（魯京遼）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1章 立體幾何初步章末檢測試卷 新人教B版必修2

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1、（魯京遼）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1章 立體幾何初步章末檢測試卷 新人教B版必修2 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分) 1．下列四個命題中，錯誤的是(　　) A．若直線a，b互相平行，則直線a，b確定一個平面 B．若四點不共面，則這四點中任意三點都不共線 C．若兩條直線沒有公共點，則這兩條直線是異面直線 D．兩條異面直線不可能垂直于同一個平面 答案　C 解析　C項，兩直線無公共點，這兩直線平行或異面． 2．下列幾何體是旋轉(zhuǎn)體的是(　　) ①圓柱；②六棱錐；③正方體；④球體；⑤四面體． A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ 答案　A

2、3.如圖，已知正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為2，長為2的線段MN的一個端點M在棱DD1上運動，點N在正方體的底面ABCD內(nèi)運動，則MN的中點P的軌跡的面積是(　　) A．4π B．π C．2π D. 答案　D 解析　連接DN，則△MDN為直角三角形， 在Rt△MDN中，MN＝2，P為MN的中點，連接DP，則DP＝1，所以點P在以D為球心，半徑R＝1的球面上，又因為點P只能落在正方體上或其內(nèi)部，所以點P的軌跡的面積等于該球面面積的，故所求面積S＝×4πR2＝. 4．一個三角形在其直觀圖中對應(yīng)一個邊長為1的正三角形，原三角形的面積為(　　) A. B. C.

3、D. 答案　D 解析　∵＝，S直＝，∴S原＝. 5．設(shè)正方體的表面積為24，那么其外接球的體積是(　　) A.π B. C．4π D．32π 答案　C 解析　設(shè)正方體的棱長為a，由題意可知，6a2＝24， ∴a＝2. 設(shè)正方體外接球的半徑為R，則a＝2R， ∴R＝，∴V球＝πR3＝4π. 6．在圓錐VO中，O為底面圓的圓心，A，B為底面圓上兩點，且OA⊥OB，OA＝VO＝1，則O到平面VAB的距離為(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由題意，可得三棱錐V—AOB的體積為VV—AOB＝S△AOB·VO＝.△VAB是邊長為的等邊三角形，其面積

4、為×()2＝.設(shè)點O到平面VAB的距離為h，則VO—VAB＝S△VABh＝h＝VV—AOB＝，解得h＝，即點O到平面VAB的距離為. 7．《算數(shù)書》竹簡于上世紀八十年代在湖北省張家山出土，這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍，其中記載有求“禾蓋”的術(shù)：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一．該術(shù)相當于給出了由圓錐的底面周長L與高h，計算其體積V的近似公式V≈L2h.它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率π近似取為3.那么，近似公式V≈L2h相當于將圓錐體積公式中的圓周率π近似取為(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　設(shè)圓錐的底面半徑為r，則圓錐的底面周長L＝2πr，∴r

5、＝，∴V＝πr2h＝.令＝L2h，得π＝，故選D. 8．若將一個真命題中的“平面”換成“直線”，“直線”換成“平面”后仍是真命題，則該命題稱為“可換命題”，下列四個命題： ①垂直于同一平面的兩直線平行； ②垂直于同一平面的兩平面平行； ③平行于同一直線的兩直線平行； ④平行于同一平面的兩直線平行． 其中是“可換命題”的是(　　) A．①③ B．③④ C．①② D．①④ 答案　A 解析　對于①，由“垂直于同一直線的兩個平面平行”知，①是“可換命題”；對于②，由“垂直于同一平面的兩平面未必平行”知，②不是“可換命題”；對于③，由“平行于同一平面的兩個平面平行”知

6、，③是“可換命題”；對于④，由“平行于同一平面的兩直線未必平行”知，④不是“可換命題”．綜上所述，選A. 9．如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中點，則下列敘述正確的是(　　) A．CC1與B1E是異面直線 B．AC⊥平面ABB1A1 C．AE，B1C1為異面直線，且AE⊥B1C1 D．A1C1∥平面AB1E 答案　C 解析　由已知AC＝AB，E為BC的中點，得AE⊥BC. 又∵BC∥B1C1，∴AE⊥B1C1，C正確． 10．已知直線l⊥平面α，直線m?平面β，有以下四個命題： ①α∥β?l

7、⊥m；②α⊥β?l∥m；③l∥m?α⊥β；④l⊥m?α∥β. 其中正確的命題是(　　) A．①② B．③④ C．②④ D．①③ 答案　D 解析　若α∥β，l⊥α，則l⊥β， 又m?β，所以l⊥m，故①正確； 若α⊥β，l⊥α，m?β， 則l與m可能異面，所以②不正確； 若l∥m，l⊥α，則m⊥α， 又m?β，則α⊥β，所以③正確； 若l⊥α，l⊥m，m?β，則α與β可能相交，故④不正確． 綜上可知，選D. 11.如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，線段B1D1上有兩個動點E，F(xiàn)，且EF＝，則下列結(jié)論中錯誤的是(　　) A．AC⊥BE B．

8、EF∥平面ABCD C．三棱錐A－BEF的體積為定值 D．△AEF的面積與△BEF的面積相等 答案　D 解析　對D選項，由圖形知，B到線段EF的距離與A到EF的距離不相等， 故S△AEF≠S△BEF，所以D錯誤． 12．如圖所示，三棱錐A－BCD的底面是等腰直角三角形，AB⊥平面BCD，AB＝BC＝BD＝2，E是棱CD上的任意一點，F(xiàn)，G分別是AC，BC的中點，則在下列命題中：①平面ABE⊥平面BCD；②平面EFG∥平面ABD；③四面體FECG體積的最大值是，真命題的個數(shù)是(　　) A．1 B．2 C．3 D．0 答案　B 解析　①正確，因為AB⊥平面BCD，且AB

9、?平面ABE，由面面垂直的判定定理可知平面ABE⊥平面BCD；②錯，若兩平面平行，則必有AD∥EF，而點E是棱CD上任意一點，故該命題為假命題；③正確，由已知易得GF⊥平面GCE，且GF＝AB＝1，而當E與D重合時，S△GCE最大，S△GCE≤S△BCD＝1，故VFECG＝S△GCE·FG≤.故正確的命題為①③，故選B. 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分) 13.如圖，正方形ABCD的邊長為1，所對的圓心角∠CDE＝90°，將圖形ABCE繞AE所在直線旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體的表面積為________． 答案　5π 解析　由題意知，形成的幾何體是組合體：上面是半球、下

10、面是圓柱，∵正方形ABCD的邊長為1，∠CDE＝90°，∴球的半徑是1，圓柱的底面半徑是1，母線長是1，∴形成的幾何體的表面積S＝π×12＋2π×1×1＋×4π×12＝5π，故答案為5π. 14．已知平面α，β和直線m，給出條件：①m∥α；②m⊥α；③m?α；④α∥β.當滿足條件________時，有m⊥β. 答案?、冖? 15.如圖，在上、下底面對應(yīng)邊的比為1∶2的三棱臺中，過上底面一邊作一個平行于棱CC1的平面A1B1EF，這個平面分三棱臺成兩部分，則＝________. 答案　 解析　設(shè)三棱臺的上底面面積為S0，則下底面面積為4S0，高為h，則＝(S0＋4S0＋2S0)h＝S

11、0h，＝S0h.設(shè)剩余的幾何體的體積為V，則V＝S0h－S0h＝S0h，體積之比為3∶4. 16．如圖，在四面體P－ABC中，PA＝PB＝，平面PAB⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6，則PC＝________. 答案　7 解析　取AB的中點E，連接PE. ∵PA＝PB，∴PE⊥AB. 又平面PAB⊥平面ABC， 平面PAB∩平面ABC＝AB， ∴PE⊥平面ABC. 連接CE，∴PE⊥CE. ∵∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB＝2，PE＝＝， CE＝＝， PC＝＝7. 三、解答題(本大題共6小題，共70分) 17．(10分)在三

12、棱錐S－ABC中，△ABC是邊長為6的正三角形，SA＝SB＝SC＝15，平面DEFH分別與AB，BC，SC，SA交于點D，E，F(xiàn)，H.D，E分別是AB，BC的中點，如果直線SB∥平面DEFH. 求四邊形DEFH的面積． 解　如圖，取AC的中點G， 連接SG，BG. 易知SG⊥AC，BG⊥AC，SG∩BG＝G，SG，BG?平面SGB， 故AC⊥平面SGB， 所以AC⊥SB. 因為SB∥平面DEFH，SB?平面SAB，平面SAB∩平面DEFH＝HD，則SB∥HD. 同理SB∥FE. 又D，E分別為AB，BC的中點， 則H，F(xiàn)也為AS，SC的中點， 從而得HF綊AC綊DE，

13、 所以四邊形DEFH為平行四邊形． 又AC⊥SB，SB∥HD，DE∥AC，所以DE⊥HD， 所以四邊形DEFH為矩形， 其面積S＝HF·HD＝·＝. 18．(12分)如圖，矩形AMND所在平面與直角梯形MBCN所在的平面垂直，MB∥NC，MN⊥MB. (1)求證：平面AMB∥平面DNC； (2)若MC⊥CB，求證：BC⊥AC. 證明　(1)∵MB∥NC，MB?平面DNC， NC?平面DNC，∴MB∥平面DNC. ∵AMND是矩形，∴MA∥DN， 又MA?平面DNC，DN?平面DNC， ∴MA∥平面DNC， 又MA∩MB＝M，且MA，MB?平面AMB， ∴平面AM

14、B∥平面DNC. (2)∵AMND是矩形，∴AM⊥MN， ∵平面AMND⊥平面MBCN，且平面AMND∩平面MBCN＝MN， ∴AM⊥平面MBCN，∵BC?平面MBCN，∴AM⊥BC， ∵MC⊥BC，MC∩AM＝M， ∴BC⊥平面AMC， ∵AC?平面AMC，∴BC⊥AC. 19．(12分)如圖，在四棱錐P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD為梯形，AB∥CD，AB＝2DC＝2，且△PAD與△ABD均為正三角形，E為AD的中點，G為△PAD的重心． (1)求證：GF∥平面PDC； (2)求三棱錐G—PCD的體積． (1)證明　方法一　連接AG并延長交PD

15、于點H，連接CH. 由梯形ABCD中AB∥CD且AB＝2DC知，＝. 又E為AD的中點，G為△PAD的重心， ∴＝. 在△AHC中，＝＝，故GF∥HC. 又HC?平面PCD，GF?平面PCD， ∴GF∥平面PDC. 方法二　過G作GN∥AD交PD于N，過F作FM∥AD交CD于M，連接MN， ∵G為△PAD的重心， ＝＝， ∴GN＝ED＝. 又ABCD為梯形，AB∥CD， ＝，∴＝， ∴＝，∴MF＝，∴GN＝FM. 又由所作GN∥AD，F(xiàn)M∥AD，得GN∥FM， ∴四邊形GNMF為平行四邊形． ∴GF∥MN，又∵GF?平面PCD，MN?平面PCD， ∴G

16、F∥平面PDC. 方法三　過G作GK∥PD交AD于K，連接KF，GK， 由△PAD為正三角形，E為AD的中點，G為△PAD的重心，得DK＝DE， ∴DK＝AD， 又由梯形ABCD中AB∥CD，且AB＝2DC， 知＝，即FC＝AC， ∴在△ADC中，KF∥CD， 又∵GK∩KF＝K，PD∩CD＝D， ∴平面GKF∥平面PDC， 又GF?平面GKF，∴GF∥平面PDC. (2)解　方法一　由平面PAD⊥平面ABCD，△PAD與△ABD均為正三角形，E為AD的中點，知PE⊥AD，BE⊥AD， 又∵平面PAD∩平面ABCD＝AD，PE?平面PAD， ∴PE⊥平面ABCD，且

17、PE＝3， 由(1)知GF∥平面PDC， ∴V三棱錐G—PCD＝V三棱錐F—PCD＝V三棱錐P—CDF ＝×PE×S△CDF. 又由梯形ABCD中AB∥CD，且AB＝2DC＝2，知DF＝BD＝， 又△ABD為正三角形，得∠CDF＝∠ABD＝60°， ∴S△CDF＝×CD×DF×sin∠BDC＝， 得V三棱錐P—CDF＝×PE×S△CDF＝， ∴三棱錐G—PCD的體積為. 方法二　由平面PAD⊥平面ABCD，△PAD與△ABD均為正三角形，E為AD的中點，知 PE⊥AD，BE⊥AD， 又∵平面PAD∩平面ABCD＝AD，PE?平面PAD， ∴PE⊥平面ABCD，且PE＝3

18、， 連接CE，∵PG＝PE， ∴V三棱錐G—PCD＝V三棱錐E—PCD＝V三棱錐P—CDE ＝××PE×S△CDE， 又△ABD為正三角形，得∠EDC＝120°， 得S△CDE＝×CD×DE×sin∠EDC＝. ∴V三棱錐G—PCD＝××PE×S△CDE ＝××3×＝， ∴三棱錐G—PCD的體積為. 20．(12分)如圖1所示的等邊△ABC的邊長為2a，CD是AB邊上的高，E，F(xiàn)分別是AC，BC邊的中點．現(xiàn)將△ABC沿CD折疊，使平面ADC⊥平面BDC，如圖2所示． (1)試判斷折疊后直線AB與平面DEF的位置關(guān)系，并說明理由； (2)求四面體A－DBC的外接球體積與

19、四棱錐D－ABFE的體積之比． 解　(1)∵E，F(xiàn)分別為AC，BC的中點， ∴AB∥EF， ∵AB?平面DEF，EF?平面DEF， ∴AB∥平面DEF. (2)以DA，DB，DC為棱補成一個長方體，則四面體A－DBC的外接球即為長方體的外接球． 設(shè)球的半徑為R， 則a2＋a2＋3a2＝(2R)2， ∴R2＝a2， 于是球的體積V1＝πR3＝πa3. 又VA－DBC＝S△DBC·AD＝a3， VE－DFC＝S△DFC·AD＝a3， ∴＝＝. 21．(12分)如圖，三角形PDC所在的平面與長方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3. (1)證明

20、：BC∥平面PDA； (2)證明：BC⊥PD； (3)求點C到平面PDA的距離． (1)證明　因為四邊形ABCD是長方形，所以BC∥AD，因為BC?平面PDA，AD?平面PDA，所以BC∥平面PDA. (2)證明　因為四邊形ABCD是長方形，所以BC⊥CD，因為平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，BC?平面ABCD，所以BC⊥平面PDC，因為PD?平面PDC，所以BC⊥PD. (3)解　取CD的中點E，連接AE和PE.因為PD＝PC，所以PE⊥CD，在Rt△PED中，PE＝＝＝.因為平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，PE?平面PDC，所以

21、PE⊥平面ABCD，由(2)知，BC⊥平面PDC，由(1)知，BC∥AD，所以AD⊥平面PDC，因為PD?平面PDC，所以AD⊥PD.設(shè)點C到平面PDA的距離為h，因為V三棱錐C－PDA＝V三棱錐P－ACD，所以S△PDA·h＝S△ACD·PE，即h＝＝＝，所以點C到平面PDA的距離是. 22．(12分)如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB＝AC＝2，BC＝2，M，N分別為BC，AB的中點． (1)求證：MN∥平面PAC； (2)求證：平面PBC⊥平面PAM； (3)在AC上是否存在點E，使得ME⊥平面PAC，若存在，求出ME的長；若不存在，請說明理由． (1)證明

22、　因為M，N分別為BC，AB的中點， 所以MN∥AC. 因為MN?平面PAC，AC?平面PAC， 所以MN∥平面PAC. (2)證明　因為PA⊥平面ABC，BC?平面ABC， 所以PA⊥BC， 因為AB＝AC＝2，M為BC的中點， 所以AM⊥BC. 因為AM∩PA＝A， 所以BC⊥平面PAM. 因為BC?平面PBC， 所以平面PBC⊥平面PAM. (3)解　存在． 過點M作ME⊥AC交AC于點E，因為PA⊥平面ABC，ME?平面ABC， 所以PA⊥ME. 因為ME⊥AC，AC∩PA＝A， 所以ME⊥平面PAC. 因為在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，M為BC的中點， 所以ME＝.