《2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展 專題60 特殊值法解決二項(xiàng)式展開式系數(shù)問題》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展 專題60 特殊值法解決二項(xiàng)式展開式系數(shù)問題(8頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展 專題60 特殊值法解決二項(xiàng)式展開式系數(shù)問題
縱觀近幾年的高考試題,本節(jié)內(nèi)容考題比較靈活,熱點(diǎn)是通項(xiàng)公式的應(yīng)用,利用通項(xiàng)公式求特定項(xiàng)或特定的項(xiàng)的系數(shù),或已知某項(xiàng),求指數(shù)n,求參數(shù)的值等,難度控制在中等或中等以下.
對(duì)于二項(xiàng)式系數(shù)問題,往往利用“賦值法”.本專題在分析研究近幾年高考題及各地模擬題的基礎(chǔ)上,舉例說明.
1、含變量的恒等式:是指無論變量在已知范圍內(nèi)取何值,均可使等式成立.所以通常可對(duì)變量賦予特殊值得到一些特殊的等式或性質(zhì)
2、二項(xiàng)式展開式與原二項(xiàng)式呈恒等關(guān)系,所以可通過對(duì)變量賦特殊值得到有關(guān)系數(shù)(或二項(xiàng)式系數(shù))的等式
3、常用賦
2、值舉例:
(1)設(shè),
①令,可得:
②令,可得: ,即:
(假設(shè)為偶數(shù)),再結(jié)合①可得:
(2)設(shè)
① 令,則有:,即展開式系數(shù)和
② 令,則有:,即常數(shù)項(xiàng)
③ 令,設(shè)為偶數(shù),則有:
,即偶次項(xiàng)系數(shù)和與奇次項(xiàng)系數(shù)和的差
由①③即可求出和的值.
【經(jīng)典例題】
例1.【山東省2018年普通高校招生(春季)考試】在的展開式中,所有項(xiàng)的系數(shù)之和等于( )
A. 32 B. -32 C. 1 D. -1
【答案】D
【解析】分析:令x=y=1,則得所有項(xiàng)的系數(shù)之和.
詳解:令
3、x=y=1,則得所有項(xiàng)的系數(shù)之和為,
選D.
點(diǎn)睛:“賦值法”普遍適用于恒等式,是一種重要的方法,對(duì)形如的式子求其展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和,常用賦值法, 只需令即可;對(duì)形如的式子求其展開式各項(xiàng)系數(shù)之和,只需令即可.
例2.【2018年【衡水金卷】(四)】在二項(xiàng)式的展開式中,所有項(xiàng)的系數(shù)之和記為,第項(xiàng)的系數(shù)記為,若,則的值為( )
A. 2 B. C. 2或 D. 2或
【答案】D
例3.已知,則的值為( )
A. B. C. D.
【答案】B
【
4、解析】:本題雖然恒等式左側(cè)復(fù)雜,但仍然可通過對(duì)賦予特殊值得到系數(shù)的關(guān)系式,觀察所求式子特點(diǎn)可令,得到,只需再求出即可.令可得,所以
答案:B
例4.設(shè),則的值為( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】思路:所求,在恒等式中令可得:,令時(shí),所以
答案:A
例5. 【2018屆河南省鄭州市一模】在的展開式中,各項(xiàng)系數(shù)和與二項(xiàng)式系數(shù)和之比為3:2,則的系數(shù)為( )
A. 50 B. 70 C. 90 D. 120
【答案】C
令得.
所以的系數(shù)為.
5、選C.
例6.在的展開式中,所有奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和等于1024,則中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是( )
A. 462 B. 330 C. 682 D. 792
【答案】A
【解析】的展開式中,所有奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和等于,則中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是.
故選A
例7.【2018屆百校聯(lián)盟TOP20四月聯(lián)考】已知的展開式中所有偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為496,則展開式中第3項(xiàng)的系數(shù)為_______.
【答案】270
【解析】分析:利用賦值法得到兩式相減即
故答案為:270
例8.【2018屆浙江省諸暨市高三上期末】已知,則______;則__________.
【答案】 1
6、 60
【解析】令 得:1=
因?yàn)?,
所以
例9.【2018屆衡水金卷全國大聯(lián)考】已知的展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和、系數(shù)之和分別為,,則的最小值為__________.
【答案】16
【解析】顯然.令,得.
所以.
當(dāng)且僅當(dāng).即時(shí),取等號(hào),此時(shí)的最小值為16.
例10.若,則的值是( )
A. B. C. D.
【答案】D
令可得:
而在中,令可得:
答案:D
【精選精練】
1.【2018屆福建省莆田市第二次檢測(cè)】若()展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為32,
7、則其展開式的常數(shù)項(xiàng)為( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析:首先根據(jù)二項(xiàng)式定理中所涉及的二項(xiàng)式系數(shù)和為,結(jié)合題中條件,求得,將代入二項(xiàng)式,將其展開式的通項(xiàng)寫出,令冪指數(shù)為零,求得,再回代,求得結(jié)果,得到正確選項(xiàng).
詳解:根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和的性質(zhì),可知,解得,所以的展開式的通項(xiàng)為,令,解得,所以其展開式的常數(shù)項(xiàng)為,故選B.
2.【2018屆安徽省合肥市三?!恳阎归_式中的系數(shù)為,則展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為
A. 64 B. 32 C. D.
【答案】B
,解得,
二項(xiàng)式系數(shù)之和為,故選B.
點(diǎn)睛:
8、本題主要考查二項(xiàng)展開式定理的通項(xiàng)與系數(shù),屬于簡(jiǎn)單題. 二項(xiàng)展開式定理的問題也是高考命題熱點(diǎn)之一,關(guān)于二項(xiàng)式定理的命題方向比較明確,主要從以下幾個(gè)方面命題:(1)考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式;(可以考查某一項(xiàng),也可考查某一項(xiàng)的系數(shù))(2)考查各項(xiàng)系數(shù)和和各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和;(3)二項(xiàng)展開式定理的應(yīng)用.
3.【2018屆四川省雅安市三診】已知展開式的各個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)的和為,則的展開式中的系數(shù)( )
A. B. C. D.
【答案】A
故選A.
4.【2018屆河北衡水金卷模擬一】的展開式中剔除常數(shù)項(xiàng)后的各項(xiàng)系數(shù)和為( )
A. B. C.
9、 D.
【答案】A
【解析】令,得,而常數(shù)項(xiàng)為,所以展開式中剔除常數(shù)項(xiàng)的各項(xiàng)系數(shù)和為,故選A.
5.在的展開式中,各項(xiàng)系數(shù)的和是__________.
【答案】1.
【解析】分析:令,即可得到二項(xiàng)展開式的各項(xiàng)系數(shù)的和.
詳解:由題意,令,即可得到二項(xiàng)展開式的各項(xiàng)系數(shù)的和為.
點(diǎn)睛:本題主要考查了二項(xiàng)展開式各項(xiàng)系數(shù)的和求解,其中正確合理賦值是解答的關(guān)鍵,著重考查了分析問題和解答問題的能力.
6.【2018屆貴州省凱里市第一中學(xué)四?!慷?xiàng)式的展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32,則展開式中的第4項(xiàng)為__________.
【答案】
【解析】分析:先由
10、奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32確定n值,然后根據(jù)二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式求出第4項(xiàng)即可.
詳解:∵二項(xiàng)式的展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32,
∴,即
展開式中的第項(xiàng)為
故答案為:
7.【2018屆安徽省安慶市二?!咳绻恼归_式中各項(xiàng)系數(shù)之和為128,則展開式中的系數(shù)是______.
【答案】-189
8.若的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值之和為64,則__________;該展開式中的常數(shù)項(xiàng)是__________.
【答案】 3 -27
【解析】(1)因?yàn)橄禂?shù)的絕對(duì)值之和為64,則當(dāng)時(shí),有,所以;
(2),
所以,常數(shù)項(xiàng)為.
9.【2018屆北京市海淀區(qū)高三上期末】已
11、知展開式中,各項(xiàng)系數(shù)的和與各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和之比為,則__________.
【答案】6
【解析】令二項(xiàng)式中的x=1得到展開式中的各項(xiàng)系數(shù)的和4n
又各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和為2n
據(jù)題意得
解得n=6
故答案為:6
10.【2018屆浙江省杭州市學(xué)軍中學(xué)5月模擬】設(shè),則__________,__________.
【答案】 . 80.
點(diǎn)睛:(1)本題主要考查二項(xiàng)式定理求值,意在考查學(xué)生對(duì)該基礎(chǔ)知識(shí)的掌握能力和觀察分析能力.(2)本題解題的關(guān)鍵是 .
.
11.【騰遠(yuǎn)2018年浙江紅卷】已知的展開式中的系數(shù)為,則__________,此多項(xiàng)式的展開式中含的奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為__________.
【答案】 -2 -32
【解析】分析:由題意的,展開式中含的系數(shù)為,解得,
令,分別令和,則兩式相減,即可求解.
詳解:由題意的,展開式中含的系數(shù)為,解得,
令,
令,則;令,則,
兩式相減,則展開式中含奇次冪的系數(shù)之和為.
12.【2018年天津市河西區(qū)三模】設(shè),則 __________.
【答案】211