2022年高考總復(fù)習(xí)文數(shù)（人教版）講義：第09章 平面解析幾何 第7節(jié) 拋物線及其性質(zhì) Word版含答案

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1、2022年高考總復(fù)習(xí)文數(shù)（人教版）講義：第09章 平面解析幾何 第7節(jié) 拋物線及其性質(zhì) Word版含答案 考點(diǎn) 高考試題 考查內(nèi)容 核心素養(yǎng) 拋物線的方程 及幾何性質(zhì) xx·全國(guó)卷Ⅱ·T5·5分 拋物線與反比例函數(shù)結(jié)合求函數(shù)解析式 數(shù)學(xué)運(yùn)算 xx·全國(guó)卷Ⅰ·T5·5分 拋物線與橢圓結(jié)合求線段長(zhǎng)度 數(shù)學(xué)運(yùn)算 直線與拋物線 的位置關(guān)系 xx·全國(guó)卷Ⅰ·T20·12分 拋物線與直線的位置關(guān)系 數(shù)學(xué)運(yùn)算 xx·全國(guó)卷Ⅱ·T12·5分 在拋物線中求點(diǎn)到直線距離 數(shù)學(xué)運(yùn)算 xx·全國(guó)卷Ⅲ·T20·12分 以拋物線為載體證明直線平行，求軌跡方程 邏輯推理 數(shù)學(xué)

2、運(yùn)算 命題分析 拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)常以選擇題填空題形式出現(xiàn)，直線與拋物線的位置關(guān)系多以解答題形式考查. 標(biāo)準(zhǔn) 方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離 圖形 頂點(diǎn) O(0,0) 對(duì)稱軸 y＝0 x＝0 焦點(diǎn) F F F F 離心率 e＝1 準(zhǔn)線 方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范圍 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 開口 方向

3、向右 向左 向上 向下 焦半徑 (其中P(x0，y0)) |PF|＝x0＋ |PF|＝－x0＋ |PF|＝y(tǒng)0＋ |PF|＝－y0＋ (以右圖為依據(jù)) 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)． (1)y1y2＝－p2，x1x2＝. (2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ為AB的傾斜角)． (3)＋為定值. (4)以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切． (5)以AF或BF為直徑的圓與y軸相切. 1．判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡一定是拋物線．(　　) (2)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線

4、的距離是4.(　　) (3)若一拋物線過點(diǎn)P(－2,3)，其標(biāo)準(zhǔn)方程可寫為y2＝2px(p>0)．(　　) (4)拋物線既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形．(　　) (5)過拋物線的焦點(diǎn)與拋物線對(duì)稱軸垂直的直線被拋物線截得的線段叫作拋物線的通徑，那么拋物線x2＝－2ay(a>0)的通徑長(zhǎng)為2a.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√ 2．(教材習(xí)題改編)拋物線y＝－x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(　　) A．(0，－1)　　　 B．(0,1) C．(1,0)　　 D．(－1,0) 解析：選A　y＝－x2化為標(biāo)準(zhǔn)方程x2＝－4y,2p＝4，p＝2，對(duì)稱軸y軸開口向下，焦

5、點(diǎn)坐標(biāo)(0，－1)． 3．(教材習(xí)題改編)若拋物線y＝4x2上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是(　　) A．　　　 B．　　 C．　 D．0 解析：選B　M到準(zhǔn)線的距離等于M到焦點(diǎn)的距離，又準(zhǔn)線方程為y＝－，設(shè)M(x，y)，則y＋＝1，∴y＝. 4．(教材習(xí)題改編)拋物線x2＝2py(p＞0)上的點(diǎn)P(m,2)到焦點(diǎn)F的距離為3，則該拋物線的方程為________． 解析：∵P到焦點(diǎn)距離為3， ∴P到準(zhǔn)線距離為3. 又P點(diǎn)坐標(biāo)為(m,2)， ∴準(zhǔn)線為y＝－1，∴p＝2.∴方程為x2＝4y. 答案：x2＝4y 拋物線定義及應(yīng)用 [析考情] 高考中對(duì)拋物

6、線定義的考查有兩個(gè)層次，一是當(dāng)已知曲線是拋物線時(shí)，拋物線上的點(diǎn)M滿足定義，它到準(zhǔn)線的距離為d，則|MF|＝d，有關(guān)距離、最值、弦長(zhǎng)等是考查的重點(diǎn)；二是利用動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件符合拋物線的定義，從而得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡是拋物線． [提能力] 【典例1】 已知拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是準(zhǔn)線l上一點(diǎn)，Q是直線PF與C的一個(gè)交點(diǎn)，若＝4，則|QF|＝(　　) A．　　 B． C．3　　 D．2 解析：選C　因?yàn)椋?， 所以||＝4||，所以＝. 如圖，過Q作QQ′⊥l，垂足為Q′， 設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為A，則|AF|＝4， 所以＝＝，所以|QQ′|＝3， 根據(jù)拋物線定

7、義可知|QF|＝|QQ′|＝3. 【典例2】 已知F是拋物線y2＝x的焦點(diǎn)，A、B是該拋物線上的兩點(diǎn)，|AF|＋|BF|＝3，則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為(　　) A．　　 B．1 C．　　 D． 解析：選C　∵|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋＝3， ∴xA＋xB＝. ∴線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為＝. [悟技法] 　拋物線定義的應(yīng)用 (1)利用拋物線的定義解決此類問題，應(yīng)靈活地進(jìn)行拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線距離的等價(jià)轉(zhuǎn)化．即“看到準(zhǔn)線想到焦點(diǎn)，看到焦點(diǎn)想到準(zhǔn)線”． (2)注意靈活運(yùn)用拋物線上一點(diǎn)P(x，y)到焦點(diǎn)F的距離|PF|＝|x|＋或|PF|＝|y|＋.

8、[刷好題] 1．設(shè)經(jīng)過拋物線C的焦點(diǎn)的直線l與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)，那么拋物線C的準(zhǔn)線與以AB為直徑的圓的位置關(guān)系為(　　) A．相離　　 B．相切 C．相交但不經(jīng)過圓心　　 D．相交且經(jīng)過圓心 解析：選B　設(shè)圓心為M，焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)A，B，M作準(zhǔn)線l的垂線， 垂足分別為A1，B1，M1， 則|MM1|＝(|AA1|＋|BB1|)． 由拋物線定義可知|BF|＝|BB1|，|AF|＝|AA1|， 所以|AB|＝|BB1|＋|AA1|，|MM1|＝|AB|， 即圓心M到準(zhǔn)線的距離等于圓的半徑， 故以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切． 2．已知直線l1：4x－3y＋6＝0和直

9、線l2：x＝－1，則拋物線y2＝4x上一動(dòng)點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是(　　) A．　　 B．2 C．　　 D．3 解析：選B　由題可知l2：x＝－1是拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)F為(1,0)，則動(dòng)點(diǎn)P到l2的距離等于|PF|，則動(dòng)點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值即為焦點(diǎn)F到直線l1：4x－3y＋6＝0的距離，所以最小值是＝2. 拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì) [明技法] 1．求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法 (1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程常用待定系數(shù)法，因?yàn)槲粗獢?shù)只有p，所以只需一個(gè)條件確定p值即可． (2)因?yàn)閽佄锞€方程有四種標(biāo)準(zhǔn)形式，因此求拋物線方程時(shí)，

10、需先定位，再定量． 2．確定及應(yīng)用拋物線性質(zhì)的技巧 (1)利用拋物線方程確定及應(yīng)用其焦點(diǎn)、準(zhǔn)線等性質(zhì)時(shí)，關(guān)鍵是將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程． (2)要結(jié)合圖形分析，靈活運(yùn)用平面幾何的性質(zhì)以圖助解． [提能力] 【典例1】 (xx·陜西卷)已知拋物線y2＝2px(p＞0)的準(zhǔn)線經(jīng)過點(diǎn)(－1,1)，則該拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為(　　) A．(－1,0)　　 B．(1,0)　　 C．(0，－1)　　 D．(0,1) 解析：選B　拋物線y2＝2px(p＞0)的準(zhǔn)線為x＝－且過點(diǎn)(－1,1)，故－＝－1，解得p＝2.所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)． 【典例2】 (xx·徐州調(diào)研)若拋物線y2＝2

11、px上一點(diǎn)P(2，y0)到其準(zhǔn)線的距離為4，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　) A．y2＝4x　　 B．y2＝6x C．y2＝8x　　 D．y2＝10x 解析：選C　∵拋物線y2＝2px，∴準(zhǔn)線為x＝－.∵點(diǎn)P(2，y0)到其準(zhǔn)線的距離為4，∴＝4.∴p＝4.∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝8x. [刷好題] 1．(xx·全國(guó)卷Ⅰ)以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于D，E兩點(diǎn)．已知|AB|＝4，|DE|＝2，則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為(　　) A．2　　 B．4　　 C．6　　 D．8 解析：選B　不妨設(shè)拋物線C：y2＝2px(p>0)，則圓的方程可設(shè)為x2＋y2＝r2

12、(r>0)，如圖，又可設(shè)A(x0,2)， D，點(diǎn)A(x0,2)在拋物線y2＝2px上， ∴8＝2px0，① 點(diǎn)A(x0,2)在圓x2＋y2＝r2上，∴x＋8＝r2，② 點(diǎn)D在圓x2＋y2＝r2上， ∴5＋2＝r2，③ 聯(lián)立①②③，解得p＝4，即C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為 p＝4，故選B． 2．設(shè)拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A(0,2)，若線段FA的中點(diǎn)B在拋物線上，則B到該拋物線準(zhǔn)線的距離為________． 解析：拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為， 則線段FA的中點(diǎn)B的坐標(biāo)為， 代入拋物線方程得1＝2p×，解得p＝， 故點(diǎn)B的坐標(biāo)為， 故點(diǎn)B到該拋物線準(zhǔn)線的距離

13、為＋＝. 答案： 拋物線中的最值問題 [析考情] 在高考中對(duì)拋物線中最值問題的考查是一個(gè)熱考點(diǎn)，它是對(duì)拋物線定義、直線與拋物線關(guān)系及函數(shù)思想方法的綜合應(yīng)用． [提能力] 命題點(diǎn)1：定義轉(zhuǎn)換法 【典例1】 (xx·豫南九校聯(lián)考)已知點(diǎn)P是拋物線x2＝4y上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在x軸上的射影是點(diǎn)Q，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(8,7)，則|PA|＋|PQ|的最小值為(　　) A．7　　 B．8　　 C．9　　 D．10 解析：選C　拋物線的焦點(diǎn)為F(0,1)，準(zhǔn)線方程為y＝－1，根據(jù)拋物線的定義知，|PF|＝|PM|＝|PQ|＋1. 所以|PA|＋|PQ|＝|PA|＋|PM|－1＝|PA|

14、＋|PF|－1≥|AF|－1＝－1＝10－1＝9. [悟技法] 與拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線距離有關(guān)的最值問題，一般都是利用拋物線的定義，將到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為到焦點(diǎn)的距離，然后通過數(shù)形結(jié)合直接判斷出取得最值時(shí)所要滿足的條件，這樣就能避免煩瑣的代數(shù)運(yùn)算． 命題點(diǎn)2：平移直線法 【典例2】 拋物線y＝－x2上的點(diǎn)到直線4x＋3y－8＝0距離的最小值是__________. 解析：方法一　如圖，設(shè)與直線4x＋3y－8＝0平行且與拋物線y＝－x2相切的直線為4x＋3y＋b＝0， 切線方程與拋物線方程聯(lián)立得 消去y整理得3x2－4x－b＝0， 則Δ＝16＋12b＝0，解得b＝－， 所以切線

15、方程為4x＋3y－＝0， 拋物線y＝－x2上的點(diǎn)到直線4x＋3y－8＝0距離的最小值是這兩條平行線間的距離d＝＝. 方法二　由y＝－x2，得y′＝－2x. 如圖，設(shè)與直線4x＋3y－8＝0平行且與拋物線y＝－x2相切的直線與拋物線的切點(diǎn)是T(m，－m2)， 則切線斜率k＝y(tǒng)′|x＝m＝－2m＝－， 所以m＝，即切點(diǎn)T， 點(diǎn)T到直線4x＋3y－8＝0的距離d＝＝，由圖知拋物線y＝－x2上的點(diǎn)到直線4x＋3y－8＝0距離的最小值是. 方法三　設(shè)P(x，－x2)，則點(diǎn)P到直線4x＋3y－8＝0的距離d＝＝＝2＋，在拋物線y＝－x2中，x∈R， 所以當(dāng)x＝時(shí)，d取得最小值，即拋物線y＝

16、－x2上的點(diǎn)到直線4x＋3y－8＝0距離的最小值是. 答案： [悟技法] 若拋物線上的任一點(diǎn)P到直線l的距離最小，則過點(diǎn)P與l平行的直線與拋物線相切，且最小距離為兩平行直線間的距離，所以可將問題轉(zhuǎn)化為求與拋物線相切的直線，然后求兩平行直線間的距離． 命題點(diǎn)3：函數(shù)法 【典例3】 若點(diǎn)P在拋物線y2＝x上，點(diǎn)Q在圓(x－3)2＋y2＝1上，則|PQ|的最小值為________． 解析：由題意得拋物線與圓不相交， 且圓的圓心為A(3,0)， 則|PQ|≥|PA|－|AQ|＝|PA|－1， 當(dāng)且僅當(dāng)P，Q，A三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)， 所以當(dāng)|PA|取得最小值時(shí)，|PQ|最?。? 設(shè)P(

17、x0，y0)，則y＝x0，|PA|＝＝ ＝， 當(dāng)且僅當(dāng)x0＝時(shí)，|PA|取得最小值， 此時(shí)|PQ|取得最小值－1. 答案：－1 [悟技法] 解與拋物線有關(guān)的最值問題可通過兩點(diǎn)間距離公式或者點(diǎn)到直線的距離公式建立目標(biāo)函數(shù)，再用求函數(shù)最值的方法求解．解題的關(guān)鍵是根據(jù)所給拋物線方程設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)． [刷好題] 1． (xx·四川卷)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是以F為焦點(diǎn)的拋物線y2＝2px(p＞0)上任意一點(diǎn)，M是線段PF上的點(diǎn)，且|PM|＝2|MF|，則直線OM的斜率的最大值為(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D．1 解析：選C　設(shè)P，易知F， 則由|PM|＝2|MF|，得M，

18、 當(dāng)t＝0時(shí)，直線OM的斜率k＝0，當(dāng)t≠0時(shí)，直線OM的斜率k＝＝， 所以|k|＝≤＝， 當(dāng)且僅當(dāng)＝時(shí)取等號(hào)，于是直線OM的斜率的最大值為，選C． 2．(xx·遵義聯(lián)考)已知點(diǎn)P是拋物線x＝y(tǒng)2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)A(－1,2)的距離與點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離之和的最小值為(　　) A．2　　 B．2－1 C．－1　　 D．＋1 解析：選B　拋物線x＝y(tǒng)2的焦點(diǎn)為F(1,0)． 由拋物線定義，得點(diǎn)P到點(diǎn)A(－1,2)的距離與點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離之和為|PF|＋|PA|－1，其最小值為|AF|－1＝－1＝2－1.故選B． 3．(xx·黃山月考)已知拋物線x2＝2py(p＞0)，定點(diǎn)C(0，p)，點(diǎn)N是點(diǎn)C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，過定點(diǎn)C的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)N到直線l的距離為d，則|AB|·d的最小值為________． 解析：依題意，點(diǎn)N的坐標(biāo)為N(0，－p)． 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 直線AB的方程為y＝kx＋p，與x2＝2py聯(lián)立，消去y得x2－2pkx－2p2＝0. 由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得 x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p2. ∴|AB|·d＝2S△ABN＝2××2p×|x1－x2|＝4p2. 當(dāng)k＝0時(shí)，|AB|·d取得最小值，為4p2. 答案：4p2