（魯京遼）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 1.2.2 第1課時(shí) 平行直線學(xué)案 新人教B版必修2

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1、（魯京遼）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 1.2.2 第1課時(shí) 平行直線學(xué)案 新人教B版必修2 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.掌握空間中兩條直線的位置關(guān)系，理解空間平行性的傳遞性.2.理解并掌握基本性質(zhì)4及等角公理． 知識(shí)點(diǎn)一　基本性質(zhì)4 1．文字表述：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．這一性質(zhì)叫做空間平行線的傳遞性． 2．符號(hào)表達(dá)：?a∥c. 知識(shí)點(diǎn)二　等角定理 思考　觀察圖，在長(zhǎng)方體ABCD—A′B′C′D′中，∠ADC與∠A′D′C′，∠ADC與∠D′A′B′的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，這兩組角的大小關(guān)系如何？ 答案　從圖中可以看出，∠ADC＝∠A′D′C′，∠AD

2、C＋∠D′A′B′＝180°. 梳理　等角定理 如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等． 知識(shí)點(diǎn)三　空間四邊形 順次連接不共面的四點(diǎn)A，B，C，D所構(gòu)成的圖形，叫做空間四邊形．這四個(gè)點(diǎn)中的各個(gè)點(diǎn)叫做空間四邊形的頂點(diǎn)；所連接的相鄰頂點(diǎn)間的線段叫做空間四邊形的邊；連接不相鄰的頂點(diǎn)的線段叫做空間四邊形的對(duì)角線．空間四邊形用表示頂點(diǎn)的四個(gè)字母表示． 1．若AB∥A′B′，AC∥A′C′，則∠BAC＝∠B′A′C′.(　×　) 2．沒有公共點(diǎn)的兩條直線是異面直線．(　×　) 3．若a，b是兩條直線，α，β是兩個(gè)平面，且a?α，b?β，則a，b是異面

3、直線．(　×　) 類型一　基本性質(zhì)4的應(yīng)用 例1　如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，E，F(xiàn)，G，H分別為PA，PB，PC，PD的中點(diǎn)，求證：四邊形EFGH是平行四邊形． 解　在△PAB中，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是PA，PB的中點(diǎn)， 所以EF∥AB，EF＝AB，同理GH∥DC，GH＝DC. 因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形， 所以AB∥CD，AB＝CD. 所以EF∥GH，EF＝GH. 所以四邊形EFGH是平行四邊形． 反思與感悟　證明兩條直線平行的兩種方法 (1)利用平行線的定義：證明兩條直線在同一平面內(nèi)且無(wú)公共點(diǎn)． (2)利用基本性質(zhì)4：尋找第三條直線

4、，然后證明這兩條直線都與所找的第三條直線平行，根據(jù)基本性質(zhì)4，顯然這兩條直線平行．若題設(shè)條件中含有中點(diǎn)，則常利用三角形的中位線性質(zhì)證明直線平行． 跟蹤訓(xùn)練1　如圖所示，E，F(xiàn)分別是長(zhǎng)方體A1B1C1D1－ABCD的棱A1A，C1C的中點(diǎn)． 求證：四邊形B1EDF是平行四邊形． 證明　設(shè)Q是DD1的中點(diǎn)，連接EQ，QC1. ∵E是AA1的中點(diǎn)， ∴EQ綊A1D1. 又在矩形A1B1C1D1中， A1D1綊B1C1， ∴EQ綊B1C1(基本性質(zhì)4)． ∴四邊形EQC1B1為平行四邊形， ∴B1E綊C1Q. 又∵Q，F(xiàn)是DD1，C1C的中點(diǎn)， ∴QD綊C1F. ∴四

5、邊形QDFC1為平行四邊形． ∴C1Q綊DF，∴B1E綊DF. ∴四邊形B1EDF為平行四邊形． 類型二　等角定理的應(yīng)用 例2　如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，M1分別是棱AD和A1D1的中點(diǎn)． 求證：(1)四邊形BB1M1M為平行四邊形； (2)∠BMC＝∠B1M1C1. 證明　(1)在正方形ADD1A1中，M，M1分別為AD，A1D1的中點(diǎn)， ∴A1M1綊AM， ∴四邊形AMM1A1是平行四邊形， ∴A1A綊M1M. 又∵A1A綊B1B，∴M1M綊B1B， ∴四邊形BB1M1M為平行四邊形． (2)由(1)知四邊形BB1M1M為平行四邊形，

6、∴B1M1∥BM. 同理可得四邊形CC1M1M為平行四邊形， ∴C1M1∥CM. 由平面幾何知識(shí)可知， ∠BMC和∠B1M1C1都是銳角． ∴∠BMC＝∠B1M1C1. 反思與感悟　有關(guān)證明角相等問(wèn)題，一般采用下面三種途徑 (1)利用等角定理及其推論． (2)利用三角形相似． (3)利用三角形全等．本例是通過(guò)第一種途徑來(lái)實(shí)現(xiàn)的． 跟蹤訓(xùn)練2　已知棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是棱CD，AD的中點(diǎn)．求證： (1)四邊形MNA1C1是梯形； (2)∠DNM＝∠D1A1C1. 證明　(1)如圖，連接AC， 在△ACD中， ∵M(jìn)，N分別是CD

7、，AD的中點(diǎn)， ∴MN是△ACD的中位線， ∴MN∥AC，MN＝AC. 由正方體的性質(zhì)，得AC∥A1C1，AC＝A1C1. ∴MN∥A1C1，且MN＝A1C1，即MN≠A1C1， ∴四邊形MNA1C1是梯形． (2)由(1)可知MN∥A1C1，又∵ND∥A1D1， ∴∠DNM與∠D1A1C1相等或互補(bǔ)． 而∠DNM與∠D1A1C1均是直角三角形的一個(gè)銳角， ∴∠DNM＝∠D1A1C1. 類型三　空間四邊形的認(rèn)識(shí) 例3　如圖，設(shè)E，F(xiàn)，G，H分別是四面體A－BCD的棱AB，BC，CD，DA上的點(diǎn)，且＝＝λ，＝＝μ，求證： (1)當(dāng)λ＝μ時(shí)，四邊形EFGH是平行四邊形；

8、 (2)當(dāng)λ≠μ時(shí)，四邊形EFGH是梯形． 證明　(1)∵＝＝λ，∴EH∥BD，∴＝λ. 同理，GF∥BD，＝μ. 又∵λ＝μ，∴EH＝GF，∴EH綊GF. ∴四邊形EFGH是平行四邊形． (2)由(1)知EH∥GF，又∵λ≠μ，∴EH≠GF. ∴四邊形EFGH是梯形． 反思與感悟　因空間圖形往往包含平面圖形，在解題時(shí)容易混淆，所以把相似的概念辨析一下，區(qū)分異同，有利于解題時(shí)不出錯(cuò)，如本例中明確給出了“空間四邊形ABCD”，不包含平面四邊形，說(shuō)明“A，B，C，D四點(diǎn)必不共面”，不能因直觀圖中AD與BC看似平行的關(guān)系認(rèn)為它們是平行的． 跟蹤訓(xùn)練3　已知空間四邊形ABCD中，AB

9、≠AC，BD＝BC，AE是△ABC的邊BC上的高，DF是△BCD的邊BC上的中線，判定AE與DF的位置關(guān)系． 解　由已知，得E，F(xiàn)不重合． 設(shè)△BCD所在平面為α， 則DF?α，A?α，E∈α，E?DF， 所以AE與DF異面． 1．直線a∥b，直線b與c相交，則直線a，c一定不存在的位置關(guān)系是(　　) A．相交 B．平行 C．異面 D．無(wú)法判斷 答案　B 解析　如圖，a與c相交或異面． 2．下列四個(gè)結(jié)論中假命題的個(gè)數(shù)是(　　) ①垂直于同一直線的兩條直線互相平行； ②平行于同一直線的兩直線平行； ③若直線a，b，c滿足a∥b，b⊥c，則a⊥c； ④若直線

10、l1，l2是異面直線，則與l1，l2都相交的兩條直線是異面直線． A．1 B．2 C．3 D．4 答案　B 解析?、佗芫鶠榧倜}．①可舉反例，如a、b、c三線兩兩垂直．④如圖甲時(shí)，c、d與異面直線l1、l2交于四個(gè)點(diǎn)，此時(shí)c、d異面；當(dāng)點(diǎn)A在直線l1上運(yùn)動(dòng)(其余三點(diǎn)不動(dòng))時(shí)，會(huì)出現(xiàn)點(diǎn)A與B重合的情形，如圖乙所示，此時(shí)c、d共面相交． 3．下列結(jié)論正確的是(　　) A．若兩個(gè)角相等，則這兩個(gè)角的兩邊分別平行 B．空間四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)可以在一個(gè)平面內(nèi) C．空間四邊形的兩條對(duì)角線可以相交 D．空間四邊形的兩條對(duì)角線不相交 答案　D 解析　空間四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)不在同一平面

11、上，所以它的對(duì)角線不相交，否則四個(gè)頂點(diǎn)共面，故選D. 4．下面三個(gè)命題，其中正確的個(gè)數(shù)是(　　) ①三條相互平行的直線必共面； ②兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形； ③若四邊形有一組對(duì)角都是直角，則這個(gè)四邊形是圓的內(nèi)接四邊形． A．1 B．2 C．3 D．0 答案　D 解析　空間中三條平行線不一定共面，故①錯(cuò)；當(dāng)把正方形沿對(duì)角線折成空間四邊形，這時(shí)滿足兩組對(duì)邊分別相等，也滿足有一組對(duì)角都是直角，故②、③都錯(cuò)，故選D. 5．兩個(gè)三角形不在同一平面內(nèi)，它們的邊兩兩對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)三角形(　　) A．全等 B．不相似 C．僅有一個(gè)角相等 D．相似 答案　D

12、 解析　由等角定理知，這兩個(gè)三角形的三個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等，故選D. 1．判定兩直線的位置關(guān)系的依據(jù)就在于兩直線平行、相交、異面的定義．很多情況下，定義就是一種常用的判定方法．另外，我們解決空間有關(guān)線線問(wèn)題時(shí)，不要忘了我們生活中的模型，比如說(shuō)教室就是一個(gè)長(zhǎng)方體模型，里面的線線關(guān)系非常豐富，我們要好好地利用它，它是我們培養(yǎng)空間想象能力的好工具． 3．注意：等角定理的逆命題不成立． 一、選擇題 1．已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，則∠PQR等于(　　) A．30° B．30°或150° C．150° D．以上結(jié)論都不對(duì) 答案　B 解析　由等角定理可

13、知∠PQR與∠ABC相等或互補(bǔ)，故答案為B. 2．分別和兩條異面直線平行的兩條直線的位置關(guān)系是(　　) A．一定平行 B．一定相交 C．一定異面 D．相交或異面 答案　D 3．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA與O1A1的方向相同，則下列結(jié)論中正確的是(　　) A．OB∥O1B1且方向相同 B．OB∥O1B1 C．OB與O1B1不平行 D．OB與O1B1不一定平行 答案　D 解析　等角定理的實(shí)質(zhì)是角的平移，其逆命題不一定成立，OB與O1B1有可能平行，也可能不在同一平面內(nèi)，位置關(guān)系不確定． 4．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是平

14、面AA1D1D、平面CC1D1D的中心，G，H分別是線段AB，BC的中點(diǎn)，則直線EF與直線GH的位置關(guān)系是(　　) A．相交 B．異面 C．平行 D．垂直 答案　C 解析　如圖，連接AD1，CD1，AC，則E，F(xiàn)分別為AD1，CD1的中點(diǎn)．由三角形的中位線定理知，EF∥AC，GH∥AC，所以EF∥GH，故選C. 5．正方體ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分別為AA1，CC1的中點(diǎn)，則四邊形D1PBQ是(　　) A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．空間四邊形 答案　B 解析　設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，直接計(jì)算可知四邊形D1PBQ各邊均為，又D1PBQ是平行四邊形

15、，所以四邊形D1PBQ是菱形． 6.已知在正方體ABCD－A1B1C1D1中(如圖)，l?平面A1B1C1D1，且l與B1C1不平行，則下列一定不可能的是(　　) A．l與AD平行 B．l與AD不平行 C．l與AC平行 D．l與BD垂直 答案　A 解析　假設(shè)l∥AD，則由AD∥BC∥B1C1知，l∥B1C1，這與l與B1C1不平行矛盾，所以l與AD不平行． 7．長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1的12條棱中，所在直線與棱AA1所在直線垂直的共有(　　) A．6條 B．8條 C．10條 D．12條 答案　B 解析　所在直線與棱AA1所在直線垂直的有AB，BC，CD，

16、DA，A1B1，B1C1，C1D1，D1A1，共8條． 8．異面直線a，b，有a?α，b?β且α∩β＝c，則直線c與a，b的關(guān)系是(　　) A．c與a，b都相交 B．c與a，b都不相交 C．c至多與a，b中的一條相交 D．c至少與a，b中的一條相交 答案　D 解析　若c與a，b都不相交，∵c與a在α內(nèi)，∴a∥c. 又c與b都在β內(nèi)，∴b∥c. 由基本性質(zhì)4，可知a∥b，與已知條件矛盾． 如圖，只有以下三種情況． 二、填空題 9．空間兩個(gè)角α、β，且α與β的兩邊對(duì)應(yīng)平行且α＝60°，則β＝________. 答案　60°或120° 10．在正方體ABCD—A1B1

17、C1D1中，判斷下列直線的位置關(guān)系： (1)直線A1B與直線D1C的位置關(guān)系是________； (2)直線A1B與直線B1C的位置關(guān)系是________； (3)直線D1D與直線D1C的位置關(guān)系是________； (4)直線AB與直線B1C的位置關(guān)系是________． 答案　(1)平行　(2)異面　(3)相交　(4)異面 11．a(chǎn)，b，c是空間中三條直線，下面給出幾個(gè)說(shuō)法： ①若a∥b，b∥c，則a∥c； ②若a與b相交，b與c相交，則a與c也相交； ③若a，b分別在兩個(gè)相交平面內(nèi)，則這兩條直線不可能平行． 則上述說(shuō)法中正確的為________．(僅填序號(hào)) 答案　

18、① 解析　由基本性質(zhì)4知①正確． 若a與b相交，b與c相交，則a與c可能平行，也可能相交或異面，②錯(cuò)誤； 若平面α∩β＝l，a?α，b?β，a∥l，b∥l，則a∥b，③錯(cuò)誤． 三、解答題 12.如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中的面A1C1內(nèi)有一點(diǎn)P，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P作棱BC的平行線，應(yīng)該怎樣畫？并說(shuō)明理由． 解　如圖所示，在面A1C1內(nèi)過(guò)點(diǎn)P作直線EF∥B1C1，交A1B1于點(diǎn)E，交C1D1于點(diǎn)F，則直線EF即為所求． 理由：因?yàn)镋F∥B1C1，BC∥B1C1，所以EF∥BC. 13.如圖所示，兩個(gè)三角形△ABC和△A′B′C′的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線AA′，BB′，CC

19、′交于同一點(diǎn)O，且＝＝＝. (1)證明：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′； (2)求的值． (1)證明　∵AA′與BB′相交于O點(diǎn)， 且＝，∴AB∥A′B′. 同理AC∥A′C′，BC∥B′C′. (2)解　∵AB∥A′B′，AC∥A′C′且AB和A′B′，AC和A′C′的方向相反， ∴∠BAC＝∠B′A′C′. 同理∠ABC＝∠A′B′C′， 因此△ABC∽△A′B′C′， 又＝＝. ∴＝2＝. 四、探究與拓展 14.如圖所示，已知三棱錐A－BCD中，M，N分別為AB，CD的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．MN≥(AC＋BD) B．M

20、N≤(AC＋BD) C．MN＝(AC＋BD) D．MN<(AC＋BD) 答案　D 解析　如圖所示，取BC的中點(diǎn)E，連接ME，NE，則ME＝AC， NE＝BD， 所以ME＋NE＝(AC＋BD)． 在△MNE中，有ME＋NE>MN， 所以MN<(AC＋BD)． 15.如圖所示，四邊形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊AD，BE綊FA，G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點(diǎn)． (1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形； (2)判斷C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)是否共面？為什么？ (1)證明　由已知FG＝GA，F(xiàn)H＝HD， 可得GH綊AD.又BC綊AD，∴GH綊BC， ∴四邊形BCHG為平行四邊形． (2)解　由BE綊AF，G為FA的中點(diǎn)知，BE綊FG， ∴四邊形BEFG為平行四邊形，∴EF∥BG. 由(1)知BG綊CH，∴EF∥CH，∴EF與CH共面． 又D∈FH，∴C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面．