}，B＝{x|x2－x－6＜0}，則A∩B＝( )
A．? B．{x|2＜x＜3}
C．{x|2≤x＜3} D．{x|－1＜x≤2}
解析：選C 化簡集合得A＝{x|x≥2}，B＝{x|－2＜x＜3}，則A∩B
41、＝{x|2≤x＜3}．
2．(xx·福州模擬)已知復(fù)數(shù)z＝2＋i，則＝( )
A．－i B．－＋i
C．－i D．－＋i
解析：選A 因?yàn)閦＝2＋i，所以＝＝＝－i.
3．設(shè)a＝log32，b＝ln 2，c＝5－，則a，b，c的大小關(guān)系為( )
A．a(chǎn)＜b＜c B．b＜c＜a
C．c＜a＜b D．c＜b＜a
解析：選C 因?yàn)閍＝log32＝，b＝ln 2＝，而log23＞log2e＞1，所以a＜b，又c＝5－＝，＞2＝log24＞log23，所以c＜a，故c＜a＜b.
4.(xx屆高三·長沙一中月考)如圖，在所給的四個(gè)選項(xiàng)中，選擇最合適的一個(gè)填入問號處，使
42、之呈現(xiàn)一定的規(guī)律性，應(yīng)為( )
A. B.
C. D.
解析：選A 每一行三個(gè)圖形的變化規(guī)律：第一個(gè)圖形逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到第二個(gè)圖形，第二個(gè)圖形上下翻折得到第三個(gè)圖形，所以選A.
5．(xx·合肥模擬)設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z＝x＋2y的最大值為( )
A．5 B．6
C． D．7
解析：選C 作出不等式組表示的可區(qū)域如圖中陰影部分所示，由圖易知，當(dāng)直線z＝x＋2y經(jīng)過直線x－y＝－1與x＋y＝4的交點(diǎn)，即A時(shí)，z取得最大值，zmax＝x＋2y＝.
6．(xx屆高三·寶雞調(diào)研)閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，若輸入x的值為1，則輸出S的
43、值為( )
A．64 B．73
C．512 D．585
解析：選B 依題意，執(zhí)行題中的程序框圖，當(dāng)輸入x的值為1時(shí)，進(jìn)行第一次循環(huán)，S＝1＜50，x＝2；進(jìn)行第二次循環(huán)，S＝1＋23＝9＜50，x＝4；進(jìn)行第三次循環(huán)，S＝9＋43＝73＞50，此時(shí)結(jié)束循環(huán)，輸出S的值為73.
7．(xx·衡陽三模)在等比數(shù)列{an}中，a1＝2，前n項(xiàng)和為Sn，若數(shù)列{an＋1}也是等比數(shù)列，則Sn＝( )
A．2n＋1－2 B．3n
C．2n D．3n－1
解析：選C 因?yàn)閿?shù)列{an}為等比數(shù)列，a1＝2，設(shè)其公比為q，則an＝2qn－1，因?yàn)閿?shù)列{an＋1}也是等比數(shù)
44、列，所以(an＋1＋1)2＝(an＋1)(an＋2＋1)?a＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2?an＋an＋2＝2an＋1?an(1＋q2－2q)＝0?q＝1，即an＝2，所以Sn＝2n.
8．點(diǎn)A，B，C，D在同一個(gè)球的球面上，AB＝BC＝AC＝，若四面體ABCD體積的最大值為，則這個(gè)球的表面積為( )
A．π B．8π
C．π D．π
解析：選C 如圖所示，當(dāng)點(diǎn)D位于球的正頂部時(shí)四面體的體積最大，設(shè)球的半徑為R，則四面體的高為h＝R＋，四面體的體積為V＝××()2×sin 60°×(R＋)＝×(R＋)＝，解得R＝，
所以球的表面積S＝4πR2＝4π2＝，故選C
45、．
9．(xx屆高三·湖北七校聯(lián)考)已知圓C：(x－1)2＋y2＝r2(r＞0)．設(shè)條件p：0＜r＜3，條件q：圓C上至多有2個(gè)點(diǎn)到直線x－y＋3＝0的距離為1，則p是q的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
解析：選C 圓C：(x－1)2＋y2＝r2的圓心(1,0)到直線x－y＋3＝0的距離d＝＝2.
當(dāng)0＜r＜1時(shí)，直線在圓外，圓上沒有點(diǎn)到直線的距離為1；
當(dāng)r＝1時(shí)，直線在圓外，圓上只有1個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1；
當(dāng)1＜r＜2時(shí)，直線在圓外，此時(shí)圓上有2個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1；
當(dāng)r＝2時(shí)，直線與圓相切，此時(shí)圓上有2
46、個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1；
當(dāng)2＜r＜3時(shí)，直線與圓相交，此時(shí)圓上有2個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1.
綜上，當(dāng)0＜r＜3時(shí)，圓C上至多有2個(gè)點(diǎn)到直線x－y＋3＝0的距離為1，由圓C上至多有2個(gè)點(diǎn)到直線x－y＋3＝0的距離為1可得0＜r＜3，故p是q的充要條件，故選C．
10．(xx·合肥模擬)已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為e.P是橢圓上一點(diǎn)，滿足PF2⊥F1F2，點(diǎn)Q在線段PF1上，且＝2 .若·＝0，則e2＝( )
A．－1 B．2－
C．2－ D．－2
解析：選C 由題意可知，在Rt△PF1F2中，F(xiàn)2Q⊥PF1，所以|F1Q|·|F1P|＝
47、|F1F2|2，又|F1Q|＝|F1P|，所以有|F1P|2＝|F1F2|2＝4c2，即|F1P|＝c，進(jìn)而得出|PF2|＝C．又由橢圓定義可知，|PF1|＋|PF2|＝c＋c＝2a，解得e＝＝＝，所以e2＝2－.
11．(xx·廣州模擬)已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)是奇函數(shù)，直線y＝與函數(shù)f(x)的圖象的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差的絕對值為，則( )
A．f(x)在上單調(diào)遞減
B．f(x)在上單調(diào)遞減
C．f(x)在上單調(diào)遞增
D．f(x)在上單調(diào)遞增
解析：選D f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)＝sinωx＋φ＋
48、，因?yàn)?＜φ＜π且f(x)為奇函數(shù)，所以φ＝，即f(x)＝－sin ωx，又直線y＝與函數(shù)f(x)的圖象的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差的絕對值為，所以函數(shù)f(x)的最小正周期為，由＝，可得ω＝4，故f(x)＝－sin 4x，由2kπ＋≤4x≤2kπ＋，k∈Z，即＋≤x≤＋，k∈Z，令k＝0，得≤x≤，此時(shí)f(x)在上單調(diào)遞增，故選D.
12．(xx·貴陽模擬)已知函數(shù)f(x)＝ln(x2－4x－a)，若對任意的m∈R，均存在x0使得f(x0)＝m，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A．(－∞，－4) B．(－4，＋∞)
C．(－∞，－4] D．[－4，＋∞)
解析：選D 依題意得，函數(shù)
49、f(x)的值域?yàn)镽，令函數(shù)g(x)＝x2－4x－a，其值域A包含(0，＋∞)，因此對方程x2－4x－a＝0，有Δ＝16＋4a≥0，解得a≥－4，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是[－4，＋∞)．
二、填空題
13．(xx·蘭州模擬)已知菱形ABCD的邊長為a，∠ABC＝，則·＝________.
解析：由菱形的性質(zhì)知||＝a，||＝a，且〈，〉＝，∴·＝a×a×cos＝a2.
答案：a2
14．已知函數(shù)f(x)＝cos，集合M＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，現(xiàn)從M中任取兩個(gè)不同的元素m，n，則f(m)·f(n)＝0的概率為________．
解析：已知函數(shù)f(x)＝cos，集合M＝{1
50、,2,3,4,5,6,7,8,9}，現(xiàn)從M中任取兩個(gè)不同的元素m，n，則m＝3,9時(shí)，f(m)＝cos＝0，滿足f(m)·f(n)＝0的個(gè)數(shù)為m＝3時(shí)有8個(gè)，n＝9時(shí)有8個(gè)，n＝3時(shí)有8個(gè)，n＝9時(shí)有8個(gè)，重復(fù)2個(gè)，共有30個(gè)．從A中任取兩個(gè)不同的元素m，n，則f(m)·f(n)的值有72個(gè)，所以從M中任取兩個(gè)不同的元素m，n，使f(m)·f(n)＝0的概率為P＝＝.
答案：
15．(xx·洛陽模擬)為了檢驗(yàn)?zāi)程籽郾＝〔兕A(yù)防學(xué)生近視的作用，把500名做該套眼保健操的學(xué)生與另外500名未做該套眼保健操的學(xué)生的視力情況作記錄并比較，提出假設(shè)H0：“這套眼保健操不能起到預(yù)防近視的作用”，利用2×
51、2列聯(lián)表計(jì)算所得的K2≈3.918.經(jīng)查對臨界值表知P(K2≥3.841)≈0.05.對此，四名同學(xué)得出了以下結(jié)論：
①有95%的把握認(rèn)為“這套眼保健操能起到預(yù)防近視的作用”；
②若某人未做該套眼保健操，那么他有95%的可能得近視；
③這套眼保健操預(yù)防近視的有效率為95%；
④這套眼保健操預(yù)防近視的有效率為5%.
其中所有正確結(jié)論的序號是________．
解析：根據(jù)查對臨界值表知P(K2≥3.841)≈0.05，故有95%的把握認(rèn)為“這套眼保健操能起到預(yù)防近視的作用”，即①正確；95%僅指“這套眼保健操能起到預(yù)防近視的作用”的可信程度，所以②③④錯(cuò)誤．
答案：①
16．(xx
52、屆高三·云南調(diào)研)已知三棱錐P-ABC的所有頂點(diǎn)都在表面積為的球面上，底面ABC是邊長為的等邊三角形，則三棱錐P-ABC體積的最大值為________．
解析：依題意，設(shè)球的半徑為R，則有4πR2＝，R＝，△ABC的外接圓半徑為r＝＝1，球心到截
面ABC的距離h＝＝＝，因此點(diǎn)P到截面ABC的距離的最大值等于h＋R＝＋＝4，因此三棱錐P-ABC體積的最大值為××4＝.
答案：
“12＋4”小題提速練(三)
(限時(shí)：40分鐘 滿分：80分)
一、選擇題
1．已知集合M＝{x|16－x2≥0}，集合N＝{y|y＝|x|＋1}，則M∩N＝( )
A．{x|－2≤x≤4} B．{
53、x|x≥1}
C．{x|1≤x≤4} D．{x|x≥－2}
解析：選C 由M中16－x2≥0，即(x－4)(x＋4)≤0，解得－4≤x≤4，所以M＝{x|－4≤x≤4}，集合N＝{y|y＝|x|＋1}＝[1，＋∞)，則M∩N＝{x|1≤x≤4}．
2．若復(fù)數(shù)z滿足z(4－i)＝5＋3i(i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為( )
A．1－i B．－1＋i
C．1＋i D．－1－i
解析：選A 由z(4－i)＝5＋3i，
得z＝＝＝＝1＋i，
則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為 1－i.
3．由變量x與y的一組數(shù)據(jù)：
x
1
5
7
13
19
y
y1
y2
54、
y3
y4
y5
得到的線性回歸方程為＝2x＋45，則＝( )
A．135 B．90
C．67 D．63
解析：選D 根據(jù)表中數(shù)據(jù)得＝×(1＋5＋7＋13＋19)＝9，線性回歸方程＝2x＋45過點(diǎn)(，)，則＝2×9＋45＝63.
4．如圖給出一個(gè)算法的程序框圖，該程序框圖的功能是( )
A．輸出a，b，c三個(gè)數(shù)中的最大數(shù)
B．輸出a，b，c三個(gè)數(shù)中的最小數(shù)
C．將a，b，c按從小到大排列
D．將a，b，c按從大到小排列
解析：選B 由程序框圖知：第一個(gè)判斷框是比較a，b大小，a的值是a，b之間的較小數(shù)；第二個(gè)判斷框是比較a，c大小，輸出的a是a，
55、c之間的較小數(shù)．∴該程序框圖的功能是輸出a，b，c三個(gè)數(shù)中的最小數(shù)．故選B.
5．函數(shù)y＝sin的圖象經(jīng)過下列平移，可以得到函數(shù)y＝cos圖象的是( )
A．向右平移個(gè)單位 B．向左平移個(gè)單位
C．向右平移個(gè)單位 D．向左平移個(gè)單位
解析：選B 把函數(shù)y＝sin＝cos－＝cos的圖象向左平移個(gè)單位，可得y＝cos＝cos的圖象．
6．已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)且以2為周期，則“f(x)為[0,1]上的增函數(shù)”是“f(x)為[3,4]上的減函數(shù)”的( )
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
解析：選C ∵f(x)是定
56、義在R上的偶函數(shù)，
∴若f(x)為[0,1]上的增函數(shù)，則f(x)在[－1,0]上是減函數(shù)，
又∵f(x)是定義在R上的以2為周期的函數(shù)，且[3,4]與[－1,0]相差兩個(gè)周期，
∴兩區(qū)間上的單調(diào)性一致，所以可以得出f(x)為[3,4]上的減函數(shù)，故充分性成立．
若f(x)為[3,4]上的減函數(shù)，同樣由函數(shù)周期性可得出f(x)在[－1,0]上是減函數(shù)，
再由函數(shù)是偶函數(shù)可得出f(x)為[0,1]上的增函數(shù)，故必要性成立．
綜上，“f(x)為[0,1]上的增函數(shù)”是“f(x)為[3,4]上的減函數(shù)”的充要條件．
7．某三棱錐的三視圖如圖所示，其三個(gè)視圖都是直角三角形，則該三棱錐的體
57、積為( )
A. B.
C．1 D．6
解析：選A 由已知中的三視圖可得，該三棱錐的底面面積S＝×2×1＝1，高h(yuǎn)＝1，故體積V＝Sh＝.
8．已知向量a與b的夾角為60°，|a|＝4，|b|＝1，且b⊥(a－xb)，則實(shí)數(shù)x為( )
A．4 B．2
C．1 D.
解析：選B ∵b⊥(a－xb)，∴b·(a－xb)＝0，即a·b－xb2＝4×1×cos 60°－x＝0，解得x＝2.
9．已知點(diǎn)P在直線x＝－1上移動，過點(diǎn)P作圓(x－2)2＋(y－2)2＝1的切線，相切于點(diǎn)Q，則切線長|PQ|的最小值為( )
A．2 B．2
C．3 D.
解析
58、：選B 圓心(2,2)到直線x＝－1的距離為d＝3＞r＝1，故直線和圓相離．故切線長|PQ|的最小值為＝2.
10．(xx·太原三模)已知等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為不等于1的正數(shù)，數(shù)列{bn}滿足bn＝lg an，b3＝18，b6＝12，則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和的最大值為( )
A．126 B．130
C．132 D．134
解析：選C 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q＞0)，由題意可知，lg a3＝b3，lg a6＝b6.又b3＝18，b6＝12，則a1q2＝1018，a1q5＝1012，∴q3＝10－6，即q＝10－2，∴a1＝1022.又{an}為正項(xiàng)等比數(shù)列，∴{b
59、n}為等差數(shù)列，且公差d＝－2，b1＝22，故bn＝22＋(n－1)×(－2)＝－2n＋24.∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn＝22n＋×(－2)＝－n2＋23n＝－2＋.又n∈N*，故n＝11或12時(shí)，(Sn)max＝132.
11．已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的半焦距為c(c＞0)，左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，拋物線y2＝(a＋c)x與橢圓交于B，C兩點(diǎn)．若四邊形ABFC是菱形，則橢圓的離心率是( )
A. B.
C. D.
解析：選D 由題意得，橢圓＋＝1(a＞b＞0，c為半焦距)的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，則A(a,0)，F(xiàn)(－c,0)．∵拋物線y2＝(a＋c)x與橢圓交于B，
60、C兩點(diǎn)，∴B，C兩點(diǎn)關(guān)于x軸對稱，可設(shè)B(m，n)，C(m，－n)．∵四邊形ABFC是菱形，∴BC⊥AF,2m＝a－c，則m＝(a－c)．將B(m，n)代入拋物線方程得，n2＝(a＋c)m＝(a＋c)(a－c)＝(a2－c2)，∴n2＝b2.將代入橢圓方程，得·＋＝1，化簡得＝.∵e＝，∴4e2－8e＋3＝0，解得e＝或.又∵0
61、＝f(x)的圖象和直線y＝kx－有4個(gè)交點(diǎn)．作出函數(shù)y＝f(x)的圖象及直線y＝kx－，如圖，
故點(diǎn)(1,0)在直線y＝kx－的下方，∴k×1－＞0，解得k＞.
又當(dāng)直線y＝kx－和y＝ln x相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，則 k＝＝，∴m＝，
此時(shí)，k＝＝，f(x)的圖象和直線y＝kx－有3個(gè)交點(diǎn)，不滿足條件，故k的取值范圍是.
二、填空題
13．在上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則事件“滿足不等式|sin x|≤”發(fā)生的概率為________．
解析：在上，由不等式|sin x|≤，解得－≤x≤或≤x≤π，故滿足不等式|sin x|≤發(fā)生的概率P＝＝.
答案：
14．實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件則
62、z＝的取值范圍為________．
解析：由約束條件作出可行域如圖，
聯(lián)立解得A(3,1)，
聯(lián)立解得B(1,2)．
z＝的幾何意義為可行域內(nèi)的動點(diǎn)與定點(diǎn)P(－1,0)連線的斜率．∵kPA＝，kPB＝1，∴z＝的取值范圍為.
答案：
15．德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲發(fā)現(xiàn)了如圖所示的單位分?jǐn)?shù)三角形，單位分?jǐn)?shù)是分子為1，分母為正整數(shù)的分?jǐn)?shù)．根據(jù)前6行的規(guī)律，寫出第7行的第3個(gè)數(shù)是________．
解析：第7行第一個(gè)數(shù)和最后一個(gè)數(shù)都是，第二個(gè)數(shù)加要等于，所以第二個(gè)數(shù)是，同理第三個(gè)數(shù)加等于，則第三個(gè)數(shù)是.
答案：
16．以拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)為圓心，以雙曲線－＝1(a>0，b>0
63、)的虛半軸長b為半徑的圓與該雙曲線的漸近線相切，則當(dāng)＋取得最小值時(shí)，雙曲線的離心率為________．
解析：拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)為(2,0)，雙曲線的一條漸近線方程為bx＋ay＝0，
∵以拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)為圓心，以雙曲線－＝1(a>0，b>0)虛半軸長b為半徑的圓與該雙曲線的漸近線相切，
∴＝b，∴a2＋b2＝4，
∴＋＝(a2＋b2)＝≥(5＋4)＝，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號成立，即此時(shí)＋取得最小值，∴c＝b，∴e＝＝＝.
答案：
“12＋4”小題提速練(四)
(限時(shí)：40分鐘 滿分：80分)
一、選擇題
1．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在( )
A．第一象限
64、 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：選D 因?yàn)椋剑剑剑璱，所以其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，該點(diǎn)在第四象限．
2．“干支紀(jì)年法”是中國歷法上自古以來就一直使用的紀(jì)年方法．甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十個(gè)符號叫天干，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二個(gè)符號叫地支．把干支順序相配正好六十為一周，周而復(fù)始，循環(huán)記錄，這就是俗稱的“干支表”.xx年是“干支紀(jì)年法”中的丙申年，那么xx年是“干支紀(jì)年法”中的( )
A．丁酉年 B．戊未年
C．乙未年 D．丁未年
解析：選A 由題意可知xx年是“干支紀(jì)年法”中的丁酉年．
3．點(diǎn)(，4)
65、在直線l：ax－y＋1＝0上，則直線l的傾斜角為( )
A．30° B．45°
C．60° D．120°
解析：選C 把點(diǎn)(，4)代入直線l的方程ax－y＋1＝0，得a＝，所以直線l的斜率為，所以傾斜角為60°.
4．若某程序框圖如圖所示，則該程序運(yùn)行后輸出的a等于( )
A．255 B．127
C．63 D．31
解析：選A 設(shè)an為i＝n時(shí)a的值，n∈N*.由題意得an＋1＝2an＋1?an＋1＋1＝2(an＋1)，又a1＝1，∴an＝2n－1，可得a8＝255.易知輸出的a的值等于a8.
5．已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為
66、F1，F(xiàn)2，離心率為2，過F2的直線l交雙曲線C的右支于A，B兩點(diǎn)，若△AF1B的周長為16，|AB|＝6，則C的方程為( )
A．x2－＝1 B.－y2＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：選A ∵e＝＝2，∴c＝2a.
設(shè)|F2A|＝m，|F2B|＝n，
由雙曲線的定義及題意得|F1A|＝2a＋m，|F1B|＝2a＋n，|AB|＝m＋n＝6.
∵△AF1B的周長為16，
∴m＋2a＋n＋2a＋m＋n＝16，
解得a＝1，∴c＝2，∴b＝＝，
∴雙曲線C的方程為x2－＝1.
6．在△ABC中，AB⊥AC，AC＝，點(diǎn)D滿足條件＝2 ，則·等于( )
A．1 B.
C．2 D．3
解析：選C 由題意知＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.
又AB⊥AC，AC＝，∴·＝2＝2.
7．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為( )
A．24＋6π B．12π
C．24＋12π D．16π
解析：選A 由三視圖可知，該幾何體是由一個(gè)棱長為2的正方體與6個(gè)半徑為1的半球構(gòu)成的組合體，該組合體的表面由6個(gè)半球的表面(除去半球底面圓)、正方
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