2022年高考數(shù)學(xué) 考前30天之備戰(zhàn)沖刺押題系列 名師預(yù)測卷 5

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1、2022年高考數(shù)學(xué) 考前30天之備戰(zhàn)沖刺押題系列 名師預(yù)測卷 5 一、填空題:本大題共14小題,每小題5分,共70分. 1. 復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第 象限. 2. 某商場有四類食品,其中糧食類、植物油類、動(dòng)物性食品類及果蔬類分別有40種、10種、30種、20 種,從中抽取一個(gè)容量為20的樣本進(jìn)行食品安全檢測.若采用分層抽樣的方法抽取樣本,則抽取的植物油類與果蔬類食品種數(shù)之和是 . 3. 已知集合,集合,若命題“”是命 題“”的充分不必要條件,則實(shí)數(shù)的取值范圍是 . 4. 如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=1,BC=2,

2、AC=,AA1=3, M為線段BB1上的一動(dòng)點(diǎn),則當(dāng)AM+MC1最小時(shí),△AMC1的面積 為 . (第4題). 5. 集合若則 . 6. 閱讀如圖所示的程序框,若輸入的是100,則輸出的變量的值 是 . 7. 向量,= . 8. 方程有 個(gè)不同的實(shí)數(shù)根. 9. 設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若≤≤,≤≤,則的取值范圍是 . 10.過雙曲線的左焦點(diǎn),作圓:的切線,切點(diǎn)為,直線交雙曲線右支于點(diǎn),若,

3、則雙曲線的離心率為 . 11.若函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù),則實(shí)數(shù)的取值范圍是 . 12.如果圓上總存在兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1,則實(shí)數(shù)的取值范圍是 . 13.已知實(shí)數(shù)滿足,則的最大值為 . 14.當(dāng)為正整數(shù)時(shí),函數(shù)表示的最大奇因數(shù),如,設(shè),則 . 答案 1. 四 2. 6 3. 4. 5. {2,3,4} 6. 5049 7. 8. 2 9. 10. 11. 12. 13. 4

4、 14. 二、解答題:本大題共六小題,共計(jì)90分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答,解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 15.(本題滿分14分) 在銳角中,角,,所對(duì)的邊分別為,,.已知. (1)求;(2)當(dāng),且時(shí),求. 解:(1)由已知可得.所以. ……………… 2分 因?yàn)樵谥?,,所? ………………………………4分 (2)因?yàn)?,所? ………………………………6分 因?yàn)槭卿J角三角形,所以,. ………………8分 所以. 11分 由正弦定理可得:,所以. …………………………………………14分 說明:

5、用余弦定理也同樣給分. 16.(本題滿分14分) 如圖, 是邊長為的正方形,平面,,. (1)求證:平面; (2)設(shè)點(diǎn)是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),試確定點(diǎn)的位置, 使得平面,并證明你的結(jié)論. 解:(1)證明:因?yàn)槠矫妫? 所以. ……………………2分 因?yàn)槭钦叫危? 所以,因?yàn)椤?分 從而平面. ……………………6分 (2)當(dāng)M是BD的一個(gè)三等分點(diǎn),即3BM=BD時(shí),AM∥平面BEF. …………7分 取BE上的三等分點(diǎn)N,使3BN=BE,連結(jié)MN,NF,則DE∥MN,且DE=3MN, 因?yàn)锳F∥DE,且DE=3AF,所以AF∥MN,且AF=

6、MN, 故四邊形AMNF是平行四邊形. ……………………………………10分 所以AM∥FN, 因?yàn)锳M平面BEF,F(xiàn)N平面BEF, …………………………………………12分 所以AM∥平面BEF. …………………………………………14分 17.(本題滿分14分) 已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn),短軸長為2,一條準(zhǔn)線方程為l:. ⑴ 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程; ⑵ 設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),F(xiàn)是橢圓的右焦點(diǎn),點(diǎn)M是直線l上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)F作OM的垂線與以O(shè)M為直徑的圓交于點(diǎn)N,求證:線段ON的長為定值. 解:⑴∵橢圓C的短軸長為2,橢圓C的

7、一條準(zhǔn)線為l:, ∴不妨設(shè)橢圓C的方程為.(2分)∴,( 4分)即.(5分) ∴橢圓C的方程為.(6分) ⑵ F(1,0),右準(zhǔn)線為l:, 設(shè), 則直線FN的斜率為,直線ON的斜率為,(8分) ∵FN⊥OM,∴直線OM的斜率為,(9分) ∴直線OM的方程為:,點(diǎn)M的坐標(biāo)為.(11分) ∴直線MN的斜率為.(12分) ∵M(jìn)N⊥ON,∴, ∴, ∴,即.(13分)∴為定值.(14分) 說明:若學(xué)生用平面幾何知識(shí)(圓冪定理或相似形均可)也得分,設(shè)垂足為P,準(zhǔn)線l與x軸交于Q,則有,又,所以為定值. 18.(本題滿分16

8、分) 如圖,直角三角形ABC中,∠B=,AB=1,BC=.點(diǎn)M,N分別在邊AB和AC 上(M點(diǎn)和B點(diǎn)不重合),將△AMN沿MN翻折,△AMN變?yōu)椤鱉N,使頂點(diǎn)落在邊BC 上(點(diǎn)和B點(diǎn)不重合).設(shè)∠AMN=. (1) 用表示線段的長度,并寫出的取值范圍;(2) 求線段長度的最小值. 解:(1)設(shè),則.(2分) 在Rt△MB中,, (4分) ∴. (5分) ∵點(diǎn)M在線段AB上,M點(diǎn)和B點(diǎn)不重合,點(diǎn)和B點(diǎn)不重合,∴.(7分) (2)在△AMN中,∠ANM=,(8分) ,(9分) =.(10分) 令= =.(13分) ∵, ∴. (14分) 當(dāng)且

9、僅當(dāng),時(shí),有最大值,(15分) ∴時(shí),有最小值.(16分) 19.(本題滿分16分) 已知,函數(shù). (1) 如果實(shí)數(shù)滿足,函數(shù)是否具有奇偶性?如果有,求出相應(yīng)的 值;如果沒有,說明為什么? (2) 如果判斷函數(shù)的單調(diào)性; (3) 如果,,且,求函數(shù)的對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心. 解:(1)如果為偶函數(shù),則恒成立,(1分) 即: (2分) 由不恒成立,得(3分) 如果為奇函數(shù),則恒成立,(4分) 即:(5分) 由恒成立,得(6分) (2), ∴ 當(dāng)時(shí),顯然在R上為增函數(shù);(8分) 當(dāng)時(shí),, 由得得得.(9分) ∴當(dāng)時(shí), ,為減函數(shù); (10分) 當(dāng)時(shí), ,為增函數(shù).

10、(11分) (3) 當(dāng)時(shí), 如果,(13分) 則∴函數(shù)有對(duì)稱中心(14分) 如果(15分) 則 ∴函數(shù)有對(duì)稱軸.(16分) 20.(本題滿分16分) 已知各項(xiàng)均不為零的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足a1=c,2Sn=anan+1+r. (1)若r=-6,數(shù)列{an}能否成為等差數(shù)列?若能,求滿足的條件;若不能,請(qǐng)說明理由. (2)設(shè),, 若r>c>4,求證:對(duì)于一切n∈N*,不等式恒成立. 解:(1)n=1時(shí),2a1=a1a2+r,∵a1=c≠0,∴2c=ca2+r,. (1分) n≥2時(shí),2Sn=anan+1+r,①

11、 2Sn-1=an-1an+r,② ①-②,得2an=an(an+1-an-1).∵an≠0,∴an+1-an-1=2. ( 3分) 則a1,a3,a5,…,a2n-1,… 成公差為2的等差數(shù)列,a2n-1=a1+2(n-1). a2,a4,a6,…,a2n,… 成公差為2的等差數(shù)列, a2n=a2+2(n-1). 要使{an}為等差數(shù)列,當(dāng)且僅當(dāng)a2-a1=1.即.r=c-c2. ( 4分) ∵r=-6,∴c2-c-6=0,c=-2或3. ∵當(dāng)c=-2,,不合題意,舍去. ∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),數(shù)列為等差數(shù)列 (5分) (2)=[a1+2(n-1)]-

12、[a2+2(n-1)]=a1-a2=-2. =[a2+2(n-1)]-(a1+2n)=a2-a1-2=-(). (8分) ∴ (9分) . (10分) =.(11分) ∵r>c>4,∴>4,∴>2.∴0<<1. (13分) 且>-1. (14分) 又∵r>c>4,∴,則0<.. ∴<1..∴<1.(15分) ∴對(duì)于一切n∈N*,不等式恒成立.(16分) 附加題部分 21. (選做題)本大題包括A,B,C,D共4小題,請(qǐng)從這4題中選做2小題. 每小題10分,共20分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上準(zhǔn)確填涂題目標(biāo)記. 解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. A.選修4-

13、1:幾何證明選講 如圖,⊙O的直徑AB的延長線與弦CD的延長線相交于點(diǎn)P,E為⊙O上一點(diǎn),AE=AC,求證:∠PDE=∠POC. 證明:因AE=AC,AB為直徑, 故∠OAC=∠OAE. ……………………………………………………………3分 所以∠POC=∠OAC+∠OCA=∠OAC+∠OAC=∠EAC. 又∠EAC=∠PDE, 所以,∠PDE=∠POC.…………………………………………………………10分 B.選修4—2 矩陣與變換 已知矩陣,其中,若點(diǎn)在矩陣的變換下得到點(diǎn), (1)求實(shí)數(shù)a的值; (2)求矩陣的特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量. 解:

14、(1)由=,(2分) ∴. (3分) (2)由(1)知,則矩陣的特征多項(xiàng)式為 (5分) 令,得矩陣的特征值為與4. (6分) 當(dāng)時(shí), ∴矩陣的屬于特征值的一個(gè)特征向量為; (8分) 當(dāng)時(shí), ∴矩陣的屬于特征值的一個(gè)特征向量為. (10分) C.選修4—4 參數(shù)方程與極坐標(biāo) 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,動(dòng)圓(R)的 圓心為 ,求的取值范圍. 【解】由題設(shè)得(為參數(shù),R). …………………………5分 于是, 所以 . ………………………10分 D.選

15、修4-5:不等式選講 已知x,y,z均為正數(shù).求證:. 證明:因?yàn)閤,y,z都是為正數(shù),所以. …………………3分 同理可得. 將上述三個(gè)不等式兩邊分別相加,并除以2,得.………10分 22. 必做題, 本小題10分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 已知拋物線的焦點(diǎn)為,直線過點(diǎn). (1)若點(diǎn)到直線的距離為,求直線的斜率;(4分) (2)設(shè)為拋物線上兩點(diǎn),且不與軸垂直,若線段的垂直平分線恰過點(diǎn),求證:線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值.(6分) 解:(1)由已知,不合題意.設(shè)直線的方程為, 由已知,拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為, …

16、………………1分 因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為,所以, …………………2分 解得,所以直線的斜率為 . …………………4分 (2)設(shè)線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為,, 因?yàn)椴淮怪庇谳S,則直線的斜率為,直線的斜率為, 直線的方程為, …………………5分 聯(lián)立方程 消去得, …………………7分 所以, …………………8分 因?yàn)闉橹悬c(diǎn),所以,即, …………………9分 所以.即

17、線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值. …………………10分 23.必做題, 本小題10分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 已知, (1)若,求的值;(3分) (2)若,求中含項(xiàng)的系數(shù);(3分) (3)證明:.(4分) 解:(1)因?yàn)?所以,又, 所以 (1) (2) (1)-(2)得: 所以: …………………3分 (2)因?yàn)?,所? 中含項(xiàng)的系數(shù)為 …………………6分 (Ⅲ)設(shè) (1) 則函數(shù)中含項(xiàng)的系數(shù)為 …………………7分 (2) (1)-(2)得 中含項(xiàng)的系數(shù),即是等式左邊含項(xiàng)的系數(shù),等式右邊含項(xiàng)的系數(shù)為 所以 …………………10分

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