6、4天內(nèi)所走的總路程為( )
A．里 B．1 050里
C．里 D．2 100里
【解析】 (1)由題意知，由細(xì)到粗每段的重量組成一個(gè)等差數(shù)列，記為{an}，設(shè)公差為d，則有??
所以該金箠的總重量 M＝10×＋×＝15.
因?yàn)?8ai＝5M，所以有48[＋(i－1)×]＝75，解得i＝6，故選C．
(2)由題意可知，馬每天行走的路程組成一個(gè)等比數(shù)列，設(shè)該數(shù)列為{an}，則該匹馬首日行走的路程為a1，公比為，則有＝700，則a1＝，則＝(里)．故選C．
【答案】 (1)C (2)C
(1)數(shù)列中的數(shù)學(xué)文化題一般以我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著中的等差數(shù)列和等比數(shù)列問題為背景，考查等差
7、數(shù)列和等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式．
(2)解決這類問題的關(guān)鍵是將古代實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為現(xiàn)代數(shù)學(xué)問題，掌握等比(差)數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式．
[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]
1．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，書中《均輸章》有如下問題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等，問各得幾何．”其意思為：已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢，甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差數(shù)列，問五人各得多少錢？(“錢”是古代的一種重量單位)在這個(gè)問題中，丙所得為( )
A．錢 B．錢
C．錢 D．1錢
解析：選D．因?yàn)榧?、乙、丙、丁、戊每人所得?/p>
8、次成等差數(shù)列，設(shè)每人所得依次為a－2d、a－d、a、a＋d、a＋2d，則a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5，解得a＝1，即丙所得為1錢，故選D．
2．(一題多解)《九章算術(shù)》中有一題：今有牛、馬、羊食人苗．苗主責(zé)之粟五斗．羊主曰：“我羊食半馬．”馬主曰：“我馬食半牛．”今欲衰償之，問各出幾何．其意思是：今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗，禾苗主人要求賠償五斗粟．羊主人說：“我羊所吃的禾苗只有馬的一半．”馬主人說：“我馬所吃的禾苗只有牛的一半．”若按此比例償還，牛、馬、羊的主人各應(yīng)賠償多少粟？在這個(gè)問題中，牛主人比羊主人多賠償( )
A．斗粟 B．斗粟
C．斗粟 D．斗粟
解：選
9、C．法一：設(shè)羊、馬、牛主人賠償?shù)乃诘亩窋?shù)分別為a1，a2，a3，則這3個(gè)數(shù)依次成等比數(shù)列，公比q＝2，所以a1＋2a1＋4a1＝5，
解得a1＝，故a3＝，a3－a1＝－＝，故選C．
法二：羊、馬、牛主人賠償?shù)谋壤?∶2∶4，故牛主人應(yīng)賠償5×＝(斗)，羊主人應(yīng)賠償5×＝(斗)，故牛主人比羊主人多賠償了－＝(斗)，故選C．
三角函數(shù)中的數(shù)學(xué)文化題
[典型例題]
《數(shù)書九章》中給出了“已知三角形三邊長(zhǎng)求三角形面積的求法”，填補(bǔ)了我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個(gè)空白，與著名的海倫公式完全等價(jià)，由此可以看出我國(guó)古代人具有很高的數(shù)學(xué)水平，其求法是“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上；以小斜
10、冪乘大斜冪，減上，余四約之，為實(shí)；一為從隅，開平方得積”．若把這段文字寫成公式，即S＝，現(xiàn)有周長(zhǎng)為2＋的△ABC滿足sin A∶sin B∶sin C＝(－1)∶∶(＋1)，用上面給出的公式求得△ABC的面積為( )
A． B．
C． D．
【解析】 由正弦定理得sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝(－1)∶∶(＋1)，可設(shè)三角形的三邊分別為a＝(－1)x，b＝x，c＝(＋1)x，由題意得(－1)x＋x＋(＋1)x＝(2＋)x＝2＋，則x＝1，故由三角形的面積公式可得△ABC的面積S＝＝，故選B．
【答案】 B
我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家秦九韶發(fā)現(xiàn)的“三
11、斜求積術(shù)”雖然與海倫公式(S＝，其中p＝(a＋b＋c))在形式上不一樣，但兩者完全等價(jià)，它填補(bǔ)了我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一項(xiàng)空白，從中可以看出我國(guó)古代已經(jīng)具有很
高的數(shù)學(xué)水平，人教A版《必修5》教材對(duì)此有專門介紹．本題取材于教材中出現(xiàn)的“三斜求積”公式，考查了運(yùn)算求解能力，同時(shí)也傳播了中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化．
[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]
(2019·濟(jì)南市學(xué)習(xí)質(zhì)量評(píng)估)我國(guó)《物權(quán)法》規(guī)定：建造建筑物，不得違反國(guó)家有關(guān)工程建設(shè)標(biāo)準(zhǔn)，妨礙相鄰建筑物的通風(fēng)、采光和日照．已知某小區(qū)的住宅樓的底部均在同一水平面上，且樓高均為45 m，依據(jù)規(guī)定，該小區(qū)內(nèi)住宅樓樓間距應(yīng)不小于52 m．若該小區(qū)內(nèi)某居民在距離樓底27 m高處的某
12、陽(yáng)臺(tái)觀測(cè)點(diǎn)，測(cè)得該小區(qū)內(nèi)正對(duì)面住宅樓樓頂?shù)难鼋桥c樓底的俯角之和為45°，則該小區(qū)的住宅樓樓間距實(shí)際為________m.
解析：設(shè)兩住宅樓樓間距實(shí)際為x m．如圖，
根據(jù)題意可得，tan∠DCA＝，tan∠DCB＝＝，又∠DCA＋∠DCB＝45°，所以tan(∠DCA＋∠DCB)＝＝1，整理得x2－45x－27×18＝0，解得x＝54或x＝－9(舍去)．所以該小區(qū)住宅樓樓間距實(shí)際為54 m.
答案：54
立體幾何中的數(shù)學(xué)文化題
[典型例題]
(1)(2019·高考浙江卷)祖暅?zhǔn)俏覈?guó)南北朝時(shí)代的偉大科學(xué)家，他提出的“冪勢(shì)既同，則積不容異”稱為祖暅原理，利用該原理可以得到柱體
13、的體積公式V柱體＝Sh，其中S是柱體的底面積，h是柱體的高．若某柱體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該柱體的體積(單位：cm3)是( )
A．158 B．162
C．182 D．324
(2) (2018·鄭州第二次質(zhì)量預(yù)測(cè))我國(guó)古代數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》對(duì)立體幾何有深入的研究，從其中的一些數(shù)學(xué)用語可見，譬如“鱉臑”意指四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐．某“鱉臑”的三視圖(圖中網(wǎng)格紙上每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1)如圖所示，已知該幾何體的高為2，則該幾何體外接球的表面積為________．
【解析】 (1)如圖，該柱體是一個(gè)五棱柱，棱柱的高為6，底面可以看作由兩個(gè)直角
14、梯形組合而成，其中一個(gè)上底為4，下底為6，高為3，另一個(gè)的上底為2，下底為6，高為3.
則底面面積S＝×3＋×3＝27.
因此，該柱體的體積V＝27×6＝162.
故選B．
(2)由該幾何體的三視圖還原其直觀圖，并放入長(zhǎng)方體中，如圖中的三棱錐A-BCD所示，其中AB＝2，BC＝CD＝，易知長(zhǎng)方體的外接球即三棱錐A-BCD 的外接球，設(shè)外接球的直徑為2R，所以4R2＝(2)2＋()2＋()2＝8＋2＋2＝12，則R2＝3，因此外接球的表面積S＝4πR2＝12π.
【答案】 (1)B (2)12π
立體幾何中的數(shù)學(xué)文化題一般以我國(guó)古代發(fā)現(xiàn)的球的體積公式、圓柱的體積公式、圓錐
15、的體積公式、圓臺(tái)的體積公式和“牟合方蓋”“陽(yáng)馬”“鱉臑”“塹堵”“芻薨”等中國(guó)古代幾何名詞為背景考查空間幾何體的三視圖、幾何體的體積與表面積等．
[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]
1．《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問題：“今有圓堢壔，周四丈八尺，高一丈一尺．問積幾何？術(shù)曰：周自相乘，以高乘之，十二而一．”這里所說的圓堢壔就是圓柱體，它的體積為“周自相乘，以高乘之，十二而一”，意思是圓柱體的體積為V＝×底面圓的周長(zhǎng)的平方×高，由此可推得圓周率π的取值為( )
A．3 B．3.1
C．3.14 D．3.2
解析：選A．設(shè)圓柱體的底面半徑為r，高為h，由圓柱的體積公式得體積為V＝πr2h.由
16、題意知V＝×(2πr)2×h，所以πr2h＝×(2πr)2×h，解得π＝3.故選A．
2．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測(cè)雨”題，與題中描繪的器具形狀一樣(大小不同)的器具的三視圖如圖所示(單位：寸)．若在某地下雨天時(shí)利用該器具接的雨水的深度為6寸，則這一天該地的平均降雨量約為(注：平均降雨量等于器具中積水的體積除以器具口的面積．參考公式：圓臺(tái)的體積V＝πh(R2＋r2＋R·r)，其中R，r分別表示上、下底面的半徑，h為高)( )
A．2寸 B．3寸
C．4寸 D．5寸
解析：選A．由三視圖可知，該器具的上底面半徑為12寸，下底面半徑為6寸，高為12
17、寸．
因?yàn)樗佑晁纳疃葹?寸，所以水面半徑為×(12＋6)＝9(寸)，
則盆中水的體積為π×6×(62＋92＋6×9)＝342π(立方寸)，
所以這一天該地的平均降雨量約為≈2(寸)，故選A．
算法中的數(shù)學(xué)文化題
[典型例題]
(1)公元三世紀(jì)中期，數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)現(xiàn)當(dāng)圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時(shí)，多邊形面積可無限逼近圓的面積，并因此創(chuàng)立了割圓術(shù)．利用割圓術(shù)，劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位的近似值3.14，這就是著名的“徽率”．如圖是利用劉徽的割圓術(shù)設(shè)計(jì)的程序框圖，則輸出的n為(參考數(shù)據(jù)：sin 15°≈0.258 8，sin 7.5°≈0.130 5)( )
A
18、．12 B．24
C．36 D．48
(2)我國(guó)古代的勞動(dòng)人民曾創(chuàng)造了燦爛的中華文明，戍邊的官兵通過在烽火臺(tái)上舉火向國(guó)內(nèi)報(bào)告，烽火臺(tái)上點(diǎn)火表示數(shù)字1，不點(diǎn)火表示數(shù)字0，這蘊(yùn)含了進(jìn)位制的思想．圖中的程序框圖的算法思路就源于我國(guó)古代戍邊官兵的“烽火傳信”．執(zhí)行該程序框圖，若輸入a＝110011，k＝2，n＝7，則輸出的b＝( )
A．19 B．31
C．51 D．63
【解析】 (1)按照程序框圖執(zhí)行，n＝6，S＝3sin 60°＝，不滿足條件S≥3.10，執(zhí)行循環(huán)；n＝12，S＝6sin 30°＝3，不滿足條件S≥3.10，執(zhí)行循環(huán)；n＝24，S＝12s
19、in 15°≈12×0.258 8＝3.105 6，滿足條件S≥3.10，跳出循環(huán)，輸出n的值為24，故選B．
(2)按照程序框圖執(zhí)行，b依次為0，1，3，3，3，19，51，當(dāng)b＝51時(shí)，i＝i＋1＝7，跳出循環(huán)，故輸出b＝51.故選C．
【答案】 (1)B (2)C
輾轉(zhuǎn)相除法、更相減損術(shù)、秦九韶算法、進(jìn)位制和割圓術(shù)都是課本上出現(xiàn)的算法案例．其中，更相減損術(shù)和秦九韶算法是中國(guó)古代的優(yōu)秀算法，課本上的進(jìn)位制案例原本不滲透中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化，但命題人巧妙地將烽火戍邊的故事作為背景，強(qiáng)化了試題的“文化育人”功能．
[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]
《九章算術(shù)》是中國(guó)古代的數(shù)學(xué)專著，其中的“更相減損術(shù)
20、”可以用來求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損，求其等也．以等數(shù)約之．”翻譯為現(xiàn)代語言如下：第一步，任意給定兩個(gè)正整數(shù)，判斷它們是否都是偶數(shù)．若是，用2約簡(jiǎn)；若不是，執(zhí)行第二步；第二步，以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把所得的差與較小的數(shù)比較，并以大數(shù)減小數(shù)．繼續(xù)這個(gè)操作，直到所得的數(shù)相等為止，則這個(gè)數(shù)(等數(shù))或這個(gè)數(shù)與約簡(jiǎn)的數(shù)的乘積就是所求的最大公約數(shù)．現(xiàn)給出“更相減損術(shù)”的程序框圖如圖所示，如果輸入的a＝114，b＝30，則輸出的n為( )
A．3 B．6
C．7 D．30
解析：選C．a(chǎn)＝114，b＝30，k＝1，n＝0，a，b
21、都是偶數(shù)，a＝57，b＝15，k＝2，a，b不滿足都為偶數(shù)，a＝b不成立，a>b成立，a＝57－15＝42，n＝0＋1＝1；a＝b不成立，a>b成立，a＝42－15＝27，n＝1＋1＝2；a＝b不成立，a>b成立，a＝27－15＝12，n＝2＋1＝3；a＝b不成立，a>b不成立，a＝15，b＝12，a＝15－12＝3，n＝3＋1＝4；a＝b不成立，a>b不成立，a＝12，b＝3，a＝12－3＝9，n＝4＋1＝5；a＝b不成立，a>b成立，a＝9－3＝6，n＝5＋1＝6；a＝b不成立，a>b成立，a＝6－3＝3，n＝6＋1＝7；a＝b成立，輸出的kb＝6，n＝7.
概率中的數(shù)學(xué)文化題
[
22、典型例題]
(1)齊王與田忌賽馬，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬，田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬，田忌的下等馬劣于齊王的下等馬，現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機(jī)選一匹馬進(jìn)行一場(chǎng)比賽，田忌獲勝的概率是( )
A． B．
C． D．
(2)太極圖是以黑白兩個(gè)魚形紋組成的圖案，它形象化地表達(dá)了陰陽(yáng)輪轉(zhuǎn)、相反相成是萬物生成變化根源的哲理，展現(xiàn)了一種相互轉(zhuǎn)化，相對(duì)統(tǒng)一的形式美．按照太極圖的構(gòu)圖方法，在平面直角坐標(biāo)系中，圓O被函數(shù)y＝3sin x的圖象分割為兩個(gè)對(duì)稱的魚形圖案，如圖所示，其中小圓的半徑均為1，現(xiàn)從大圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概
23、率為( )
A． B．
C． D．
【解析】 (1)從雙方的馬匹中隨機(jī)選一匹馬進(jìn)行一場(chǎng)比賽，對(duì)陣情況如下表：
齊王的馬
上
上
上
中
中
中
下
下
下
田忌的馬
上
中
下
上
中
下
上
中
下
雙方馬的對(duì)陣中，有3種對(duì)抗情況田忌能贏，所以田忌獲勝的概率P＝＝.故選A．
(2)函數(shù)y＝3sin x的圖象與x軸相交于點(diǎn)(6，0)和點(diǎn)(－6，0)，則大圓的半徑為6，面積為36π，而小圓的半徑為1，兩個(gè)小圓的面積和為2π，所以所求的概率是＝.故選B．
【答案】 (1)A (2)B
(1)本例(1)選取田忌賽馬這一為人熟知的故事
24、作為背景，考查了古典概型，趣味性很強(qiáng)，利于緩解考生在考場(chǎng)的緊張心理，體現(xiàn)了對(duì)考生的人文關(guān)懷．
(2)本例(2)以中國(guó)優(yōu)秀傳統(tǒng)文化太極圖為背景，考查幾何概型，角度新穎，所給圖形有利于考生分析問題和解決問題，給出了如何將抽象的數(shù)學(xué)問題形象化的范例．
[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]
1．我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中做出了重大貢獻(xiàn)．哥德巴赫猜想是“任一大于2的偶數(shù)都可寫成兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和”，如32＝13＋19.在不超過32的質(zhì)數(shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的概率是( )
A． B．
C． D．
解析：選C．不超過32的質(zhì)數(shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，共
25、11個(gè)，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，共有C＝55種不同的選法，因?yàn)?＋23＝11＋19＝13＋17＝30，所以隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的有3種選法，所以概率為，故選C．
2．(2019·廣州市綜合檢測(cè)(一))劉徽是我國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家，在其撰寫的《九章算術(shù)注》中首創(chuàng)“割圓術(shù)”．所謂“割圓術(shù)”，是用圓內(nèi)接正多邊形的面積去無限逼近圓面積并以此求取圓周率的方法．如圖所示，圓內(nèi)接正十二邊形的中心為圓心O，圓O的半徑為2，現(xiàn)隨機(jī)向圓O內(nèi)投放a粒豆子，其中有b粒豆子落在正十二邊形內(nèi)(a，b∈N*，b
26、°，則正十二邊形的面積為12××2×2×sin 30°＝12.又圓的半徑為2，所以圓的面積為4π，現(xiàn)向圓內(nèi)隨機(jī)投放a粒豆子，有b粒豆子落在正十二邊形內(nèi)，根據(jù)幾何概型可得＝，則π＝，選C．
一、選擇題
1．“干支紀(jì)年法”是中國(guó)自古以來就一直使用的紀(jì)年方法．干支是天干和地支的總稱．天干、地支互相配合，配成六十組為一周，周而復(fù)始，依次循環(huán)．甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十個(gè)符號(hào)為天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥為地支．如：公元1984年為農(nóng)歷甲子年、公元1985年為農(nóng)歷乙丑年，公元1986年為農(nóng)歷丙寅年．則2049年為農(nóng)歷( )
A．己亥年 B
27、．己巳年
C．己卯年 D．戊辰年
解析：選B．法一：由公元1984年為農(nóng)歷甲子年、公元1985年為農(nóng)歷乙丑年，公元1986年為農(nóng)歷丙寅年，可知以公元紀(jì)年的尾數(shù)在天干中找出對(duì)應(yīng)該尾數(shù)的天干，再將公元紀(jì)年除以12，用除不盡的余數(shù)在地支中查出對(duì)應(yīng)該余數(shù)的地支，這樣就得到了公元紀(jì)年的干支紀(jì)年.2049年對(duì)應(yīng)的天干為“己”，因其除以12的余數(shù)為9，所以2049年對(duì)應(yīng)的地支為“巳”，故2049年為農(nóng)歷己巳年．故選B．
法二：易知(年份－3)除以10所得的余數(shù)對(duì)應(yīng)天干，則2 049－3＝2 046，2 046除以10所得的余數(shù)是6，即對(duì)應(yīng)的天干為“己”．
(年份－3)除以12所得的余數(shù)對(duì)應(yīng)地支，則
28、2 049－3＝2 046，2 046除以12所得的余數(shù)是6，即對(duì)應(yīng)的地支為“巳”，所以2049年為農(nóng)歷己巳年．故選B．
2．北宋數(shù)學(xué)家沈括的主要成就之一為隙積術(shù)，所謂隙積，即“積之有隙”者，如累棋、層壇之類，這種長(zhǎng)方臺(tái)形狀的物體垛積．設(shè)隙積共n層，上底由a×b個(gè)物體組成，以下各層的長(zhǎng)、寬依次增加一個(gè)物體，最下層(即下底)由c×d 個(gè)物體組成，沈括給出求隙積中物體總數(shù)的公式為s＝[(2a＋c)b＋(2c＋a)d]＋(c－a)，其中a是上底長(zhǎng)，b是上底寬，c是下底長(zhǎng)，d是下底寬，n為層數(shù)．已知由若干個(gè)相同小球粘黏組成的隙積的三視圖如圖所示，則該隙積中所有小球的個(gè)數(shù)為( )
A．83
29、B．84
C．85 D．86
解析：選C．由三視圖知，n＝5，a＝3，b＝1，c＝7，d＝5，代入公式s＝[(2a＋c)b＋(2c＋a)d]＋(c－a)得s＝85，故選C．
3．中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)．”其意思為：“有一個(gè)人要走378里路，第一天健步行走，從第二天起，由于腳痛，每天走的路程都為前一天的一半，走了六天后(第六天剛好用完)到達(dá)目的地．”若將此問題改為“第6天到達(dá)目的地”，則此人第二天至少走了( )
A．96里 B．48里
C．72里 D．24里
解析：選A．根據(jù)題意知，此人每
30、天行走的路程構(gòu)成了公比為的等比數(shù)列．設(shè)第一天走a1里，則第二天走a2＝a1(里)．易知≥378，則a1≥192.
則第二天至少走96里．故選A．
4．《數(shù)術(shù)記遺》相傳是漢末徐岳(約公元2世紀(jì))所著，該書主要記述了：積算(即籌算)、太乙算、兩儀算、三才算、五行算、八卦算、九宮算、運(yùn)籌算、了知算、成數(shù)算、把頭算、龜算、珠算、計(jì)數(shù)共14種計(jì)算方法．某研究性學(xué)習(xí)小組3人分工搜集整理該14種計(jì)算方法的相關(guān)資料，其中一人4種，其余兩人每人5種，則不同的分配方法種數(shù)是( )
A． B．
C． D．CCC
解析：選A．先將14種計(jì)算方法分為三組，方法有種，再分配給3個(gè)人，方法有×A種．故選A．
31、
5．我國(guó)古代的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記載：一年有二十四個(gè)節(jié)氣，每個(gè)節(jié)氣晷(ɡuǐ)長(zhǎng)損益相同(晷是按照日影測(cè)定時(shí)刻的儀器，晷長(zhǎng)即為所測(cè)量影子的長(zhǎng)度)．二十四個(gè)節(jié)氣及晷長(zhǎng)變化如圖所示，相鄰兩個(gè)節(jié)氣晷長(zhǎng)的變化量相同，周而復(fù)始．若冬至晷長(zhǎng)一丈三尺五寸，夏至晷長(zhǎng)一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，則夏至之后的那個(gè)節(jié)氣(小暑)晷長(zhǎng)是( )
A．五寸 B．二尺五寸
C．三尺五寸 D．四尺五寸
解析：選B．設(shè)從夏至到冬至的晷長(zhǎng)依次構(gòu)成等差數(shù)列{an}，公差為d，a1＝15，a13＝135，則15＋12d＝135，解得d＝10.所以a2＝15＋10＝25，所以小暑
32、的晷長(zhǎng)是25寸．故選B．
6．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有勾五步，股一十二步，問勾中容圓，徑幾何？”其意思為：“已知直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為5步和12步，問其內(nèi)切圓的直徑為多少步？”現(xiàn)從該三角形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自內(nèi)切圓的概率是( )
A． B．
C． D．
解析：選C．因?yàn)樵撝苯侨切蝺芍苯沁呴L(zhǎng)分別為5步和12步，所以其斜邊長(zhǎng)為13步，設(shè)其內(nèi)切圓的半徑為r，則×5×12＝(5＋12＋13)r，解得r＝2.由幾何概型的概率公式，得此點(diǎn)取自內(nèi)切圓內(nèi)的概率P＝＝.故選C．
7．《周易》歷來被人們視作儒家群經(jīng)之首，它表現(xiàn)了古代中華民族對(duì)萬事萬物深刻而又
33、樸素的認(rèn)識(shí)，是中華人文文化的基礎(chǔ)，它反映出中國(guó)古代的二進(jìn)制計(jì)數(shù)的思想方法．我們用近代術(shù)語解釋為：把陽(yáng)爻“”當(dāng)作數(shù)字“1”，把陰爻“”當(dāng)作數(shù)字“0”，則八卦所代表的數(shù)表示如下：
卦名
符號(hào)
表示的二進(jìn)制數(shù)
表示的十進(jìn)制數(shù)
坤
000
0
艮
001
1
坎
010
2
巽
011
3
依次類推，則六十四卦中的“屯”卦，符號(hào)為“”，其表示的十進(jìn)制數(shù)是( )
A．33 B．34
C．36 D．35
解析：選B．由題意類推，可知六十四卦中的“屯”卦的符號(hào)“”表示的二進(jìn)制數(shù)為100010，轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)為0×20＋1×21＋0×22＋0×23
34、＋0×24＋1×25＝34.故選B．
8．《九章算術(shù)》中有如下問題：“今有賣牛二、羊五，以買一十三豕，有余錢一千；賣牛三、豕三，以買九羊，錢適足；賣六羊、八豕，以買五牛，錢不足六百，問牛、羊、豕價(jià)各幾何？”依上文，設(shè)牛、羊、豕每頭價(jià)格分別為x元、y元、z元，設(shè)計(jì)如圖所示的程序框圖，則輸出的x，y，z的值分別是( )
A．，600， B．1 200，500，300
C．1 100，400，600 D．300，500，1 200
解析：選B．根據(jù)程序框圖得：
①y＝300，z＝，x＝，i＝1，滿足i<3；
②y＝400，z＝，x＝，i＝2，滿足i<3；
③y＝500，z＝3
35、00，x＝1 200，i＝3，不滿足i<3；
故輸出的x＝1 200，y＝500，z＝300.故選B．
9．(2019·洛陽(yáng)市統(tǒng)考)如圖所示，三國(guó)時(shí)代數(shù)學(xué)家在《周脾算經(jīng)》中利用弦圖，給出了勾股定理的絕妙證明．圖中包含四個(gè)全等的直角三角形及一個(gè)小正方形(陰影)，設(shè)直角三角形有一個(gè)內(nèi)角為30°，若向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲200顆米粒(大小忽略不計(jì)，取≈1.732)，則落在小正方形(陰影)內(nèi)的米粒數(shù)大約為( )
A．20 B．27
C．54 D．64
解析：選B．設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為2，則小正方形的邊長(zhǎng)為－1，所以向弦圖內(nèi)隨機(jī)投擲一顆米粒，落入小正方形(陰影)內(nèi)的概率為＝1－，向弦圖內(nèi)隨機(jī)
36、拋擲200顆米粒，落入小正方形(陰影)內(nèi)的米粒數(shù)大約為200×(1－)≈27，故選B．
10．《算數(shù)書》竹簡(jiǎn)于上世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國(guó)現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍，其中記載有求“囷蓋”的術(shù)：“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．”該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長(zhǎng)L與高h(yuǎn)，計(jì)算其體積V的近似公式V≈L2h.它實(shí)際上是將圓錐體積公式中的圓周率π近似取為3.那么，近似公式V≈L2h相當(dāng)于將圓錐體積公式中的π近似取為( )
A． B．
C． D．
解析：選A．依題意，設(shè)圓錐的底面半徑為r，則V＝πr2h≈L2h＝(2πr)2h，化簡(jiǎn)得π≈.故
37、選A．
11．中國(guó)古代名詞“芻童”原來是草堆的意思，關(guān)于“芻童”體積計(jì)算的描述，《九章算術(shù)》注曰：“倍上袤，下袤從之．亦倍下袤，上袤從之．各以其廣乘之，并，以高乘之，六而一．”其計(jì)算方法是：將上底面的長(zhǎng)乘二，與下底面的長(zhǎng)相加，再與上底面的寬相乘；將下底面的長(zhǎng)乘二，與上底面的長(zhǎng)相加，再與下底面的寬相乘；把這兩個(gè)數(shù)值相加，與高相乘，再取其六分之一．已知一個(gè)“芻童”的下底面是周長(zhǎng)為18的矩形，上底面矩形的長(zhǎng)為3，寬為2，“芻童”的高為3，則該“芻童”的體積的最大值為( )
A． B．
C．39 D．
解析：選B．設(shè)下底面的長(zhǎng)為x，則下底面的寬為＝9－x.由題可知上底面矩形的長(zhǎng)為3，寬為
38、2，“芻童”的高為3，所以其體積V＝×3×[(3×2＋x)×2＋(2x＋3)(9－x)]＝－x2＋＋，故當(dāng)x＝時(shí)，體積取得最大值，最大值為－＋×＋＝.故選B．
12．在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑，如圖所示，鱉臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且BD⊥CD，AB＝BD＝CD，點(diǎn)P在棱AC上運(yùn)動(dòng)，設(shè)CP的長(zhǎng)度為x，若△PBD的面積為f(x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象大致是( )
解析：選A．如圖，作PQ⊥BC于Q，作QR⊥BD于R，連接PR，則PQ∥AB，QR∥CD.
因?yàn)镻Q⊥BD，又PQ∩QR＝Q，所以BD⊥平面PQR，所以BD⊥PR，即PR為△PB
39、D中BD邊上的高．
設(shè)AB＝BD＝CD＝1，則＝＝，即PQ＝，
又＝＝＝，所以QR＝，
所以PR＝＝＝，
所以f(x)＝＝，故選A．
二、填空題
13．古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過各種多邊形數(shù)．如三角形數(shù)1，3，6，10，…，第n個(gè)三角形數(shù)為＝n2＋n.記第n個(gè)k邊形數(shù)為N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個(gè)數(shù)的表達(dá)式：
三角形數(shù) N(n，3)＝n2＋n；
正方形數(shù) N(n，4)＝n2；
五邊形數(shù) N(n，5)＝n2－n；
六邊形數(shù) N(n，6)＝2n2－n；
……
可以推測(cè)N(n，k)的表達(dá)式，由此計(jì)算N(10，24)＝________．
解析
40、：易知n2前的系數(shù)為(k－2)，而n前的系數(shù)為(4－k)．
則N(n，k)＝(k－2)n2＋(4－k)n，
故N(10，24)＝×(24－2)×102＋×(4－24)×10＝1 000.
答案：1 000
14. (2019·湖南師大附中模擬)莊子說：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭．”這句話描述的是一個(gè)數(shù)列問題，現(xiàn)用程序框圖描述，如圖所示，若輸入某個(gè)正整數(shù)n后，輸出的S∈，則輸入的n的值為________．
解析：框圖中首先給累加變量S賦值0，給循環(huán)變量k賦值1，
輸入n的值后，執(zhí)行循環(huán)體，S＝，k＝1＋1＝2.
若2>n不成立，執(zhí)行循環(huán)體，S＝，k＝2＋1＝3.
若3>n
41、不成立，執(zhí)行循環(huán)體，S＝，k＝3＋1＝4.
若4>n不成立，執(zhí)行循環(huán)體，S＝，k＝4＋1＝5.
若5>n不成立，執(zhí)行循環(huán)體，S＝，k＝5＋1＝6.
若6>n不成立，執(zhí)行循環(huán)體，S＝，k＝6＋1＝7.
…
由輸出的S∈(，)，可得當(dāng)S＝，k＝6時(shí)，應(yīng)該滿足條件6>n，所以5≤n<6，故輸入的正整數(shù)n的值為5.
答案：5
15．我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有蒲生一日，長(zhǎng)三尺．莞生一日，長(zhǎng)一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．問幾何日而長(zhǎng)等？”意思是：“今有蒲草第1天長(zhǎng)高3尺，莞草第1天長(zhǎng)高1尺．以后，蒲草每天長(zhǎng)高前一天的一半，莞草每天長(zhǎng)高前一天的2倍．問第幾天蒲草和莞草的高度
42、相同？”根據(jù)上述的已知條件，可求得第________天時(shí)，蒲草和莞草的高度相同．(結(jié)果采取“只入不舍”的原則取整數(shù)，相關(guān)數(shù)據(jù)：lg 3≈0.477 1，lg 2≈0.301 0)．
解析：由題意得，蒲草的長(zhǎng)度組成首項(xiàng)為a1＝3，公比為的等比數(shù)列{an}，設(shè)其前n項(xiàng)和為An；莞草的長(zhǎng)度組成首項(xiàng)為b1＝1，公比為2的等比數(shù)列{bn}，設(shè)其前n項(xiàng)和為Bn.則An＝，Bn＝，令＝，化簡(jiǎn)得2n＋＝7(n∈N*)，解得2n＝6，所以n＝＝1＋≈3，即第3天時(shí)蒲草和莞草長(zhǎng)度相等．
答案：3
16．劉徽《九章算術(shù)注》記載：“邪解立方，得兩塹堵．邪解塹堵，其一為陽(yáng)馬，一為鱉臑．陽(yáng)馬居二，鱉臑居一，不易之率也．”意即把一長(zhǎng)方體沿對(duì)角面一分為二，這相同的兩
塊叫塹堵，沿塹堵的一頂點(diǎn)與其相對(duì)的面的對(duì)角線剖開成兩塊，大的叫陽(yáng)馬，小的叫鱉臑，兩者體積之比為定值2∶1，這一結(jié)論今稱劉徽原理．如圖是一個(gè)陽(yáng)馬的三視圖，則其外接球的體積為________．
解析：由三視圖得陽(yáng)馬是一個(gè)四棱錐，如圖中四棱錐P-ABCD，其中底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD且PA＝1，所以PC＝，PC是四棱錐P-ABCD的外接球的直徑，所以此陽(yáng)馬的外接球的體積為3＝.
答案：
- 21 -
（新課標(biāo)）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題八 數(shù)學(xué)文化及數(shù)學(xué)思想 第1講 數(shù)學(xué)文化學(xué)案 理 新人教A版
