（新課標）2021版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù) 第13講 函數(shù)模型及函數(shù)的綜合應(yīng)用導(dǎo)學(xué)案 新人教A版

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1、第13講　函數(shù)模型及函數(shù)的綜合應(yīng)用 【課程要求】 1．了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長特征，知道直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義． 2．了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應(yīng)用． 3．會運用函數(shù)的知識和函數(shù)思想解決有關(guān)函數(shù)的綜合性問題，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力． 對應(yīng)學(xué)生用書p33 【基礎(chǔ)檢測】 1．判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”) (1)某種商品進價為每件100元，按進價增加10%出售，后因庫存積壓降價，若按九折出售，則每件還能獲利．(　　) (2)函數(shù)y＝2

2、x的函數(shù)值比y＝x2的函數(shù)值大．(　　) (3)不存在x0，使ax01)的增長速度會超過并遠遠大于y＝xα(α>0)的增長速度．(　　) (5)“指數(shù)爆炸”是指數(shù)型函數(shù)y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增長速度越來越快的形象比喻．(　　) [答案] (1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)× 2．[必修1p102例3]某工廠一年中各月份的收入、支出情況的統(tǒng)計圖如圖所示，則下列說法中錯誤的是(　　) A．收入最高值與收入最低值的比是3∶1 B．結(jié)余最高的月份是7月 C．1至2月

3、份的收入的變化率與4至5月份的收入的變化率相同 D．前6個月的平均收入為40萬元 [解析]由題圖可知，收入最高值為90萬元，收入最低值為30萬元，其比是3∶1，故A正確；由題圖可知，7月份的結(jié)余最高，為80－20＝60(萬元)，故B正確；由題圖可知，1至2月份的收入的變化率與4至5月份的收入的變化率相同，故C正確；由題圖可知，前6個月的平均收入為×(40＋60＋30＋30＋50＋60)＝45(萬元)，故D錯誤． [答案]D 3．[必修1p104例5]生產(chǎn)一定數(shù)量的商品的全部費用稱為生產(chǎn)成本，某企業(yè)一個月生產(chǎn)某種商品x萬件時的生產(chǎn)成本為C(x)＝x2＋2x＋20(萬元)．一萬件售價為20

4、萬元，為獲取更大利潤，該企業(yè)一個月應(yīng)生產(chǎn)該商品數(shù)量為__________萬件． [解析]利潤L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142， 當x＝18時，L(x)有最大值． [答案]18 4．[必修1p107A組T4]用長度為24的材料圍一矩形場地，中間加兩道隔墻，要使矩形的面積最大，則隔墻的長度為________． [解析]設(shè)隔墻的長度為x(0

5、行比較，下列選項正確的是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．f(x)＞g(x)＞h(x) B．g(x)＞f(x)＞h(x) C．g(x)＞h(x)＞f(x) D．f(x)＞h(x)＞g(x) [答案]B 6．某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加．第一年的增長率為p，第二年的增長率為q，則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長率為________． [解析]設(shè)年平均增長率為x，則(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)， ∴x＝－1. [答案]－1 【知識要點】 1．幾類函數(shù)模型 函數(shù)模型 函數(shù)解析式 一次函數(shù)模型 f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0) 反比

6、例函數(shù)模型 f(x)＝＋b(k，b為常數(shù)且k≠0) 二次函數(shù)模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0) 指數(shù)函數(shù)模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a>0且a≠1) 對數(shù)函數(shù)模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a>0且a≠1) 冪函數(shù)模型 f(x)＝axn＋b(a，b為常數(shù)，a≠0) 2.三種函數(shù)模型的性質(zhì) 　　　函數(shù) 性質(zhì)　　　 y＝ax(a＞1) y＝logax(a＞1) y＝xn(n＞0) 在(0，＋∞)上的增減性 單調(diào)__遞增__ 單調(diào)__遞增__ 單調(diào)__遞增__ 增長

7、速度 越來越快 越來越慢 相對穩(wěn)定 圖象的變化 隨x增大逐漸表現(xiàn)為與____y__軸平行 隨x增大逐漸表現(xiàn)為與__x__軸平行 隨n值變化而不同 值的比較 存在一個x0，當x>x0時，有l(wèi)ogax

8、數(shù)模型應(yīng)用 例1　(1)大學(xué)畢業(yè)生小趙想開一家服裝專賣店，經(jīng)過預(yù)算，該門面需要裝修費為20000元，每天需要房租、水電等費用100元，受經(jīng)營信譽度、銷售季節(jié)等因素的影響，專賣店銷售總收益R與門面經(jīng)營天數(shù)x的關(guān)系是R(x)＝則總利潤最大時，該門面經(jīng)營的天數(shù)是____________． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [解析]由題意，總利潤 y＝ 當0≤x≤400時，y＝－(x－300)2＋25000， 所以當x＝300時，ymax＝25000； 當x>400時，y＝60000－100x<20000， 綜上，當門面經(jīng)營的天數(shù)為300時，總利潤最大為25000元． [答案

9、]300 (2)將甲桶中的aL水緩慢注入空桶乙中，tmin后甲桶中剩余的水量符合指數(shù)衰減曲線y＝aent.假設(shè)過5min后甲桶和乙桶的水量相等，若再過mmin甲桶中的水只有L，則m的值為(　　) A．5B．8C．9D．10 [解析]∵5min后甲桶和乙桶的水量相等， ∴函數(shù)y＝f(t)＝aent滿足f(5)＝ae5n＝a， 可得n＝ln，∴f(t)＝a·， 因此，當kmin后甲桶中的水只有L時， f(k)＝a·＝a，即＝， ∴k＝10，由題可知m＝k－5＝5. [答案]A (3)如圖，矩形ABCD的周長為8，設(shè)AB＝x(1≤x≤3)，線段MN的兩端點在矩形的邊上滑動

10、，且MN＝1，當N沿A→D→C→B→A在矩形的邊上滑動一周時，線段MN的中點P所形成的軌跡為G，記G圍成的區(qū)域的面積為y，則函數(shù)y＝f(x)的圖象大致為(　　) [解析]由題意可知點P的軌跡為圖中虛線所示，其中四個角均是半徑為的扇形． 因為矩形ABCD的周長為8，AB＝x，則AD＝＝4－x， 所以y＝x(4－x)－＝－(x－2)2＋4－(1≤x≤3)， 顯然該函數(shù)的圖象是二次函數(shù)圖象的一部分， 且當x＝2時，y＝4－∈(3，4)，故選D. [答案]D [小結(jié)]1.構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決實際問題，要正確理解題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，建立適當?shù)暮?/p>

11、數(shù)模型，求解過程中不要忽略實際問題對變量的限制． 2．謹記解決這類問題的2個關(guān)鍵 (1)準確理解題意(有時為了敘述背景的需要，這類問題的題干有點長，因而認真審題，準確理解題意顯得尤為重要)． (2)根據(jù)具體情境確定相關(guān)解題策略(如給出函數(shù)圖象的實際應(yīng)用問題，關(guān)鍵在于準確識圖；而指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型的實際應(yīng)用問題，關(guān)鍵在于充分利用冪與對數(shù)的運算，以及指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)分析來解決問題)． 3．掌握2種函數(shù)模型的應(yīng)用技巧 (1)與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)函數(shù)模型有關(guān)的實際問題，在求解時，要先學(xué)會合理選擇模型，在三類模型中，指數(shù)函數(shù)模型是增長速度越來越快(底數(shù)大于1)的一類函數(shù)模型，

12、與增長率、銀行利率有關(guān)的問題都屬于指數(shù)函數(shù)模型． (2)在解決指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型問題時，一般先需要通過待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，再借助函數(shù)的圖象求解最值問題，必要時可借助導(dǎo)數(shù)． 1．pH值是水溶液的重要理化參數(shù)．若溶液中氫離子的濃度為[H＋](單位：mol/L)，則其pH值為－lg[H＋]．在標準溫度和氣壓下，若水溶液pH＝7，則溶液為中性，pH<7時為酸性，pH>7時為堿性．例如，甲溶液中氫離子濃度為0.0001mol/L，其pH值為－lg0.0001，即pH＝4.已知乙溶液的pH＝2，則乙溶液中氫離子濃度為______mol/L.若乙溶液中氫離子濃度是丙溶液的兩千萬倍，則丙溶液

13、的酸堿性為______(填中性、酸性或堿性)． [解析]由pH＝2可得：－lg＝2，即乙溶液中氫離子濃度為0.01mol/L；由乙溶液中氫離子濃度是丙溶液的兩千萬倍可得：丙溶液中氫離子濃度為＝5×10－10，顯然－lg>7，故丙溶液的酸堿性為堿性． [答案]0.01；堿性 2．某地區(qū)要建造一條防洪堤，其橫斷面為等腰梯形，腰與底邊夾角為60°(如圖)，考慮防洪堤堅固性及石塊用料等因素，設(shè)計其橫斷面要求面積為9平方米，且高度不低于米．記防洪堤橫斷面的腰長為x米，外周長(梯形的上底線段BC與兩腰長的和)為y米．要使防洪堤的上面與兩側(cè)面的水泥用料最省(即橫斷面的外周長最小)，則防洪堤的腰長x

14、＝____________米． [解析]設(shè)橫段面的高為h，根據(jù)題意知，9＝(AD＋BC)h，其中AD＝BC＋2·＝BC＋x，h＝x， 所以9＝(2BC＋x)·x，得BC＝－， 由得2≤x＜6. 所以y＝BC＋2x＝＋(2≤x＜6), y＝＋≥2＝6， 當且僅當＝，即x＝2時取等號．故所求防洪堤的腰長為2米． [答案]2 3．汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程，下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況．下列敘述中正確的是(　　) A．消耗1L汽油，乙車最多可行駛5km B．以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多 C．甲車以80

15、km/h的速度行駛1h，消耗10L汽油 D．某城市機動車最高限速80km/h.相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油 [解析]根據(jù)圖象知消耗1L汽油，乙車最多行駛里程大于5km，故選項A錯；以相同速度行駛時，甲車燃油效率最高，因此以相同速度行駛相同路程時，甲車消耗汽油最少，故選項B錯；甲車以80km/h的速度行駛時燃油效率為10km/L，行駛1h，里程為80km，消耗8L汽油，故選項C錯；最高限速80km/h，丙車的燃油效率比乙車高，因此相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油，故選項D對． [答案]D 函數(shù)性質(zhì)與圖象的綜合應(yīng)用 例2　(1)對于函數(shù)f(x)和g(x)，設(shè)α∈{x|f(

16、x)＝0}，β∈{x|g(x)＝0}，若存在α，β，使得|α－β|≤1，則稱f(x)與g(x)互為“零點相鄰函數(shù)”．若函數(shù)f(x)＝ex－1＋x－2與g(x)＝x2－ax－a＋3互為“零點相鄰函數(shù)”，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．[2，4] B. C.D．[2，3] [解析]f(1)＝e1－1＋1－2＝0，則f(x)＝ex－1＋x－2的零點為1， 因為f(x)＝ex－1＋x－2與g(x)＝x2－ax－a＋3互為“零點相鄰函數(shù)”， 設(shè)g(x)＝x2－ax－a＋3的零點為t，所以|1－t|≤1，則0≤t≤2， 如圖所示， 由于g(x)＝x2－ax－a＋3必過點A(－1，4)

17、，所以要使g(x)＝x2－ax－a＋3的零點在[0，2]上， 則g(0)g(2)≤0或解得2≤a≤3.故選D. [答案]D (2)已知函數(shù)f(x)＝2x－1＋2x＋3與g(x)＝x－x－1的零點分別為x1，x2，h(x)＝且h(x3)＝，則x1，x2，x3的大小關(guān)系為(　　) A．x1

18、＝x，作出y＝x－1和y＝x的圖象，由圖象知兩個圖象交點的橫坐標x2滿足2

19、數(shù)的性質(zhì)、圖象和特點，是應(yīng)用函數(shù)思想解題的基礎(chǔ)，善于挖掘隱含條件，構(gòu)造出恰當?shù)暮瘮?shù)解析式并能合理地運用函數(shù)圖象和性質(zhì)是應(yīng)用函數(shù)思想解題的關(guān)鍵． 4．已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，當x<0時，f(x)＝－x2＋x.若不等式f(x)－x≤2logax(a>0且a≠1)對?x∈恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是____________． [解析]由已知得當x>0時，f(x)＝x2＋x， 故x2≤2logax對?x∈恒成立， 即當x∈時， 函數(shù)y＝x2的圖象不在y＝2logax圖象的上方， 由圖(圖略)知0

20、f(x)滿足：f(x)＝且f(x＋2)＝f(x)，g(x)＝，則方程f(x)＝g(x)在區(qū)間[－5，1]上的所有實根之和為(　　) A．－7B．－8 C．－9D．－10 [解析]∵f(x)＝且f(x＋2)＝f(x)， ∴f(x)是周期為2的函數(shù)． 又g(x)＝，則g(x)＝3＋， 易知兩個函數(shù)都關(guān)于(－2，3)對稱， 畫出f(x)與g(x)的圖象如圖所示． 由圖象可得：y＝f(x)和y＝g(x)的圖象在區(qū)間[－5，1]上有3個交點，設(shè)為A，B，C，其橫坐標分別為x1，x2，x3，且x1

21、x2＝－3，所以x1＋x2＋x3＝－7， 故方程f(x)＝g(x)在區(qū)間[－5，1]上的所有實根之和為－7. [答案]A 函數(shù)與不等式的綜合問題 例3　(1)已知函數(shù)f(x)＝則對任意x1，x2∈R，若0＜|x1|＜|x2|，下列不等式成立的是(　　) A．f(x1)＋f(x2)＜0B．f(x1)＋f(x2)＞0 C．f(x1)－f(x2)＞0D．f(x1)－f(x2)＜0 [解析]函數(shù)f(x)的圖象如圖所示： 且f(－x)＝f(x)，從而函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且在[0，＋∞)上是增函數(shù)． 又0<|x1|<|x2|， 所以f(x2)>f(x1)， 即f(x1)－f(x

22、2)<0. [答案]D (2)若函數(shù)y＝f(x)，x∈M對于給定的非零實數(shù)a，總存在非零常數(shù)T，使得定義域M內(nèi)的任意實數(shù)，都有af(x)＝f(x＋T)恒成立，此時T為f(x)的類周期，函數(shù)y＝f(x)是M上的a級類周期函數(shù)，若函數(shù)y＝f(x)是定義在區(qū)間[0，＋∞)內(nèi)的3級類周期函數(shù)且T＝2，當x∈[0，2)，f(x)＝函數(shù)g(x)＝－2lnx＋x2＋x＋m，若?x1∈[6，8]，?x2∈(0，＋∞)，使g(x2)－f(x1)≤0成立，則實數(shù)m的取值范圍是(　　) A.B．(－∞，12] C．(－∞，39] D．[12，＋∞) [解析]根據(jù)題意，對于函數(shù)f(x)，當x∈[0，2)時

23、，f(x)＝ 分析可得：當0≤x≤1時，f(x)＝－2x2， 此時f(x)的最大值f(0)＝，最小值f(1)＝－， 當1

24、數(shù)，在(1，＋∞)上，g′(x)>0，函數(shù)g(x)為增函數(shù)，則函數(shù)g(x)在(0，＋∞)上有最小值g(1)＝＋m，若?x1∈[6，8]，?x2∈(0，＋∞)，使g(x2)－f(x1)≤0成立， 必有g(shù)(x)min≤f(x)max，即＋m≤，得m的取值范圍是(－∞，39]． [答案]C [小結(jié)]1.利用函數(shù)求最值是函數(shù)應(yīng)用題中的常見題型，其方法是，先建立目標函數(shù)，同時指出函數(shù)的定義域，然后根據(jù)函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點，采用適當?shù)姆椒ㄇ蟪鲎钪祷蛉〉米钪档臈l件． 2．分段函數(shù)應(yīng)用題是近幾年高考的熱點問題，凡是自變量取值有限制條件，而且在不同的區(qū)間上函數(shù)取值方法不同時，一般要使用分段函數(shù)．使用分段函數(shù)

25、必須注意區(qū)間端點值，要注意凡定義域內(nèi)的點要做到“不重不漏”．端點放在哪個區(qū)間要視實際問題而定，若在相鄰區(qū)間上均可定義時，一般放在左端點． 6．已知關(guān)于x的函數(shù)f(x)＝(t∈R)的定義域為D，若存在區(qū)間[a，b]?D，使得f(x)的值域也是[a，b]，則當t變化時，b－a的最大值為________． [解析]首先觀察到函數(shù)f(x)＝＝1－t＋為定義域內(nèi)的增函數(shù)；則有：得到f(x)＝＝x，則x2－(1－t)x＋t2＝0. 那么：b－a＝＝＝≤. [答案] 7．已知奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，則a

26、，b，c的大小關(guān)系為(　　) A．a(chǎn)0時，f(x)>0， 從而g(x)＝xf(x)是R上的偶函數(shù)，且在[0，＋∞)上是增函數(shù)， a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，20.8<2，又4<5.1<8，則2

27、的方程[f(x)]2＋af(x)＋b＝0(a，b∈R)，有且僅有6個不同實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是________． [解析]作出f(x)＝的圖象如下，又∵函數(shù)y＝f(x)是定義域為R的偶函數(shù)，且關(guān)于x的方程[f(x)]2＋af(x)＋b＝0，a，b∈R有且僅有6個不同實數(shù)根， ∴x2＋ax＋b＝0的兩根分別為x1＝，1

28、，g(x)是定義在R上的兩個周期函數(shù)，f(x)的周期為4，g(x)的周期為2，且f(x)是奇函數(shù)．當x∈(0，2]時，f(x)＝，g(x)＝其中k>0.若在區(qū)間(0，9]上，關(guān)于x的方程f(x)＝g(x)有8個不同的實數(shù)根，則k的取值范圍是________． [解析]作出函數(shù)f(x)，g(x)的圖象，如圖： 由圖可知，函數(shù)f(x)＝的圖象與g(x)＝－(1

29、x)＝k(x＋2)，x∈(0，1]的圖象有2個不同的交點， 由點(1，0)到直線kx－y＋2k＝0的距離為1，可得＝1，解得k＝(k>0)， ∵兩點(－2，0)，(1，1)連線的斜率k＝， ∴≤k<， 綜上可知，滿足f(x)＝g(x)在(0，9]上有8個不同的實數(shù)根的k的取值范圍是. [答案] [小結(jié)]解決含有參數(shù)的動函數(shù)的常見方法有： 1．參變分離，轉(zhuǎn)化成固定函數(shù)在固定區(qū)間上的最值問題； 2．對參數(shù)的討論，與恒成立問題，根的分布問題相結(jié)合； 3．零點的情況，與零點存在，唯一性相結(jié)合； 4．掌握二次函數(shù)，二次不等式，二次方程的內(nèi)在聯(lián)系，熟練掌握等價轉(zhuǎn)化和準確表述； 5．數(shù)

30、形結(jié)合思想． 8．設(shè)fn＝1＋x＋x2＋…＋xn，其中n∈N，n≥2，則函數(shù)Gn＝fn－2在內(nèi)的零點個數(shù)是(　　) A．0B．1 C．2D．與n有關(guān) [解析]先利用導(dǎo)數(shù)判斷fn在上單調(diào)遞增，再利用零點存在定理可得結(jié)果． 由f′n＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1， 知fn在上單調(diào)遞增， Gn＝fn－2＝－2＝2－－2＝－<0， Gn＝fn－2＝n－1>0， 根據(jù)零點存在定理可得Gn＝fn－2在上的零點個數(shù)只有1個，故選B. [答案]B 9．(多選)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x>0時，f(x)＝e－x(x－1)，則(　　) A．當x<0時，f(x)＝ex

31、(x＋1) B．函數(shù)f(x)有三個零點 C．若關(guān)于x的方程f(x)＝m有解，則實數(shù)m的取值范圍是－1≤m≤1 D．對任意x1，x2∈R，|f(x2)－f(x1)|<2恒成立 [解析]令x<0，則－x>0，所以f＝ex＝－f，所以f＝ex，故A正確；觀察f在x<0時的圖象，令f′＝ex＋ex＝0，所以x＝－2，所以f在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而在上，f<0，在上，f>0，所以f在上僅有一個零點，由對稱性可知，f在上也是一個零點，又因為f＝0，故該函數(shù)有三個零點，B正確；作出函數(shù)的圖象，由圖可知，當m＝±1時，f(x)＝m無解，C錯誤；由函數(shù)圖象易知對?x1，x2∈R，<2恒成立，D正確

32、． [答案]ABD 對應(yīng)學(xué)生用書p36 (2019·全國卷Ⅱ理)2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業(yè)取得又一重大成就，實現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探測器的通訊聯(lián)系．為解決這個問題，發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日L2點的軌道運行．L2點是平衡點，位于地月連線的延長線上．設(shè)地球質(zhì)量為M1，月球質(zhì)量為M2，地月距離為R，L2點到月球的距離為r，根據(jù)牛頓運動定律和萬有引力定律，r滿足方程： ＋＝(R＋r). 設(shè)α＝，由于α的值很小，因此在近似計算中≈3α3，則r的近似值為(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.RB.R C.RD.R [解析]由α＝，得r＝αR. 因為＋＝(R＋r)， 所以＋＝(1＋α)， 即＝α2[(1＋α)－]＝≈3α3， 解得α＝， 所以r＝αR＝R. [答案]D 18