(魯京遼)2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 1.2.3 第1課時(shí) 直線與平面垂直學(xué)案 新人教B版必修2
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1、(魯京遼)2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 1.2.3 第1課時(shí) 直線與平面垂直學(xué)案 新人教B版必修2 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.理解直線與平面垂直的定義及性質(zhì).2.掌握直線與平面垂直的判定定理及推論,并會(huì)利用定理及推論解決相關(guān)的問題. 知識(shí)點(diǎn)一 直線與平面垂直的定義及性質(zhì) (1)直線與直線垂直 如果兩條直線相交于一點(diǎn)或經(jīng)過平移后相交于一點(diǎn),并且交角為直角,則稱這兩條直線互相垂直. (2)直線與平面垂直的定義及性質(zhì) 定義及符號(hào)表示 圖形語(yǔ)言及畫法 有關(guān)名稱 重要結(jié)論 如果一條直線(AB)和一個(gè)平面(α)相交于點(diǎn)O,并且和這個(gè)平面內(nèi)過交點(diǎn)(O)的任何直線都垂直.我
2、們就說這條直線和這個(gè)平面互相垂直,記作AB⊥α 把直線AB畫成和表示平面的平行四邊形的一邊垂直 直線AB:平面α的垂線;平面α:直線AB的垂面;點(diǎn)O:垂足;線段AO:點(diǎn)A到平面α的垂線段;線段AO的長(zhǎng):點(diǎn)A到平面α的距離 如果一條直線垂直于一個(gè)平面,那么它就和平面內(nèi)的任意一條直線垂直 知識(shí)點(diǎn)二 直線和平面垂直的判定定理及推論 將一塊三角形紙片ABC沿折痕AD折起,將翻折后的紙片豎起放置在桌面上(BD,DC與桌面接觸).觀察折痕AD與桌面的位置關(guān)系. 思考1 折痕AD與桌面一定垂直嗎? 答案 不一定. 思考2 當(dāng)折痕AD滿足什么條件時(shí),AD與桌面垂直? 答案 當(dāng)
3、AD⊥BD且AD⊥CD時(shí),折痕AD與桌面垂直. 梳理 直線與平面垂直的判定定理及推論 定理及推論 文字語(yǔ)言 圖形語(yǔ)言 符號(hào)語(yǔ)言 判定定理 條件:一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直, 結(jié)論:這條直線與這個(gè)平面垂直 ?a⊥α 推論1 條件:兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面, 結(jié)論:另一條直線也垂直于這個(gè)平面 ?m⊥α 推論2 條件:兩條直線垂直于同一個(gè)平面, 結(jié)論:這兩條直線平行 ?l∥m 1.若直線l⊥平面α,則l與平面α內(nèi)的直線可能相交,可能異面,也可能平行.( × ) 2.若直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直,則l⊥α.( × )
4、3.若a⊥b,b⊥α,則a∥α.( × ) 類型一 直線與平面垂直的判定 例1 如圖,已知PA垂直于⊙O所在的平面,AB是⊙O的直徑,C是⊙O上任意一點(diǎn),求證:BC⊥平面PAC. 證明 ∵PA⊥平面ABC, ∴PA⊥BC. 又∵AB是⊙O的直徑,∴BC⊥AC. 而PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC. 引申探究 若本例中其他條件不變,作AE⊥PC交PC于點(diǎn)E,求證:AE⊥平面PBC. 證明 由例1知BC⊥平面PAC, 又∵AE?平面PAC,∴BC⊥AE. ∵PC⊥AE,且PC∩BC=C, ∴AE⊥平面PBC. 反思與感悟 利用線面垂直的判定定理證明線面垂直的步
5、驟 (1)在這個(gè)平面內(nèi)找兩條直線,使它和這條直線垂直. (2)確定這個(gè)平面內(nèi)的兩條直線是相交的直線. (3)根據(jù)判定定理得出結(jié)論. 跟蹤訓(xùn)練1 如圖,直角△ABC所在平面外一點(diǎn)S,且SA=SB=SC,點(diǎn)D為斜邊AC的中點(diǎn). (1)求證:SD⊥平面ABC; (2)若AB=BC,求證:BD⊥平面SAC. 證明 (1)因?yàn)镾A=SC,D為AC的中點(diǎn), 所以SD⊥AC. 在Rt△ABC中,AD=DC=BD, 又因?yàn)镾B=SA,SD=SD, 所以△ADS≌BDS. 所以SD⊥BD. 又AC∩BD=D, 所以SD⊥平面ABC. (2)因?yàn)锽A=BC,D為AC的中點(diǎn),所以B
6、D⊥AC. 又由(1)知SD⊥平面ABC,所以SD⊥BD. 于是BD垂直于平面SAC內(nèi)的兩條相交直線, 所以BD⊥平面SAC. 類型二 線面垂直的性質(zhì)的應(yīng)用 例2 如圖所示,在正方體A1B1C1D1-ABCD中,EF與異面直線AC,A1D都垂直相交.求證:EF∥BD1. 證明 如圖,連接AB1,B1C,BD,B1D1. ∵DD1⊥平面ABCD,AC?平面ABCD, ∴DD1⊥AC. 又AC⊥BD,DD1∩BD=D,∴AC⊥平面BDD1B1, ∴AC⊥BD1. 同理,BD1⊥B1C,∴BD1⊥平面AB1C. ∵EF⊥A1D,且A1D∥B1C,∴EF⊥B1C. 又
7、∵EF⊥AC,AC∩B1C=C, ∴EF⊥平面AB1C,∴EF∥BD1. 反思與感悟 平行關(guān)系與垂直關(guān)系之間的相互轉(zhuǎn)化 跟蹤訓(xùn)練2 如圖,已知平面α∩平面β=l,EA⊥α,垂足為A,EB⊥β,垂足為B,直線a?β,a⊥AB.求證:a∥l. 證明 因?yàn)镋A⊥α,α∩β=l, 即l?α,所以l⊥EA. 同理l⊥EB, 又EA∩EB=E, 所以l⊥平面EAB. 因?yàn)镋B⊥β,a?β, 所以EB⊥a, 又a⊥AB,EB∩AB=B, 所以a⊥平面EAB.因此,a∥l. 類型三 線面垂直的綜合應(yīng)用 例3 如圖所示,已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M,N分別是AB,P
8、C的中點(diǎn),求證:MN⊥CD. 證明 如圖,取PD的中點(diǎn)E,連接AE,NE, 因?yàn)镹為PC的中點(diǎn), 則NE∥CD,NE=CD, 又因?yàn)锳M∥CD,AM=CD, 所以AM∥NE,AM=NE, 即四邊形AMNE是平行四邊形, 所以MN∥AE. 因?yàn)镻A⊥矩形ABCD所在平面, 所以PA⊥CD, 又四邊形ABCD為矩形, 所以AD⊥CD,又PA∩AD=A, 所以CD⊥平面PAD,AE?平面PAD, 所以CD⊥AE,所以MN⊥CD. 反思與感悟 若已知一條直線和某個(gè)平面垂直,證明這條直線和另一條直線平行,可利用線面垂直的性質(zhì)定理,證明另一條直線和這個(gè)平面垂直,
9、證明時(shí)注意利用正方形、平行四邊形及三角形中位線的有關(guān)性質(zhì). 跟蹤訓(xùn)練3 如圖,△ABC是正三角形,AE和CD都垂直于平面ABC,且AE=AB=2a,CD=a,F(xiàn)是BE的中點(diǎn),求證: (1)DF∥平面ABC; (2)AF⊥BD. 證明 (1)取AB的中點(diǎn)G,連接FG,CG, 可得FG∥AE,F(xiàn)G=AE. ∵CD⊥平面ABC,AE⊥平面ABC, ∴CD∥AE. 又∵CD=AE, ∴FG∥CD,F(xiàn)G=CD. ∴FG⊥平面ABC, ∴四邊形CDFG是矩形,DF∥CG. 又∵CG?平面ABC,DF?平面ABC, ∴DF∥平面ABC. (2)在Rt△ABE中,∵AE=A
10、B,F(xiàn)為BE的中點(diǎn), ∴AF⊥BE. ∵△ABC是正三角形, ∴CG⊥AB,∴DF⊥AB. ∵AE⊥平面ABC,CG?平面ABC, ∴AE⊥CG,∴AE⊥DF. 且AE∩AB=A,∴DF⊥平面ABE, ∵AF?平面ABE,∴AF⊥DF. ∵BE∩DF=F,BE?平面BDE,DF?平面BDE, ∴AF⊥平面BDE,∴AF⊥BD. 1.如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的下列各種情況,能保證該直線與平面垂直的是( ) ①三角形的兩邊;②梯形的兩邊;③圓的兩條直徑;④正六邊形的兩條邊. A.①③ B.② C.②④ D.①②④ 答案 A 解析 由線面垂直的判定定理知,
11、直線垂直于①③圖形所在的平面.而②④圖形中的兩邊不一定相交,故該直線與它們所在的平面不一定垂直. 2.空間中直線l和三角形的兩邊AC,BC同時(shí)垂直,則這條直線和三角形的第三邊AB的位置關(guān)系是( ) A.平行 B.垂直 C.相交 D.不確定 答案 B 解析 由于直線l和三角形的兩邊AC,BC同時(shí)垂直,而這兩邊相交于點(diǎn)C,所以直線l和三角形所在的平面垂直,又因三角形的第三邊AB在這個(gè)平面內(nèi),所以l⊥AB. 3.下列條件中,能使直線m⊥平面α的是( ) A.m⊥b,m⊥c,b⊥α,c⊥α B.m⊥b,b∥α C.m∩b=A,b⊥α D.m∥b,b⊥α 答案 D
12、 解析 由直線與平面垂直的判定定理的推論1知,選項(xiàng)D正確. 4.如圖,設(shè)平面α∩β=EF,AB⊥α,CD⊥α,垂足分別是B,D,BD⊥EF,則AC與EF的位置關(guān)系是________. 答案 垂直 解析 ∵AB⊥α,CD⊥α,∴AB∥CD, 故直線AB與CD確定一個(gè)平面. ∵AB⊥α,EF?α,∴AB⊥EF, 又BD⊥EF,AB∩BD=B, ∴EF⊥平面ABDC. ∵AC?平面ABDC,∴AC⊥EF. 5.如圖,在正方體ABCD—A1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別是棱AB,BC的中點(diǎn),O是底面ABCD的中心,求證:EF⊥平面BB1O. 證明 ∵ABCD為正方形, ∴AC
13、⊥BO. 又∵BB1⊥平面ABCD,AC?平面ABCD, ∴AC⊥BB1, 又∵BO∩BB1=B,∴AC⊥平面BB1O, 又EF是△ABC的中位線, ∴EF∥AC, ∴EF⊥平面BB1O. 1.直線與平面垂直的判定方法: (1)利用定義; (2)利用判定定理,其關(guān)鍵是在平面內(nèi)找兩條相交直線. 2.對(duì)于線面垂直的性質(zhì)定理(推論2)的理解: (1)直線與平面垂直的性質(zhì)定理(推論2)給出了判定兩條直線平行的另一種方法. (2)定理揭示了空間中“平行”與“垂直”關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系,提供了“垂直”與“平行”關(guān)系轉(zhuǎn)化的依據(jù). 一、選擇題 1.若三條直線OA,OB,OC兩兩垂
14、直,則直線OA垂直于( ) A.平面OAB B.平面OAC C.平面OBC D.平面ABC 答案 C 解析 ∵OA⊥OB,OA⊥OC且OB∩OC=O, ∴OA⊥平面OBC. 2.直線a⊥直線b,直線b⊥平面β,則a與β的關(guān)系是( ) A.a(chǎn)⊥β B.a(chǎn)∥β C.a(chǎn)?β D.a(chǎn)?β或a∥β 答案 D 解析 若a?β,b⊥平面β,可證得a⊥b; 若a∥β,過a作平面α,α∩β=c,b⊥平面β,c?β, 則b⊥c,a∥c, 于是b⊥a.故答案為D. 3.已知空間四邊形ABCD的四邊相等,則它的兩對(duì)角線AC,BD的關(guān)系是( ) A.垂直且相交 B.相交
15、但不一定垂直 C.垂直但不相交 D.不垂直也不相交 答案 C 解析 如圖,取BD中點(diǎn)O, 連接AO,CO, 則BD⊥AO,BD⊥CO,AO∩OC=O, ∴BD⊥平面AOC,BD⊥AC, 又BD與AC異面,故選C. 4.如圖所示,定點(diǎn)A和B都在平面α內(nèi),定點(diǎn)P?α,PB⊥α,C是平面α內(nèi)異于A和B的動(dòng)點(diǎn),且PC⊥AC,則△ABC為( ) A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.無法確定 答案 B 解析 易證AC⊥面PBC,所以AC⊥BC. 5.如圖,在正方形ABCD中,E,F(xiàn)分別為邊BC,CD的中點(diǎn),H是EF的中點(diǎn).現(xiàn)沿AE,AF,EF把這個(gè)正方形
16、折成一個(gè)幾何體,使B,C,D三點(diǎn)重合于點(diǎn)G,則下列結(jié)論中成立的是( )
A.AG⊥平面EFG B.AH⊥平面EFG
C.GF⊥平面AEF D.GH⊥平面AEF
答案 A
解析 ∵AG⊥GF,AG⊥GE,GF∩GE=G,
∴AG⊥平面EFG.
6.已知直線PG⊥平面α于G,直線EF?α,且PF⊥EF于F,那么線段PE,PF,PG的大小關(guān)系是( )
A.PE>PG>PF B.PG>PF>PE
C.PE>PF>PG D.PF>PE>PG
答案 C
解析 由于PG⊥平面α于G,PF⊥EF,
∴PG最短,PF 17、C所在平面外一點(diǎn),且PA,PB,PC兩兩垂直,則下列命題:
①PA⊥BC;②PB⊥AC;③PC⊥AB;④AB⊥BC.
其中正確的是( )
A.①②③ B.①②④
C.②③④ D.①②③④
答案 A
解析 由PA,PB,PC兩兩垂直可得PA⊥平面PBC;PB⊥平面PAC;PC⊥平面PAB,
所以PA⊥BC;
PB⊥AC;PC⊥AB,①②③正確.④錯(cuò)誤.
因?yàn)槿鬉B⊥BC,則由PA⊥平面PBC,得PA⊥BC,
又PA∩AB=A,所以BC⊥平面PAB,
又PC⊥平面PAB,
這與過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直矛盾.
二、填空題
8.已知直線l,a,b, 18、平面α,若要得到結(jié)論l⊥α,則需要在條件a?α,b?α,l⊥a,l⊥b中另外添加的一個(gè)條件是________________.
答案 a與b相交
9.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是棱AA1和AB上的點(diǎn),若∠B1MN是直角,則∠C1MN=______.
答案 90°
解析 ∵B1C1⊥平面ABB1A1,∴B1C1⊥MN.
又∵M(jìn)N⊥B1M,B1C1∩B1M=B1,∴MN⊥平面C1B1M.
又C1M?平面C1B1M,
∴MN⊥C1M,∴∠C1MN=90°.
10.如圖所示,PA⊥平面ABC,△ABC中BC⊥AC,則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)為______ 19、__.
答案 4
解析 ??BC⊥平面PAC?BC⊥PC,
∴直角三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC.
11.如圖,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足條件________時(shí),有A1C⊥B1D1.(注:填上你認(rèn)為正確的一種即可,不必考慮所有可能的情形)
答案 BD⊥AC(答案不唯一)
解析 要找底面四邊形ABCD所滿足的條件,使A1C⊥B1D1,可從結(jié)論A1C⊥B1D1入手.
∵A1C⊥B1D1,BD∥B1D1,∴A1C⊥BD.
又∵AA1⊥BD,而AA1∩A1C=A1,AA1?平面A1AC,A1C?平面A1AC,∴BD⊥平面A1 20、AC,∴BD⊥AC.此題答案不唯一.
三、解答題
12.如圖所示,在正方體ABCD—A1B1C1D1中,M是AB上一點(diǎn),N是A1C的中點(diǎn),MN⊥平面A1DC.
求證:(1)MN∥AD1;
(2)M是AB的中點(diǎn).
證明 (1)∵ADD1A1為正方形,
∴AD1⊥A1D.
又∵CD⊥平面ADD1A1,∴CD⊥AD1.
∵A1D∩CD=D,∴AD1⊥平面A1DC.
又∵M(jìn)N⊥平面A1DC,
∴MN∥AD1.
(2)連接ON,在△A1DC中,A1O=OD,A1N=NC.
∴ON綊CD綊AB,
∴ON∥AM.
又∵M(jìn)N∥OA,
∴四邊形AMNO為平行四邊形,∴ON= 21、AM.
∵ON=AB,∴AM=AB,∴M是AB的中點(diǎn).
13.如圖所示,在△ABC中,∠ABC為直角,P是△ABC所在平面外一點(diǎn),且PA=PB,PB⊥BC.若M是PC的中點(diǎn),試確定AB上點(diǎn)N的位置,使得MN⊥AB.
解 因?yàn)镃B⊥AB,CB⊥PB,AB∩PB=B,
所以CB⊥平面APB.
過M作ME∥CB,則ME⊥平面APB,
所以ME⊥AB.
若MN⊥AB,因?yàn)镸E∩MN=M,
則AB⊥平面MNE,所以AB⊥EN.
取AB中點(diǎn)D,連接PD,
因?yàn)镻A=PB,所以PD⊥AB,
所以NE∥PD.
又M為PC的中點(diǎn),ME∥BC,
所以E為PB的中點(diǎn).
因?yàn)镋N∥ 22、PD,所以N為BD的中點(diǎn),
故當(dāng)N為AB的四等分點(diǎn)(AN=3BN)時(shí),MN⊥AB.
四、探究與拓展
14.在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,PA⊥平面ABC,PA=8,則P到BC的距離是( )
A. B.2 C.3 D.4
答案 D
解析 如圖所示,作PD⊥BC于D,連接AD.
∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC.
又PA∩PD=P,∴BC⊥平面PAD,
∴AD⊥BC.
在△ACD中,AC=5,CD=3,
∴AD=4.
在Rt△PAD中,PA=8,AD=4,
∴PD==4.
15.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=1,∠ACB=90 23、°,AA1=,D是A1B1的中點(diǎn).
(1)求證C1D⊥平面AA1B1B;
(2)當(dāng)點(diǎn)F在BB1上的什么位置時(shí),會(huì)使得AB1⊥平面C1DF?并證明你的結(jié)論.
證明 (1)∵ABC-A1B1C1是直三棱柱,
∴A1C1=B1C1=1,且∠A1C1B1=90°.
又D是A1B1的中點(diǎn),∴C1D⊥A1B1.
∵AA1⊥平面A1B1C1,C1D?平面A1B1C1,
∴AA1⊥C1D,又A1B1∩AA1=A1,
∴C1D⊥平面AA1B1B.
(2)作DE⊥AB1交AB1于E,延長(zhǎng)DE交BB1于F,連接C1F,則AB1⊥平面C1DF,點(diǎn)F為所求.
∵C1D⊥平面AA1B1B,AB1?平面AA1B1B,
∴C1D⊥AB1.
又AB1⊥DF,DF∩C1D=D,∴AB1⊥平面C1DF.
∵AA1=A1B1=,
∴四邊形AA1B1B為正方形.
又D為A1B1的中點(diǎn),DF⊥AB1,
∴F為BB1的中點(diǎn),
∴當(dāng)點(diǎn)F為BB1的中點(diǎn)時(shí),AB1⊥平面C1DF.
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