（新課標）2021版高考數(shù)學一輪總復習 第五章 平面向量、復數(shù) 第30講 復數(shù)導學案 新人教A版

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1、第30講　復數(shù) 【課程要求】 1．理解復數(shù)的有關概念，掌握復數(shù)相等的充要條件，并會應用． 2．了解復數(shù)的代數(shù)形式的表示方法，能進行復數(shù)的代數(shù)形式的四則運算． 3．了解復數(shù)代數(shù)形式的幾何意義及復數(shù)的加、減法的幾何意義，會簡單應用． 對應學生用書p82 【基礎檢測】 1．判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”) (1)方程x2＋x＋1＝0沒有解．(　　) (2)復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)中，虛部為bi.(　　) (3)復數(shù)中有相等復數(shù)的概念，因此復數(shù)可以比較大小．(　　) (4)原點是實軸與虛軸的交點．(　　) (5)復數(shù)的模實質(zhì)上就是復平面內(nèi)復數(shù)對應

2、的點到原點的距離，也就是復數(shù)對應的向量的模．(　　) [答案] (1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√ 2．[選修2－2p106B組T1]設復數(shù)z滿足＝i，則|z|等于(　　) A．1B.C.D．2 [解析]1＋z＝i(1－z)，z(1＋i)＝i－1， z＝＝＝i，∴|z|＝|i|＝1. [答案]A 3．[選修2－2p112A組T2]在復平面內(nèi)，向量對應的復數(shù)是2＋i，向量對應的復數(shù)是－1－3i，則向量對應的復數(shù)是(　　) A．1－2iB．－1＋2i C．3＋4iD．－3－4i [解析]?。剑剑?－3i＋(－2－i)＝－3－4i. [答案]D 4．[選修

3、2－2p116A組T2]若復數(shù)z＝(x2－1)＋(x－1)i為純虛數(shù)，則實數(shù)x的值為(　　) A．－1B．0 C．1D．－1或1 [解析]∵z為純虛數(shù)，∴∴x＝－1. [答案]A 5．設a，b∈R，i是虛數(shù)單位，則“ab＝0”是“復數(shù)a＋為純虛數(shù)”的(　　) A．充要條件B．充分不必要條件 C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件 [解析]∵復數(shù)a＋＝a－bi為純虛數(shù)，∴a＝0且－b≠0，即a＝0且b≠0，∴“ab＝0”是“復數(shù)a＋為純虛數(shù)”的必要不充分條件．故選C. [答案]C 6．設i是虛數(shù)單位，若z＝cosθ＋isinθ，且其對應的點位于復平面內(nèi)的第二象限，則θ

4、位于(　　) A．第一象限B．第二象限 C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限 [解析]∵z＝cosθ＋isinθ對應的點的坐標為(cosθ，sinθ)，且點(cosθ，sinθ)位于第二象限，∴ ∴θ為第二象限角，故選B. [答案]B 7．已知復數(shù)z＝i＋i2＋i3＋…＋i2019，則z＝________． [解析]z＝i＋i2＋i3＋…＋i2019＝＝， ∴z＝＝－1. [答案]－1 【知識要點】 1．復數(shù)的有關概念 (1)復數(shù)的概念 形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復數(shù)，其中a，b分別是它的實部和__虛部__，若b≠0，則a＋bi為虛數(shù)，若__a＝0，b≠0__，則a＋bi

5、為純虛數(shù)，i為虛數(shù)單位． (2)復數(shù)相等：復數(shù)a＋bi＝c＋di?__a＝c且b＝d__(a，b，c，d∈R)． (3)共軛復數(shù)：a＋bi與c＋di共軛?__a＝c且d＝－b__(a，b，c，d∈R)． (4)復數(shù)的模 向量的模r叫做復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的模，記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝____． 2．復數(shù)的四則運算 設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則 (1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； (2)減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； (3)乘法

6、：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； (4)除法：＝＝ ＝ ＝＋i(c＋di≠0)． 3．兩條性質(zhì) (1)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(其中n∈N*)； (2)(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i. 對應學生用書p83 復數(shù)的有關概念 例1　(1)復數(shù)z＝在復平面內(nèi)對應的點位于第________象限． [解析]z＝＝＝＝1－i，對應的點為(1，－1)，故對應的點位于第四象限． [答案]四 (2)設復數(shù)z＝－1－i(i為虛數(shù)單位)，z的共軛復數(shù)為z，則|(1

7、－z)·z|＝(　　) A.B．2C.D．1 [解析]依題意得(1－z)·z＝(2＋i)(－1＋i)＝－3＋i，則|(1－z)·z|＝|－3＋i|＝＝. [答案]A (3)如果復數(shù)(m2＋i)(1＋mi)(其中i是虛數(shù)單位)是純虛數(shù)，則實數(shù)m＝________． [解析]由復數(shù)的運算法則可知(m2＋i)(1＋mi)＝(m2－m)＋(m3＋1)i， 因為復數(shù)(m2＋i)(1＋mi)是純虛數(shù)，則 解得m＝0或1. [答案]0或1 [小結(jié)]求解與復數(shù)概念相關問題的技巧 復數(shù)的分類、復數(shù)的相等、復數(shù)的模、共軛復數(shù)的概念都與復數(shù)的實部與虛部有關，所以解答與復數(shù)相關概念有關的問題時，需

8、把所給復數(shù)化為代數(shù)形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根據(jù)題意求解． 　 1．(多選)已知復數(shù)z＝，則下列說法正確的是(　　) A．復數(shù)z的實部為 B．復數(shù)z的共軛復數(shù)為＋i C．復數(shù)z部虛部為－i D．復數(shù)z的模為 [解析]z＝＝＝＝－i，則實部為，虛部為－，共軛復數(shù)為＋i，模為. [答案]ABD 復數(shù)的運算 例2　(1)已知i是虛數(shù)單位，復數(shù)z＝a＋i(a∈R)，且滿足z＝，則|z|＝(　　) A.B.C.D．3 [解析]由題意，得z2＋z＝(a＋i)2＋a＋i＝a2－1＋a＋(2a＋1)i＝1－3i，所以解得a＝－2，所以|z|＝|－2＋i|＝. [答案]C

9、 (2)若復數(shù)z滿足＝i2021，其中i為虛數(shù)單位，則z＝________． [解析]　z＝i(1－i)＝1＋i，z＝1－i. [答案]1－i (3)計算：·＝________． [解析]原式＝＝＝1－i. [答案]1－i [小結(jié)]復數(shù)代數(shù)形式運算問題的解題策略 (1)復數(shù)的乘法：復數(shù)的乘法類似于多項式的四則運算，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項，不含i的看作另一類同類項，分別合并即可． (2)復數(shù)的除法：除法的關鍵是分子分母同乘以分母的共軛復數(shù)，解題中要注意把i的冪寫成最簡形式． [提醒]在進行復數(shù)的代數(shù)運算時，記住以下結(jié)論，可提高計算速度． (1)(1±i)2＝±2

10、i；＝i；＝－i； (2)－b＋ai＝i(a＋bi)； (3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i， i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*. 2．復數(shù)z1＝1＋i，z2＝i，其中i為虛數(shù)單位，則的虛部為(　　) A．－1B．1C．iD．－i [解析]　z1＝1－i，＝＝－1－i，虛部為－1，故選A. [答案]A 復數(shù)的幾何意義 例3　(1)復數(shù)的共軛復數(shù)對應的點位于(　　) A．第一象限B．第二象限 C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限 [解析]＝－i，所以其共軛復數(shù)為＋i， 所以對應的點位于第一象限． [答案]A (2)已知

11、復數(shù)z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它們在復平面上對應的點分別為A，B，C，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，則λ＋μ的值是________． [解析]由條件得＝(3，－4)，＝(－1，2)，＝(1，－1)， 根據(jù)＝λ＋μ，得 (3，－4)＝λ(－1，2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)， ∴解得 ∴λ＋μ＝1. [答案]1 (3)復數(shù)z1＝3＋4i，z2＝0，z3＝c＋(2c－6)i在復平面內(nèi)對應的點分別為A，B，C，若∠BAC是鈍角，則實數(shù)c的取值范圍為________． [解析]在復平面內(nèi)三點坐標分別為A(3，4)，B(0，0)，C(c，2c－6)，由∠B

12、AC是鈍角得·<0且B、A、C不共線，由(－3，－4)·(c－3，2c－10)<0，解得c>，其中當c＝9時，＝(6，8)＝－2，此時B，A，C三點共線，故c≠9.∴c的取值范圍是c>且c≠9. [答案]∪(9，＋∞) [小結(jié)]對復數(shù)幾何意義的理解及應用 (1)復數(shù)z、復平面上的點Z及向量相互聯(lián)系，即z＝a＋bi(a，b∈R)?Z(a，b)?. (2)由于復數(shù)、點、向量之間建立了一一對應的關系，因此可把復數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時可運用數(shù)形結(jié)合的方法，使問題的解決更加直觀． 3．在復平面內(nèi)與復數(shù)z＝所對應的點關于虛軸對稱的點為A，則A對應的復數(shù)為(　　) A．1＋

13、2iB．1－2i C．－2＋iD．2＋i [解析]依題意得，復數(shù)z＝＝i(1－2i)＝2＋i，其對應的點的坐標是(2，1)，因此點A(－2，1)對應的復數(shù)為－2＋i. [答案]C 4．△ABC的三個頂點對應的復數(shù)分別為z1，z2，z3，若復數(shù)z滿足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，則z對應的點為△ABC的(　　) A．內(nèi)心B．垂心C．重心D．外心 [解析]由幾何意義知，復數(shù)z對應的點到△ABC三個頂點的距離都相等，z對應的點是△ABC的外心． [答案]D 對應學生用書p84 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(

14、2019·全國卷Ⅰ理)設復數(shù)z滿足＝1，z在復平面內(nèi)對應的點為(x，y)，則(　　) A．(x＋1)2＋y2＝1B．(x－1)2＋y2＝1 C．x2＋(y－1)2＝1D．x2＋(y＋1)2＝1 [解析]由題可得z＝x＋yi，z－i＝x＋(y－1)i，＝＝1，則x2＋(y－1)2＝1.故選C. [答案]C 2．(2018·全國卷Ⅰ理)設z＝＋2i，則|z|＝(　　) A．0B.C．1D. [解析]法一：因為z＝＋2i＝＋2i＝－i＋2i＝i，所以|z|＝1. 法二：因為z＝＋2i＝＝，所以|z|＝||＝＝＝1. [答案]C 3．(2018·全國卷Ⅱ理)＝(　　) A．－－iB．－＋i C．－－iD．－＋i [解析]＝＝. [答案]D 4．(2018·北京理)在復平面內(nèi)，復數(shù)的共軛復數(shù)對應的點位于(　　) A．第一象限B．第二象限 C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限 [解析]＝＝＋i，其共軛復數(shù)為－i，對應的點為，故選D. [答案]D 9