2022年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第12講 函數(shù)模型及其應(yīng)用練習(xí) 新人教A版

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1、2022年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第12講 函數(shù)模型及其應(yīng)用練習(xí) 新人教A版 [考情展望]　1.考查二次函數(shù)模型的建立及最值問題.2.考查分段函數(shù)模型的建立及最值問題.3.考查指數(shù)、對(duì)數(shù)、冪函數(shù)、“對(duì)勾”型函數(shù)模型的建立及最值問題.4.合理選擇變量，構(gòu)造函數(shù)模型，求兩變量間的函數(shù)關(guān)系式，從而研究其最值． 一、三種函數(shù)模型之間增長(zhǎng)速度的比較 函數(shù) 性質(zhì)　　　 y＝ax(a＞1) y＝logax(a＞1) y＝xn(n＞0) 在(0，＋∞)上的增減性 單調(diào)遞增 單調(diào)遞增 單調(diào)遞增 增長(zhǎng)速度 越來越快 越來越慢 相對(duì)平穩(wěn) 大小比較 存在一個(gè)x0，當(dāng)x＞x0時(shí)，有l(wèi)og

2、ax＜xn＜ax 二、常見的幾種函數(shù)模型 1．一次函數(shù)模型：y＝kx＋b(k≠0)． 2．反比例函數(shù)模型：y＝(k≠0)． 3．指數(shù)函數(shù)模型：y＝a·bx＋c(b＞0，b≠1，a≠0)． 4．對(duì)數(shù)函數(shù)模型：y＝mlogax＋n(a＞0，a≠1，m≠0)． 5．冪函數(shù)模型：y＝a·xn＋b(a≠0)． 6．分段函數(shù)模型． 求解近似函數(shù)模型的步驟 1．一根蠟燭長(zhǎng)20 cm，點(diǎn)燃后每小時(shí)燃燒5 cm，燃燒時(shí)剩下的高度h(cm)與燃燒時(shí)間t(h)的函數(shù)關(guān)系用圖象表示為圖中的(　　) 【解析】　由題意知h＝20－5t，故選B. 【答案】　B 2．?dāng)M定甲地到乙地通話

3、m分鐘的電話費(fèi)f(m)＝0.5×[m]＋1(單位：元)，其中m>0，[m]表示不大于m的最大整數(shù)(如[3.62]＝3，[4]＝4)，當(dāng)m∈[0.5,3.2]時(shí)，函數(shù)f(m)的值域是(　　) A．{1,2,3,4}　　　　　 B．{1,1.5,2,2.5} C．{1,1.5,2.5,3} D．{1.5,2,2.5} 【解析】　當(dāng)m∈[0.5,3.2]時(shí)，[m]所有可能值為0,1,2,3共四個(gè)，故f(m)的值域?yàn)閧1,1.5,2,2.5}． 【答案】　B 3．生產(chǎn)一定數(shù)量的商品的全部費(fèi)用稱為生產(chǎn)成本，某企業(yè)一個(gè)月生產(chǎn)某種商品x萬件時(shí)的生產(chǎn)成本為C(x)＝x2＋2x＋20(萬元)．一萬

4、件售價(jià)是20萬元，為獲取更大利潤(rùn)，該企業(yè)一個(gè)月應(yīng)生產(chǎn)該商品數(shù)量為(　　) A．36萬件 B．18萬件 C．22萬件 D．9萬件 【解析】　利潤(rùn)L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142， 當(dāng)x＝18時(shí)，L(x)有最大值． 【答案】　B 4．某種儲(chǔ)蓄按復(fù)利計(jì)算利息，若本金為a元，每期利率為r，存期是x，本利和(本金加利息)為y元，則本利和y隨存期x變化的函數(shù)關(guān)系式是________． 【解析】　已知本金為a元，利率為r，則 1期后本利和為y＝a＋ar＝a(1＋r)， 2期后本利和為y＝a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2， 3期后本利和為y＝a(1＋

5、r)3， … x期后本利和為y＝a(1＋r)x，x∈N. 【答案】　y＝a(1＋r)x，x∈N 5．(2011·湖北高考)里氏震級(jí)M的計(jì)算公式為：M＝lg A－lg A0，其中A是測(cè)震儀記錄的地震曲線的最大振幅，A0是相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅．假設(shè)在一次地震中．測(cè)震儀記錄的最大振幅是1 000，此時(shí)標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅為0.001，則此次地震的震級(jí)為________級(jí)；9級(jí)地震的最大振幅是5級(jí)地震最大振幅的________倍． 【解析】　由題意，假設(shè)在一次地震中，測(cè)震儀記錄的最大振幅是1 000，此時(shí)標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅為0.001，則M＝lg A－lg A0＝lg 1 000－lg 0.001

6、＝3－(－3)＝6.設(shè)9級(jí)地震的最大振幅是x,5級(jí)地震的最大振幅是y， 9＝lg x＋3,5＝lg y＋3，解得x＝106，y＝102. 所以＝＝10 000. 【答案】　6　10 000 6．(xx·陜西高考)在 圖2－9－1 如圖2－9－1所示的銳角三角形空地中，欲建一個(gè)面積最大的內(nèi)接矩形花園(陰影部分)，則其邊長(zhǎng)x為________(m)． 【解析】　設(shè)矩形花園的寬為y m，則＝，即y＝40－x，矩形花園的面積S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400，當(dāng)x＝20 m時(shí)，面積最大． 【答案】　20 考向一 [033]　一次函數(shù)與二次函數(shù)模型的應(yīng)

7、用 　(xx·鹽城模擬)某跳水運(yùn)動(dòng)員在一次跳水訓(xùn)練時(shí)的跳水曲線為如圖2－9－2所示的拋物線一段，已知跳水板AB長(zhǎng)為2 m，跳水板距水面CD的高BC為3 m．為安全和空中姿態(tài)優(yōu)美，訓(xùn)練時(shí)跳水曲線應(yīng)在離起跳點(diǎn)A處水平距hm(h≥1)時(shí)達(dá)到距水面最大高度4 m．規(guī)定：以CD為橫軸，BC為縱軸建立直角坐標(biāo)系． (1)當(dāng)h＝1時(shí)，求跳水曲線所在的拋物線方程； (2)若跳水運(yùn)動(dòng)員在區(qū)域EF內(nèi)入水時(shí)才能達(dá)到比較好的訓(xùn)練效果，求此時(shí)h的取值范圍． 圖2－9－2 【思路點(diǎn)撥】　(1)利用頂點(diǎn)式求拋物線方程． (2)利用拋物線方程在區(qū)間[5,6]內(nèi)有解，求h的取值范圍． 【嘗試解答】　由題意，最

8、高點(diǎn)為(2＋h,4)(h≥1)． 設(shè)拋物線方程為y＝a[x－(2＋h)]2＋4 (1)當(dāng)h＝1時(shí)，最高點(diǎn)為(3,4)，方程為y＝a(x－3)2＋4(*)． 將點(diǎn)A(2,3)代入(*)式得a＝－1. 即所求拋物線的方程為y＝－x2＋6x－5. (2)將點(diǎn)A(2,3)代入y＝a[x－(2＋h)]2＋4，得ah2＝－1. 由題意，方程a[x－(2＋h)]2＋4＝0在區(qū)間[5,6]內(nèi)有一解． 令f(x)＝a[x－(2＋h)]2＋4＝－[x－(2＋h)]2＋4， 則 解得1≤h≤. 答：達(dá)到比較好的訓(xùn)練效果時(shí)的h的取值范圍是. 規(guī)律方法1　 1.本例(1)在求解時(shí)，巧設(shè)拋物線的頂點(diǎn)

9、式方程，從而使運(yùn)算量大大簡(jiǎn)化 (2)在求解時(shí)巧用零點(diǎn)定理避免了直接求零點(diǎn)而帶來的繁瑣計(jì)算. 2.(1)二次函數(shù)的最值一般利用配方法與函數(shù)的單調(diào)性解決，但一定要密切注意函數(shù)的定義域，否則極易出錯(cuò).(2)解決函數(shù)應(yīng)用問題時(shí)，最后要還原到實(shí)際問題. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練　某企業(yè)生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè)，A產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資成正比，其關(guān)系如圖2－9－3(1)；B產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖2－9－3(2)(注：利潤(rùn)和投資單位：萬元)． (1)　　　　　　　　　　　(2) 圖2－9－3 (1)分別將A、B兩種產(chǎn)品的利潤(rùn)表示為投資的函數(shù)關(guān)系式； (2)已知該企業(yè)已籌集到

10、18萬元資金，并將全部投入A，B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)． ①若平均投入生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，可獲得多少利潤(rùn)？ ②問：如果你是廠長(zhǎng)，怎樣分配這18萬元投資，才能使該企業(yè)獲得最大利潤(rùn)？其最大利潤(rùn)約為多少萬元？ 【解】　(1)設(shè)A、B兩種產(chǎn)品分別投資x萬元(x≥0)，所獲利潤(rùn)分別為f(x)、g(x)萬元，由題意可設(shè)f(x)＝k1x，g(x)＝k2， ∴根據(jù)圖象可解得f(x)＝0.25x(x≥0)， g(x)＝2(x≥0)． (2)①由(1)得f(9)＝2.25，g(9)＝2＝6， ∴總利潤(rùn)y＝8.25(萬元)． ②設(shè)B產(chǎn)品投入x萬元，A產(chǎn)品投入(18－x)萬元，該企業(yè)可獲總利潤(rùn)為y萬元， 則y＝(

11、18－x)＋2，0≤x≤18. 令＝t，t∈[0,3]， 則y＝(－t2＋8t＋18)＝－(t－4)2＋. ∴當(dāng)t＝4時(shí)，ymax＝＝8.5，此時(shí)x＝16,18－x＝2. ∴當(dāng)A、B兩種產(chǎn)品分別投入2萬元、16萬元時(shí)，可使該企業(yè)獲得最大利潤(rùn)8.5萬元． 考向二 [034]　三種函數(shù)模型的應(yīng)用 　某醫(yī)藥研究所開發(fā)的一種新藥，如果成年人按規(guī)定的劑量服用，據(jù)監(jiān)測(cè)：服藥后每毫升血液中的含藥量y(微克)與時(shí)間t(小時(shí))之間近似滿足如圖2－9－4所示的曲線． 圖2－9－4 (1)寫出第一次服藥后y與t之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f(t)； (2)據(jù)進(jìn)一步測(cè)定：每毫升血液中含藥量不少于0.25

12、微克時(shí)治療疾病有效，求服藥一次后治療疾病有效的時(shí)間． 【思路點(diǎn)撥】　本題考查冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用已知條件確定函數(shù)解析式，然后解不等式． 【嘗試解答】　(1)由圖象，設(shè)y＝ 當(dāng)t＝1時(shí)，由y＝4得k＝4， 由1－a＝4得a＝3. 所以y＝ (2)由y≥0.25得或 解得≤t≤5. 因此服藥一次后治療疾病有效的時(shí)間是5－＝(小時(shí))． 規(guī)律方法2　三種函數(shù)模型的應(yīng)用技巧 (1)與冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)三類函數(shù)模型有關(guān)的實(shí)際問題，在求解時(shí)，要先學(xué)會(huì)合理選擇模型，在三類模型中，指數(shù)函數(shù)模型是增長(zhǎng)速度越來越快(底數(shù)大于1)的一類函數(shù)模型，與增長(zhǎng)

13、率、銀行利率有關(guān)的問題都屬于指數(shù)函數(shù)模型. (2)在解決冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型問題時(shí)，一般先需要通過待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，再借助函數(shù)的圖象求解最值問題，必要時(shí)可借助導(dǎo)數(shù). 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練　一片森林原來面積為a，計(jì)劃每年砍伐一些樹，且每年砍伐面積的百分比相等，當(dāng)砍伐到面積的一半時(shí)，所用時(shí)間是10年，為保護(hù)生態(tài)環(huán)境，森林面積至少要保留原面積的，已知到今年為止，森林剩余面積為原來的. (1)求每年砍伐面積的百分比； (2)到今年為止，該森林已砍伐了多少年？ (3)今后最多還能砍伐多少年？ 【解】　(1)設(shè)每年降低的百分比為x(0＜x＜1)．則 a(1－x)10＝a，即(1－x)1

14、0＝. 解得x＝1－. (2)設(shè)經(jīng)過m年剩余面積為原來的，則a(1－x)m＝a，即＝，＝，解得m＝5. 故到今年為止，已砍伐了5年． (3)設(shè)從今年開始，以后砍了n年， 則n年后剩余面積為a(1－x)n. 令a(1－x)n≥a，即(1－x)n≥， ≥，≤，解得n≤15. 故今后最多還能砍伐15年． 考向三 [035]　分段函數(shù)模型的應(yīng)用 　(xx·杭州模擬)提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/小時(shí))是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)．當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車流速度為0；當(dāng)車流密度不

15、超過20輛/千米時(shí)，車流速度為60千米/小時(shí)．研究表明：當(dāng)20≤x≤200時(shí)，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)． (1)當(dāng)0≤x≤200時(shí)，求函數(shù)v(x)的表達(dá)式； (2)當(dāng)車流密度x為多大時(shí)，車流量(單位時(shí)間內(nèi)通過橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/小時(shí))f(x)＝x·v(x)可以達(dá)到最大，并求出最大值．(精確到1輛/小時(shí)) 【思路點(diǎn)撥】　(1)當(dāng)20≤x≤200時(shí)，運(yùn)用待定系數(shù)法求v(x)的解析式，進(jìn)而確定當(dāng)0≤x≤200時(shí)，分段函數(shù)v(x)．(2)根據(jù)(1)求出f(x)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與基本不等式求最值． 【嘗試解答】　(1)由題意：當(dāng)0≤x≤20時(shí)，v(x)＝60； 當(dāng)20≤x

16、≤200時(shí)，設(shè)v(x)＝ax＋b. 再由已知得解得 故函數(shù)v(x)的表達(dá)式為 v(x)＝ (2)依題意并由(1)可得 f(x)＝ 當(dāng)0≤x≤20時(shí)，f(x)為增函數(shù)．故當(dāng)x＝20時(shí)，其最大值為60×20＝1 200；當(dāng)20＜x≤200時(shí)， f(x)＝x(200－x)≤2＝. 當(dāng)且僅當(dāng)x＝200－x，即x＝100時(shí)，等號(hào)成立． 所以，當(dāng)x＝100時(shí)，f(x)在區(qū)間(20,200]上取得最大值. 綜上，當(dāng)x＝100時(shí)，f(x)在區(qū)間[0,200]上取得最大值≈3 333. 即當(dāng)車流密度為100輛/千米時(shí)，車流量可以達(dá)到最大，最大值約為3 333輛/小時(shí)． 規(guī)律方法3　 1.

17、理解題意，由待定系數(shù)法，準(zhǔn)確求出v(x)，是求解本例的關(guān)鍵.要注意分段函數(shù)各段變量的取值范圍，特別是端點(diǎn)值. 2.實(shí)際問題中有些變量間的關(guān)系不能用同一個(gè)關(guān)系式給出，而是由幾個(gè)不同的關(guān)系式構(gòu)成，如出租車票價(jià)與路程之間的關(guān)系，應(yīng)構(gòu)建分段函數(shù)模型求解. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練　(xx·廣州市培正中學(xué)月考)由于濃酸泄漏對(duì)河流形成了污染，現(xiàn)決定向河中投入固體堿.1個(gè)單位的固體堿在水中逐步溶化，水中的堿濃度y與時(shí)間x的關(guān)系，可近似地表示為y＝只有當(dāng)河流中堿的濃度不低于1時(shí)，才能對(duì)污染產(chǎn)生有效的抑制作用． (1)如果只投放1個(gè)單位的固體堿，則能夠維持有效抑制作用的時(shí)間有多長(zhǎng)？ (2)當(dāng)河中的堿濃度開始下降時(shí)，即刻

18、第二次投放1個(gè)單位的固體堿，此后，每一時(shí)刻河中的堿濃度認(rèn)為是各次投放的堿在該時(shí)刻相應(yīng)的堿濃度的和，求河中堿濃度可能取得的最大值． 【解】　(1) ??≤x≤2， ?2＜x≤3. 綜上，得≤x≤3. 即若1個(gè)單位的固體堿只投放一次，則能夠維持有效抑制作用的時(shí)間為3－＝. (2)當(dāng)0≤x≤2時(shí)，y＝－－x＋8單調(diào)遞增， 當(dāng)2＜x≤4時(shí)，y＝4－x單調(diào)遞減． 所以當(dāng)河中的堿濃度開始下降時(shí)，即刻第二次投放1個(gè)單位的固體堿，即2＜x≤4時(shí)，y＝4－x＋＝14－≤14－2＝14－8. 故當(dāng)且僅當(dāng)2x＝，即x＝2時(shí)，y有最大值14－8. 規(guī)范解答之二　函數(shù)建模在實(shí)際問題中的妙用 解

19、函數(shù)應(yīng)用題的一般步驟：第一步：審題——弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系；第二步：建模——將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，用數(shù)學(xué)知識(shí)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；第三步：求?！蠼鈹?shù)學(xué)模型，得到數(shù)學(xué)結(jié)論；第四步：還原——將用數(shù)學(xué)方法得到的結(jié)論還原為實(shí)際問題的意義；第五步：反思回顧——對(duì)于數(shù)學(xué)模型得到的數(shù)學(xué)結(jié)果，必須驗(yàn)證這個(gè)數(shù)學(xué)解對(duì)實(shí)際問題的合理性． ———　[1個(gè)示范例]　———　[1個(gè)規(guī)范練]　——— 　　(12分)(xx·江蘇高考)如圖2－9－5，建 圖2－9－5 立平面直角坐標(biāo)系xOy，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長(zhǎng)度為1千米，某炮位于坐標(biāo)原點(diǎn)．已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程

20、y＝kx－(1＋k2)x2(k>0)表示的曲線上，其中k與發(fā)射方向有關(guān)．炮的射程是指炮彈落地點(diǎn)的橫坐標(biāo)． (1)求炮的最大射程． (2)設(shè)在第一象限有一飛行物(忽略其大小)，其飛行高度為3.2千米，試問它的橫坐標(biāo)a不超過多少時(shí)，炮彈可以擊中它？請(qǐng)說明理由． 【規(guī)范解答】　(1)令y＝0，得kx－(1＋k2)x2＝0，由實(shí)際意義和題設(shè)條件知x>0，k>0，3分 故x＝＝≤＝10，當(dāng)且僅當(dāng)k＝1時(shí)取等號(hào)． 所以炮的最大射程為10千米.6分 (2)因?yàn)閍>0，所以炮彈可擊中目標(biāo)?存在k>0，使3.2＝ka－(1＋k2)a2成立8分 ?關(guān)于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根

21、10分 ?判別式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0?a≤6. 所以當(dāng)a不超過6千米時(shí)，可擊中目標(biāo).12分 【名師寄語】　(1)求解函數(shù)實(shí)際問題，審題是關(guān)鍵，要弄清相關(guān)“名詞”準(zhǔn)確尋求各量之間的關(guān)系，如本例中的“炮彈射程”. (2)在求解過程中應(yīng)分清變量x、y及k之間的辨證關(guān)系，結(jié)合所求，用k表示x. (3)把所求問題轉(zhuǎn)化為方程有解問題；進(jìn)而把方程有解問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程有正根，最后列不等式求解，用數(shù)學(xué)結(jié)果回答實(shí)際問題. (xx·上海高考)甲廠以x千克/小時(shí)的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品(生產(chǎn)條件要求1≤x≤10)，每小時(shí)可獲得的利潤(rùn)是100元． (1)求證：生產(chǎn)a千克該產(chǎn)品所

22、獲得的利潤(rùn)為 100a元； (2)要使生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤(rùn)最大，問：甲廠應(yīng)該選取何種生產(chǎn)速度？并求此最大利潤(rùn)． 【解】　(1)生產(chǎn)a千克該產(chǎn)品，所用的時(shí)間是小時(shí)， 所獲得的利潤(rùn)為100·. 所以，生產(chǎn)a千克該產(chǎn)品所獲得的利潤(rùn)為 100a元． (2)生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品，所用的時(shí)間是小時(shí)，獲得的利潤(rùn)為90 000，1≤x≤10. 記f(x)＝－＋＋5,1≤x≤10， 則f(x)＝－32＋＋5， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝6時(shí)，f(x)取到最大值f(6)＝. 獲得最大利潤(rùn)90 000×＝457 500(元)． 因此甲廠應(yīng)以6千克/小時(shí)的速度生產(chǎn)，可獲得最大利潤(rùn)457 500元．