(全國通用版)2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 板塊四 考前回扣 回扣8 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)學(xué)案 文

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1、(全國通用版)2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 板塊四 考前回扣 回扣8 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)學(xué)案 文 1.函數(shù)的定義域和值域 (1)求函數(shù)定義域的類型和相應(yīng)方法 ①若已知函數(shù)的解析式,則函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的取值范圍; ②若已知f(x)的定義域為[a,b],則f(g(x))的定義域為不等式a≤g(x)≤b的解集;反之,已知f(g(x))的定義域為[a,b],則f(x)的定義域為函數(shù)y=g(x)(x∈[a,b])的值域. (2)常見函數(shù)的值域 ①一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的值域為R; ②二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0):當(dāng)a>0時,值域為,當(dāng)a<0時,值域為; ③反比例

2、函數(shù)y=(k≠0)的值域為{y∈R|y≠0}. 2.函數(shù)的奇偶性、周期性 (1)奇偶性是函數(shù)在其定義域上的整體性質(zhì),對于定義域內(nèi)的任意x(定義域關(guān)于原點對稱),都有f(-x)=-f(x)成立,則f(x)為奇函數(shù)(都有f(-x)=f(x)成立,則f(x)為偶函數(shù)). (2)周期性是函數(shù)在其定義域上的整體性質(zhì),一般地,對于函數(shù)f(x),如果對于定義域內(nèi)的任意一個x的值,若f(x+T)=f(x)(T≠0),則f(x)是周期函數(shù),T是它的一個周期. 3.關(guān)于函數(shù)周期性、對稱性的結(jié)論 (1)函數(shù)的周期性 ①若函數(shù)f(x)滿足f(x+a)=f(x-a),則f(x)為周期函數(shù),2a是它的一個周期

3、; ②設(shè)f(x)是R上的偶函數(shù),且圖象關(guān)于直線x=a(a≠0)對稱,則f(x)是周期函數(shù),2a是它的一個周期; ③設(shè)f(x)是R上的奇函數(shù),且圖象關(guān)于直線x=a(a≠0)對稱,則f(x)是周期函數(shù),4a是它的一個周期. (2)函數(shù)圖象的對稱性 ①若函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)=f(a-x), 即f(x)=f(2a-x), 則f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱; ②若函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)=-f(a-x), 即f(x)=-f(2a-x), 則f(x)的圖象關(guān)于點(a,0)對稱; ③若函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)=f(b-x), 則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x

4、=對稱. 4.函數(shù)的單調(diào)性 函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在其定義域上的局部性質(zhì). ①單調(diào)性的定義的等價形式:設(shè)任意x1,x2∈[a,b], 那么(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0?>0?f(x)在[a,b]上是增函數(shù); (x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0?<0?f(x)在[a,b]上是減函數(shù). ②若函數(shù)f(x)和g(x)都是減函數(shù),則在公共定義域內(nèi),f(x)+g(x)是減函數(shù);若函數(shù)f(x)和g(x)都是增函數(shù),則在公共定義域內(nèi),f(x)+g(x)是增函數(shù);根據(jù)同增異減判斷復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))的單調(diào)性. 5.函數(shù)圖象的基本變換 (1)平移變換 y=f(x)y=

5、f(x-h(huán)), y=f(x)y=f(x)+k. (2)伸縮變換 y=f(x)y=f(ωx), y=f(x)y=Af(x). (3)對稱變換 y=f(x)y=-f(x), y=f(x)y=f(-x), y=f(x)y=-f(-x). 6.準(zhǔn)確記憶指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì) (1)定點:y=ax(a>0,且a≠1)恒過(0,1)點; y=logax(a>0,且a≠1)恒過(1,0)點. (2)單調(diào)性:當(dāng)a>1時,y=ax在R上單調(diào)遞增;y=logax在(0,+∞)上單調(diào)遞增; 當(dāng)0

6、方程 (1)零點定義:x0為函數(shù)f(x)的零點?f(x0)=0?(x0,0)為f(x)的圖象與x軸的交點. (2)確定函數(shù)零點的三種常用方法 ①解方程判定法:解方程f(x)=0; ②零點定理法:根據(jù)連續(xù)函數(shù)y=f(x)滿足f(a)f(b)<0,判斷函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)存在零點; ③數(shù)形結(jié)合法:尤其是方程兩端對應(yīng)的函數(shù)類型不同時多用此法求解. 8.導(dǎo)數(shù)的幾何意義 (1)f′(x0)的幾何意義:曲線y=f(x)在點(x0,f(x0))處的切線的斜率,該切線的方程為y-f(x0)=f′(x0)·(x-x0). (2)切點的兩大特征:①在曲線y=f(x)上;②在切線上. 9.利用導(dǎo)

7、數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 (1)求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟 ①求函數(shù)f(x)的定義域; ②求導(dǎo)函數(shù)f′(x); ③由f′(x)>0的解集確定函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間,由f′(x)<0的解集確定函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間. (2)由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍 ①若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在區(qū)間M上單調(diào)遞增,則f′(x)≥0(x∈M)恒成立;若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在區(qū)間M上單調(diào)遞減,則f′(x)≤0(x∈M)恒成立; ②若可導(dǎo)函數(shù)在某區(qū)間上存在單調(diào)遞增(減)區(qū)間,f′(x)>0(或f′(x)<0)在該區(qū)間上存在解集; ③若已知f(x)在區(qū)間I上的單調(diào)性,區(qū)間I中含有參數(shù)時,可先求出f(x)的單調(diào)區(qū)

8、間,則I是其單調(diào)區(qū)間的子集. 10.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值 (1)求函數(shù)的極值的一般步驟 ①確定函數(shù)的定義域; ②解方程f′(x)=0; ③判斷f′(x)在方程f′(x)=0的根x0兩側(cè)的符號變化: 若左正右負(fù),則x0為極大值點; 若左負(fù)右正,則x0為極小值點; 若不變號,則x0不是極值點. (2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最值的一般步驟 ①求函數(shù)y=f(x)在[a,b]內(nèi)的極值; ②比較函數(shù)y=f(x)的各極值與端點處的函數(shù)值f(a),f(b)的大小,最大的一個是最大值,最小的一個是最小值. 1.解決函數(shù)問題時要注意函數(shù)的定義域,要樹立定義域優(yōu)先原則

9、. 2.解決分段函數(shù)問題時,要注意與解析式對應(yīng)的自變量的取值范圍. 3.求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時,多個單調(diào)區(qū)間之間不能用符號“∪”和“或”連接,可用“及”連接或用“,”隔開.單調(diào)區(qū)間必須是“區(qū)間”,而不能用集合或不等式代替. 4.判斷函數(shù)的奇偶性,要注意定義域必須關(guān)于原點對稱,有時還要對函數(shù)式化簡整理,但必須注意使定義域不受影響. 5.準(zhǔn)確理解基本初等函數(shù)的定義和性質(zhì).如函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)的單調(diào)性容易忽視字母a的取值討論,忽視ax >0;對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,a≠1)容易忽視真數(shù)與底數(shù)的限制條件. 6.易混淆函數(shù)的零點和函數(shù)圖象與x軸的交點,不能把函數(shù)零點、方程的解、

10、不等式解集的端點值進行準(zhǔn)確互化. 7.已知可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a,b)上單調(diào)遞增(減),則f′(x)≥0(≤0)對?x∈(a,b)恒成立,不能漏掉“=”,且需驗證“=”不能恒成立;已知可導(dǎo)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增(減)區(qū)間為(a,b),則f′(x)>0(<0)的解集為(a,b). 8.f′(x)=0的解不一定是函數(shù)f(x)的極值點.一定要檢驗在x=x0的兩側(cè)f′(x)的符號是否發(fā)生變化,若變化,則為極值點;若不變化,則不是極值點. 1.若曲線f(x)=x4-4x在點A處的切線平行于x軸,則點A的坐標(biāo)為(  ) A.(-1,2) B.(1,-3) C.(1,0) D.(1,5

11、) 答案 B 解析 對f(x)=x4-4x,求導(dǎo)得f′(x)=4x3-4,由在點A處的切線平行于x軸,可得4x3-4=0,解得x=1,即點A的坐標(biāo)為(1,-3). 2.若函數(shù)f(x)=則f(-3)的值為(  ) A.5 B.-1 C.-7 D.2 答案 D 解析 依題意,f(-3)=f(-3+2)=f(-1) =f(-1+2)=f(1)=1+1=2,故選D. 3.若函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象如圖所示,則y=f(x)的圖象可能為(  ) 答案 C 解析 根據(jù)f′(x)的符號,f(x)圖象應(yīng)該是先下降后上升,最后下降,排除A,D;從適合f′(

12、x)=0的點可以排除B,故選C. 4.(2016·全國Ⅰ)函數(shù)y=2x2-e|x|在[-2,2]的圖象大致為(  ) 答案 D 解析 f(2)=8-e2>8-2.82>0,排除A;f(2)=8-e2<8-2.72<1,排除B;當(dāng)x>0時,f(x)=2x2-ex,f′(x)=4x-ex,當(dāng)x∈時,f′(x)<×4-e0=0,因此f(x)在上單調(diào)遞減,排除C,故選D. 5.函數(shù)f(x)=ex+4x-3的零點所在的區(qū)間為(  ) A. B. C. D. 答案 C 解析 由題意可知,f(0)=-2<0,f=-1>0,f=-2<0, 根據(jù)函數(shù)零點的判定定理知,零點所在的

13、區(qū)間為,故選C. 6.已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù),且在[0,2]上單調(diào)遞增,若f(log2m)

14、+∞) B. C.[1,2) D. 答案 B 解析 因為f(x)的定義域為(0,+∞),f′(x)=2x-, 由f′(x)=0,得x=. 利用圖象可得 解得1≤k<,故選B. 8.(2016·山東)已知函數(shù)f(x)的定義域為R,當(dāng)x<0時,f(x)=x3-1;當(dāng)-1≤x≤1時,f(-x)=-f(x);當(dāng)x>時,f=f,則f(6)等于(  ) A.-2 B.-1 C.0 D.2 答案 D 解析 當(dāng)x>時,f=f,即f(x)=f(x+1),∴T=1,∴f(6)=f(1).當(dāng)x<0時,f(x)=x3-1且當(dāng)-1≤x≤1時,f(-x)=-f(x),∴f(6)=f(1)

15、=-f(-1)=2,故選D. 9.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值10,則f(2)等于(  ) A.11或18 B.11 C.18 D.17或18 答案 C 解析 ∵函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值10, 又f′(x)=3x2+2ax+b,∴f(1)=10,且f′(1)=0, 即解得或 而當(dāng)時,函數(shù)在x=1處無極值,故舍去. ∴f(x)=x3+4x2-11x+16,∴f(2)=18. 10.已知奇函數(shù)f(x)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)為f′(x),當(dāng)x>0時,有2f(x)+xf′(x)>x2,則不等式(x+2 0

16、18)2f(x+2 018)+4f(-2)<0的解集為(  ) A.(-∞,-2 016) B.(-2 016,-2 012) C.(-∞,-2 018) D.(-2 016,0) 答案 A 解析 由題意觀察聯(lián)想可設(shè)g(x)=x2f(x),g′(x)=2xf(x)+x2f′(x),結(jié)合條件x>0,2f(x)+xf′(x)>x2,得g′(x)=2xf(x)+x2f′(x)>0,g(x)=x2f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù). 又f(x)為R上的奇函數(shù),所以g(x)為奇函數(shù), 所以g(x)在(-∞,0)上為增函數(shù). 由(x+2 018)2f(x+2 018)+4f(-2)<0

17、, 可得(x+2 018)2f(x+2 018)<4f(2), 即g(x+2 018)

18、得t=0或t=. 分別將t=0和t=代入①式,得k=-a和k=-a, 由題意得它們互為相反數(shù),即a=. 12.某駕駛員喝了m升酒后,血液中的酒精含量f(x)(毫克/毫升)隨時間x(小時)變化的規(guī)律近似滿足表達式f(x)=《酒后駕車與醉酒駕車的標(biāo)準(zhǔn)及相應(yīng)的處罰》規(guī)定:駕駛員血液中酒精含量不超過0.02毫克/毫升.此駕駛員至少要過________小時后才能開車.(不足1小時部分算1小時,結(jié)果精確到1小時) 答案 4 解析 因為0≤x≤1,所以-2≤x-2≤-1, 所以5-2≤5x-2≤5-1,而5-2>0.02, 所以0≤x≤1不合題意, 又由x>1,得·x≤,得x≤, 所以x≥

19、4,故至少要過4小時后才能開車. 13.偶函數(shù)f(x)滿足f(1-x)=f(1+x),且當(dāng)x∈[0,1]時,f(x)=,若直線kx-y+k=0(k>0)與函數(shù)f(x)的圖象有且僅有三個交點,則k的取值范圍是________. 答案  解析 由f(1-x)=f(1+x)可知,函數(shù)關(guān)于x=1對稱,因為f(x)是偶函數(shù),所以f(1-x)=f(1+x)=f(x-1),即f(x+2)=f(x),所以函數(shù)的周期是2,由y=f(x)=,得(x-1)2+y2=1(y≥0,x∈[0,1]), 作出函數(shù)y=f(x)和直線y=k(x+1)的圖象, 要使直線kx-y+k=0(k>0)與函數(shù)f(x)的圖象

20、有且僅有三個交點,則由圖象可知,0)的極大值是正數(shù),極小值是負(fù)數(shù),則a的取值范圍是________. 答案  解析 f′(x)=3x2-3a2=3(x+a)(x-a), 由f′(x)=0,得x=±a, 當(dāng)-aa或x<-a時,f′(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增. ∴f(-a)=-a3+3a3+a>0且f(a)=a3-3a3+a<0, 解得a>.∴a的取值范圍是. 15.已知函數(shù)f(x)=. (1)若f(x)在區(qū)間(-∞,2)上為單調(diào)遞增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍; (2)若a=0

21、,x0<1,設(shè)直線y=g(x)為函數(shù)f(x)的圖象在x=x0處的切線,求證:f(x)≤g(x). (1)解 易得f′(x)=-, 由已知f′(x)≥0對x∈(-∞,2)恒成立, 故x≤1-a對x∈(-∞,2)恒成立, ∴1-a≥2,∴a≤-1. 故實數(shù)a的取值范圍為(-∞,-1]. (2)證明 若a=0,則f(x)=. 函數(shù)f(x)的圖象在x=x0處的切線方程為 y=g(x)=f′(x0)(x-x0)+f(x0). 令h(x)=f(x)-g(x)=f(x)-f′(x0)(x-x0)-f(x0),x∈R, 則h′(x)=f′(x)-f′(x0) =-=. 設(shè)φ(x)=(1

22、-x)-(1-x0)ex,x∈R, 則φ′(x)=--(1-x0)ex,∵x0<1,∴φ′(x)<0, ∴φ(x)在R上單調(diào)遞減,又φ(x0)=0, ∴當(dāng)x0,當(dāng)x>x0時,φ(x)<0, ∴當(dāng)x0,當(dāng)x>x0時,h′(x)<0, ∴h(x)在區(qū)間(-∞,x0)上為增函數(shù),在區(qū)間(x0,+∞)上為減函數(shù), ∴當(dāng)x∈R時,h(x)≤h(x0)=0, ∴f(x)≤g(x). 16.已知函數(shù)f(x)=(e為自然對數(shù)的底數(shù)). (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間; (2)設(shè)函數(shù)φ(x)=xf(x)+tf′(x)+,存在實數(shù)x1,x2∈[0,1]

23、,使得2φ(x1)<φ(x2)成立,求實數(shù)t的取值范圍. 解 (1)∵函數(shù)的定義域為R,f′(x)=-, ∴當(dāng)x<0時,f′(x)>0;當(dāng)x>0時,f′(x)<0, ∴f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增,在(0,+∞)上單調(diào)遞減. ∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,0), 單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+∞). (2)存在x1,x2∈[0,1],使得2φ(x1)<φ(x2)成立, 則2[φ(x)]min<[φ(x)]max. ∵φ(x)=xf(x)+tf′(x)+e-x=, ∴φ′(x)==-. ①當(dāng)t≥1時,φ′(x)≤0,φ(x)在[0,1]上單調(diào)遞減, ∴2φ(1)<φ(0),即t>3->1; ②當(dāng)t≤0時,φ′(x)≥0,φ(x)在[0,1]上單調(diào)遞增, ∴2φ(0)<φ(1),即t<3-2e<0; ③當(dāng)0

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