2022年高考數學 第2講數形結合思想 新人教版

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1、2022年高考數學 第2講數形結合思想 新人教版 (xx·全國)已知函數f(x)=若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),則abc的取值范圍是 (  ) A.(1,10)   B.(5,6) C.(10,12) D.(20,24) 解析 作出f(x)的大致圖象. 由圖象知,要使f(a)=f(b)=f(c),不妨設a

2、解決問題的方法即數形結合的思想方法.體現了對知識和能力的雙重考查. 易錯提醒 (1)找不到問題解決的突破口.即想不到用數形結合. (2)f(x)的圖象的特征不清,忽視對(1,0)和(10,1)這兩個特殊點的分析. (3)不會借助圖形進行分析. 考題分析 本小題考查了分段函數的特征及性質.考查了對數函數及其運算.重點考查了解決問題的方法即數形結合的思想方法.體現了對知識和能力的雙重考查. 易錯提醒(1)找不到問題解決的突破口.即想不到用數形結合. (2)f(x)的圖象的特征不清,忽視對(1,0)和(10,1)這兩個特殊點的分析. (3)不會借助圖形進行分析. 考題分析 本小

3、題考查了分段函數的特征及性質.考查了對數函數及其運算.重點考查了解決問題的方法即數形結合的思想方法.體現了對知識和能力的雙重考查. 易錯提醒(1)找不到問題解決的突破口.即想不到用數形結合. (2)f(x)的圖象的特征不清,忽視對(1,0)和(10,1)這兩個特殊點的分析. (3)不會借助圖形進行分析. 1. 數形結合的數學思想:包含“以形助數”和“以數 輔形”兩個方面,其應用大致可以分為兩種情形:一是借助形的生動性和直觀性來闡明數之間的聯(lián)系,即以形作為手段,數作為目的,比如應用函數的圖象來直觀地說明函數的性質;二是借助于數的精確性和規(guī)范嚴密性來闡明形的某些屬性,即以數作為手段,形作

4、為目的,如應用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質. 2.運用數形結合思想分析解決問題時,要遵循三個原 則: (1)等價性原則.在數形結合時,代數性質和幾何性質的轉換必須是等價的,否則解題將會出現漏洞.有時,由于圖形的局限性,不能完整的表現數的一般性,這時圖形的性質只能是一種直觀而淺顯的說明,要注意其帶來的負面效應. (2)雙方性原則.既要進行幾何直觀分析,又要進行相應的代數抽象探求,僅對代數問題進行幾何分析容易出錯. (3)簡單性原則.不要為了“數形結合”而數形結合.具體運用時,一要考慮是否可行和是否有利;二要選擇好突破口,恰當設參、用參、建立關系、做好轉化;三要挖掘隱含條件,準確

5、界定參變量的取值范圍,特別是運用函數圖象時應設法選擇動直線與定二次曲線. 3.數形結合思想解決的問題常有以下幾種: (1)構建函數模型并結合其圖象求參數的取值范圍; (2)構建函數模型并結合其圖象研究方程根的范圍; (3)構建函數模型并結合其圖象研究量與量之間的大小關系; (4)構建函數模型并結合其幾何意義研究函數的最值問題和證明不等式; (5)構建立體幾何模型研究代數問題; (6)構建解析幾何中的斜率、截距、距離等模型研究最值問題; (7)構建方程模型,求根的個數; (8)研究圖形的形狀、位置關系、性質等. 4.數形結合思想是解答高考數學試題的一種常用方法 與技巧,

6、特別是在解選擇題、填空題時發(fā)揮著奇特功效,這就要求我們在平時學習中加強這方面的訓練,以提高解題能力和速度.具體操作時,應注意以下幾點: (1)準確畫出函數圖象,注意函數的定義域; (2)用圖象法討論方程(特別是含參數的方程)的解的個數是一種行之有效的方法,值得注意的是首先要把方程兩邊的代數式看作是兩個函數的表達式(有時可能先作適當調整,以便于作圖),然后作出兩個函數的圖象,由圖求解. 5.在運用數形結合思想分析問題和解決問題時,需做 到以下四點: (1)要徹底明白一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數特征; (2)要恰當設參,合理用參,建立關系,做好轉化; (3)要正確確定參數的

7、取值范圍,以防重復和遺漏; (4)精心聯(lián)想“數”與“形”,使一些較難解決的代數問題幾何化,幾何問題代數化,以便于問題求解. 很多數學概念都具有明顯的幾何意義,善于利用這些幾何意義,往往能收到事半功倍的效果. 題型一 數形結合思想在解決方程的根的個數、不等式解集的問題中的應用 例1 (1)已知:函數f(x)滿足下面關系. ①f(x+1)=f(x-1); ②當x∈[-1,1]時,f(x)=x2. 則方程f(x)=lg x解的個數是 (  ) A.5    B.7    C.9    D.10 (2)設奇函數f(x)在(0,+∞)上為增函數,且f(1)=0,則不等

8、式<0的解集為 (  ) A.(-1,0)∪(1,+∞) B.(-∞,-1)∪(0,1) C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-1,0)∪(0,1) (2)∵f(x)為奇函數, ∴f(x)-f(-x)=2f(x) 畫出y=2f(x)的大致圖象. 如圖,則f(x)與x異號的區(qū)間 如圖陰影所示, ∴解集為(-1,0)∪(0,1),故選D. 探究提高 (1)用函數的圖象討論方程(特別是含參數的指數、對數、根式、三角等復雜方程)的解的個數是一種重要的思想方法,其基本思想是先把方程兩邊的代數式看作是兩個熟悉函數的表達式(不熟悉時,需要作適當變

9、形轉化為兩熟悉的函數),然后在同一坐標系中作出兩個函數的圖象,圖象的交點個數即為方程解的個數. (2)解不等式問題經常聯(lián)系函數的圖象,根據不等式中量的特點,選擇適當的兩個(或多個)函數,利用兩個函數圖象的上、下位置關系轉化數量關系來解決不等式的解的問題,往往可以避免繁瑣的運算,獲得簡捷的解答. (3)函數的單調性經常聯(lián)系函數圖象的升、降;奇偶性經常聯(lián)系函數圖象的對稱性;最值(值域)經常聯(lián)系函數圖象的最高、最低點的縱坐標. 變式訓練1 已知f(x)是定義在(-3,3)上的奇函數,當 0

10、 (  ) A.(-3,-)∪(0,1)∪(,3) B.(-,-1)∪(0,1)∪(,3) C.(-3,-1)∪(0,1)∪(1,3) D.(-3,-)∪(0,1)∪(1,3) 解析 不等式f(x)cos x<0等價于 或 畫出f(x)在(-3,3)上的圖象,cos x 的圖象又熟知,運用數形結合,如圖所示,從“形”中找出圖象分別在x軸上、下部分的對應“數”的區(qū)間為(-,-1)∪(0,1) ∪(,3). 題型二 數形結合思想在求參數、代數式的取值范圍、 最值問題中的應用 例2 已知a是實數,函數f(x)=2a|x|+2x-a,若函數 y=f(x)有且僅有兩個零

11、點,則實數a的取值范圍是 __________________. 思維啟迪函數零點→方程的根→函數圖象交點→數形結合. 解析 易知a≠0,f(x)=0,即2a|x|+2x-a=0, 變形得|x|-=-x,分別畫出函數y1=|x|-,y2=-x的圖象(如圖所示),由圖易知: 當0<-<1或-1<-<0時,y1和y2的圖象有兩個不同的交點, ∴當a<-1或a>1時,函數y=f(x)有且僅有兩個零點, 即實數a的取值范圍是(-∞,-1)∪(1,+∞). 探究提高 解決函數的零點問題,通常是轉化為方程的根,進而轉化為函數的圖象的交點問題.在解決函數圖象的交點問

12、題時,常用數形結合,以“形”助“數”,直觀簡潔. 變式訓練2 (xx·江西)若不等式≤k(x+2)- 的解集為區(qū)間[a,b],且b-a=2,則k=____. 解析 令y1=, y2=k(x+2)-,在同一個坐標系中 作出其圖象,因≤k(x+2)- 的解集為[a,b]且b-a=2. 結合圖象知b=3,a=1,即直線與圓 的交點坐標為(1,2). ∴k==. 題型三 數形結合思想在幾何中的應用 例3 已知P是直線3x+4y+8=0上的動點,PA、PB 是圓x2+y2-2x-2y+1=0的兩條切線,A、B是切點,C是圓心,求四邊形PACB面積的最小值. 思維啟迪 同一

13、坐標系中畫出直線與圓. 作出圓的切線PA、PB,則四邊形PACB的 面積S四邊形PACB=S△PAC+S△PBC=2S△PAC.把 S四邊形PACB轉化為2倍的S△PAC可以有以下多 條數形結合的思路. → → 解 方法一 從運動的觀點看問題,當動點P沿直線3x+4y+8=0向左上方或向右下方無窮遠處運動時,直角三角形PAC的面積SRt△PAC=|PA|·|AC|=|PA|越來越大,從而S四邊形PACB也越來越大;當點P從左上、右下兩個方向向中間運動時,S四邊形PACB變小,顯然,當點P到達一個最特殊的位置,即CP垂直直線時,S四邊形PACB應有唯一的最小值,此時|PC|==3,

14、 從而|PA|==2. ∴(S四邊形PACB)min=2××|PA|×|AC|=2. 這是運動變化的思想幫助我們打開了解題的思路. 方法二 利用等價轉化的思想,設點P坐標為(x,y),則 |PC|=,由勾股定理及|AC|=1,得 |PA|==,從而 S四邊形PACB=2S△PAC=2·|PA|·|AC|=|PA|=, 從而欲求S四邊形PACB的最小值,只需求|PA|的最小值,只需求|PC|2=(x-1)2+(y-1)2的最小值,即定點C(1,1)與直線上動點P(x,y)距離的平方的最小值,它也就是點C(1,1)到直線3x+4y+8=0的距離的平方,這個最小值d2=()2=9,

15、 ∴(S四邊形PACB)min==2. 方法三 利用函數思想,將方法二中S四邊形PACB=中的y由3x+4y+8=0中解出,代入化為關于x的一元函數,進而用配方法求最值,也可得(S四邊形PACB)min=2. 探究提高 本題的解答運用了多種數學思想方法:數形結合思想,運動變化的思想,等價轉化的思想以及配方法,靈活運用數學思想方法,能使數學問題快速得以解決. 變式訓練3 已知點P在拋物線y2=4x上,那么點P到點Q(2,-1)的距離與點P到拋物線焦點距離之和取得最小值時,點P的坐標為 (  ) A.(,-1)     B.(,1) C.(1,2)

16、 D.(1,-2) 解析 定點Q(2,-1)在拋物線內部, 由拋物線的定義知,動點P到拋物線 焦點的距離等于它到準線的距離,問 題轉化為當點P到點Q和到拋物線的 準線距離之和最小時,求點P的坐標, 顯然點P是直線y=-1和拋物線y2=4x的交點,解得這個點的坐標是(,-1). 律方法總結 1.利用數形結合解題,只需把圖象大致形狀畫出即可,不需要精確圖象. 2.數形結合思想是解決高考數學試題的一種常用方法 與技巧,特別在解選擇題、填空題時更方便,可以提高解題速度. 3.數形結合思想常用模型: 一次、二次函數圖象;斜率公式;兩點間的距離公式(或向量

17、的模、復數的模),點到直線的距離公式等. 知能提升演練 一、選擇題 1.設全集I是實數集R.M={x|x2>4}與N={x|≥1} 都是I的子集(如圖所示),則陰影部分所表示的集合 為 (  ) A.{x|x<2} B.{x|-2≤x<1} C.{x|1

18、 解析 方法一 因為f(x0)>1,當x≤0時, -1>1, >2,-x0>1,∴x0<-1;當x0>0 時, >1,∴x0>1. 綜上,x0的取值范圍為(-∞,-1)∪(1,+∞) 方法二 首先畫出函數y=f(x)與y=1的圖象(如圖),解方程f(x)=1,得x=-1,或x=1.由圖中易得 f(x0)>1時,所對應x0的取值范圍為(-∞,-1)∪(1,+∞). 3.定義在R上的偶函數y=f(x)滿足f(x+2)=f(x),當 x∈[3,4]時,f(x)=x-2,則 (  ) A.f(sin)f(

19、cos) C.f(sin 1)f(cos) 解析 由f(x)=f(x+2)知T=2為f(x)的一個周期,設x∈[-1,0],知x+4∈[3,4],f(x)=f(x+4)=x+4-2=x+2,畫出函數f(x)的圖象, 如圖所示: sinf(cos); sin>cos?f(sin)cos 1?f(sin 1)cos?f(sin)

20、直線l2的距離之和的最小值是 (  ) A.2 B.3 C. D. 解析 記拋物線y2=4x的焦點為F,則 F(1,0),注意到直線l2:x=-1是拋物線 y2=4x的準線,于是拋物線y2=4x上的 動點P到直線l2的距離等于|PF|,問題即 轉化為求拋物線y2=4x上的動點P到直線 l1:4x-3y+6=0的距離與它到焦點F(1,0)的距離之和的最小值,結合圖形,可知,該最小值等于焦點F(1,0)到直線l1:4x-3y+6=0的距離,即等于=2,故選A. 5.不等式x2-logax<0,

21、在x∈(0,)時恒成立,則a的 取值范圍是 (  ) A.01 D.0

22、當A與短軸端點重合時,(S△ABF)max=bc. 7.y=f(x)=,若不等式f(x)≥2x -m恒成立,則實數m的取值范圍是____________. 解析 在平面直角坐標系中作出函數y=2x-m及y=f(x)的圖象(如圖),由于不等式f(x)≥2x-m恒成立,所以函數y=2x-m的圖象應總在函數y=f(x)的圖象的下方,因此,當x=-2時,y=-4-m≤0,所以m≥-4,所以m的取值范圍是[-4,+∞). 8.函數f(θ)=的最大值為________. 解析 可以與兩點連線的斜率聯(lián)系起來,它實際上是點P(cos θ,sin θ)與點A(-,0)連線的斜率,而點P(cos

23、 θ,sin θ)在單位圓上移動,問題變?yōu)椋呵髥挝粓A上的點與A(-,0)連線斜率的最大值.如圖,顯然,當P點移動到B點(此時,AB與圓相切)時,AP的斜率最大,最大值為tan∠BAO==1. 三、解答題 9.不等式x2+|2x-4|≥p對所有x都成立,求實數p的 最大值. 三、解答題 9.不等式x2+|2x-4|≥p對所有x都成立,求實數p的最大值.構造函數f(x)=|x-2|,g(x)=-+ ,解不等式f(x)≥g(x),即確定使函數 y=f(x)的圖象在函數y=g(x)“上方”的 點的橫坐標x的取值范圍,而本題是已知 這個范圍對一切x成立,求p的最大值. 如圖,y=

24、-+的圖象可以由y=-的圖象的頂點在y軸上下移動而得,滿足題目條件的解應為y=|x-2|的圖象在y=-+的圖象上方的極端情況. 只有一解. ∴-+=2-x, 即x2-2x-(p-4)=0,Δ=4+4(p-4)=0,p=3. 即p的最大值為3. 10.已知實系數一元二次方程x2+ax+2b=0有兩個根, 一個根在區(qū)間(0,1)內,另一個根在區(qū)間(1,2)內,求: (1)點(a,b)對應的區(qū)域的面積; (2)的取值范圍; (3)(a-1)2+(b-2)2的值域. 解 方程x2+ax+2b=0的兩根在區(qū)間(0,1)和(1,2)上的幾何意義分別是:函數y=f(x)=x2+ax+2b

25、與x軸的兩個交點的橫坐標分別在區(qū)間(0,1)和(1,2)內, 由此可得不等式組? 由解得A(-3,1). 由解得B(-2,0), 由解得C(-1,0). ∴在如圖所示的aOb坐標平面內,滿足 約束條件的點(a,b)對應的平面區(qū)域為 △ABC(不包括邊界). (1)△ABC的面積為S△ABC=×|BC|×h=(h為A到Oa軸的距離). (2)幾何意義是點(a,b)和點D(1,2)連線的斜率. ∵kAD==,kCD==1, 由圖可知kAD<

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