（課標通用版）2022年高考數(shù)學大一輪復(fù)習 第八章 立體幾何 第6講 平行、垂直的綜合問題檢測 文

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1、（課標通用版）2022年高考數(shù)學大一輪復(fù)習 第八章 立體幾何 第6講 平行、垂直的綜合問題檢測 文 1．如圖所示，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.將△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，構(gòu)成三棱錐A-BCD，則在三棱錐A-BCD中，下列結(jié)論正確的是(　　) A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDC C．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC 解析：選D.因為在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°， 所以BD⊥CD. 又平面ABD⊥平面BCD， 且平面AB

2、D∩平面BCD＝BD， 故CD⊥平面ABD，則CD⊥AB. 又AD⊥AB，AD∩CD＝D，AD?平面ADC，CD?平面ADC，故AB⊥平面ADC. 又AB?平面ABC，所以平面ADC⊥平面ABC. 2．如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD.將四邊形ABCD沿對角線BD折成四面體A′BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．A′C⊥BD B．∠BA′C＝90° C．CA′與平面A′BD所成的角為30° D．四面體A′BCD的體積為 解析：選B.若A成立可得BD⊥A′D，產(chǎn)生矛盾，故A不正確； 由題設(shè)知：△BA′D為等腰

3、Rt△，CD⊥平面A′BD，得BA′⊥平面A′CD，則BA′⊥A′C，于是B正確； 由CA′與平面A′BD所成的角為∠CA′D＝45°知C不正確； VA′-BCD＝VC-A′BD＝，D不正確．故選B. 3．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，點E在棱PC上(異于點P，C)，平面ABE與棱PD交于點F. (1)求證：AB∥EF； (2)若平面PAD⊥平面ABCD，求證：AF⊥EF. 證明：(1)因為四邊形ABCD是矩形，所以AB∥CD. 又因為AB?平面PDC，CD?平面PDC，所以AB∥平面PDC. 又因為AB?平面ABEF，平面ABEF∩平面PDC＝EF，所

4、以AB∥EF. (2)因為四邊形ABCD是矩形，所以AB⊥AD. 又因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB?平面ABCD，所以AB⊥平面PAD. 又因為AF?平面PAD，所以AB⊥AF. 由(1)知AB∥EF，所以AF⊥EF. 4．(2019·河南開封定位考試)如圖，在三棱錐D-ABC中，AB＝2AC＝2，∠BAC＝60°，AD＝，CD＝3，平面ADC⊥平面ABC. (1)證明：平面BDC⊥平面ADC； (2)求三棱錐D-ABC的體積． 解：(1)證明：在△ABC中，由余弦定理可得，BC＝＝＝，所以BC2＋AC2＝AB2，所以BC⊥AC， 因為

5、平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，所以BC⊥平面ADC， 又BC?平面BDC，所以平面BDC⊥平面ADC. (2)由余弦定理可得cos∠ACD＝，所以sin∠ACD＝，所以S△ACD＝·AC·CD· sin∠ACD＝， 則VD-ABC＝VB-ADC＝·BC·S△ACD＝. 5．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝60°，E是BC的中點． (1)證明：AE⊥平面PAD； (2)取AB＝2，若H為PD上的動點，EH與平面PAD所成的最大角的正切值為，求PA的長度． 解：(1)證明：由四邊形ABCD為菱形， ∠AB

6、C＝60°，可得△ABC為正三角形． 因為E為BC的中點，所以AE⊥BC. 又因為BC∥AD，所以AE⊥AD. 因為PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，所以PA⊥AE. 而PA?平面PAD，AD?平面PAD，PA∩AD＝A，所以AE⊥平面PAD. (2)連接AH. 由(1)知AE⊥平面PAD，則∠EHA為EH與平面PAD所成的角． 在Rt△EAH中，AE＝，tan∠EHA＝＝， 所以當AH最短，即AH⊥PD時，∠EHA最大， 此時tan∠EHA＝＝＝，因此AH＝. 又因為AD＝2，所以∠ADH＝45°，所以PA＝AD＝2. [綜合題組練] 1．(2019·武漢市部分

7、學校調(diào)研)如圖(1)，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E是CD的中點，將△ADE沿AE折起，得到如圖(2)所示的四棱錐D1-ABCE，其中平面D1AE⊥平面ABCE. (1)證明：BE⊥平面D1AE； (2)設(shè)F為CD1的中點，在線段AB上是否存在一點M，使得MF∥平面D1AE，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由． 解：(1)證明：因為四邊形ABCD為矩形且AD＝DE＝EC＝BC＝2，所以∠AEB＝90°，即BE⊥AE，又平面D1AE⊥平面ABCE，平面D1AE∩平面ABCE＝AE，所以BE⊥平面D1AE. (2)＝，理由如下： 取D1E的中點L，連接FL，AL(圖略)

8、，所以FL∥EC.又EC∥AB，所以FL∥AB，且FL＝AB.所以M，F(xiàn)，L，A四點共面，若MF∥平面AD1E，則MF∥AL.所以四邊形AMFL為平行四邊形，所以AM＝FL＝AB，＝. 2．(2019·合肥市第一次教學質(zhì)量檢測)如圖，在多面體ABCDEF 中，四邊形ABCD是正方形，BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，BF＝DE，M為棱AE的中點． (1)求證：平面BDM∥平面EFC； (2)若AB＝1，BF＝2，求三棱錐A-CEF的體積． 解：(1)如圖，設(shè)AC與BD交于點N，則N為AC的中點，連接MN， 又M為棱AE的中點，所以MN∥EC. 因為MN?平面EFC，EC?

9、平面EFC， 所以MN∥平面EFC. 因為BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且BF＝DE， 所以BF綊DE， 所以四邊形BDEF為平行四邊形，所以BD∥EF. 因為BD?平面EFC，EF?平面EFC， 所以BD∥平面EFC. 又MN∩BD＝N，所以平面BDM∥平面EFC. (2)連接EN，F(xiàn)N.在正方形ABCD中，AC⊥BD， 又BF⊥平面ABCD，所以BF⊥AC. 又BF∩BD＝B，所以AC⊥平面BDEF， 又N是AC的中點，所以VA-NEF＝VC-NEF， 所以VA-CEF＝2VA-NEF＝2××AN×S△NEF＝2×××××2＝， 所以三棱錐A-CEF的體

10、積為. 3．如圖(1)，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D為AC的中點，AE⊥BD于點E(不同于點D)，延長AE交BC于F，將△ABD沿BD折起，得到三棱錐A1-BCD，如圖(2)所示． (1)若M是FC的中點，求證：直線DM∥平面A1EF； (2)求證：BD⊥A1F； (3)若平面A1BD⊥平面BCD，試判斷直線A1B與直線CD能否垂直？并說明理由． 解：(1)證明：因為D，M分別為AC，F(xiàn)C的中點，所以DM∥EF，又EF?平面A1EF，DM?平面A1EF，所以DM∥平面A1EF. (2)證明：因為A1E⊥BD，EF⊥BD且A1E∩EF＝E， 所以BD⊥平面A1EF.

11、 又A1F?平面A1EF，所以BD⊥A1F. (3)直線A1B與直線CD不能垂直． 理由如下： 因為平面A1BD⊥平面BCD，平面A1BD∩平面BCD＝BD，EF⊥BD，EF?平面BCD，所以EF⊥平面A1BD. 因為A1B?平面A1BD，所以A1B⊥EF， 又因為EF∥DM，所以A1B⊥DM. 假設(shè)A1B⊥CD， 因為CD∩DM＝D，所以A1B⊥平面BCD， 所以A1B⊥BD， 這與∠A1BD為銳角矛盾，所以直線A1B與直線CD不能垂直． 4．如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E為AD的中點，F(xiàn)為B1C1的中點． (1)求證：A1F∥平面ECC1； (

12、2)在線段CD上是否存在一點G，使BG⊥平面ECC1？若存在，請確定點G的位置，并證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由． 解：(1)如圖所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，取BC的中點M，連接AM，F(xiàn)M. 則B1F∥BM且B1F＝BM. 所以四邊形B1FMB是平行四邊形， 所以FM∥B1B且FM＝B1B. 所以FM∥A1A且FM＝A1A， 所以四邊形AA1FM是平行四邊形， 所以FA1∥AM. 因為E為AD的中點， 所以AE∥MC且AE＝MC. 所以四邊形AMCE是平行四邊形． 所以EC∥AM，所以EC∥A1F. 因為A1F?平面ECC1，EC?平面ECC1，

13、 所以A1F∥平面ECC1. (2)在CD上存在一點G且G是CD的中點，使BG⊥平面ECC1，證明如下． 取CD的中點G，連接BG， 在△CDE和△BCG中，DE＝GC，CD＝BC，∠EDC＝∠BCG， 所以△CDE≌△BCG，所以∠ECD＝∠GBC. 因為∠CGB＋∠GBC＝90°，所以∠CGB＋∠DCE＝90°， 所以BG⊥EC. 因為CC1⊥平面ABCD，BG?平面ABCD， 所以CC1⊥BG，又EC∩CC1＝C，所以BG⊥平面ECC1. 故在CD上存在點G，且G是CD的中點，使得BG⊥平面ECC1. 5．陽馬和鱉臑(biē nào)是《九章算術(shù)·商功》里對兩種錐體的

14、稱謂．如圖所示，取一個長方體，按下圖斜割一分為二，得兩個一模一樣的三棱柱，稱為塹堵． 再沿其中一個塹堵的一個頂點與相對的棱剖開，得四棱錐和三棱錐各一個，以矩形為底，有一棱與底面垂直的四棱錐，稱為陽馬(四棱錐E-ABCD)，余下的三棱錐是由四個直角三角形組成的四面體，稱為鱉臑(三棱錐E-FCD)． (1)在陽馬(四棱錐E-ABCD)中，連接BD，若AB＝AD，證明：EC⊥BD； (2)求陽馬(四棱錐E-ABCD)和鱉臑(三棱錐E-FCD)的體積比． 解：(1)如圖，連接AC. 因為四邊形ABCD是矩形，AB＝AD， 所以矩形ABCD是正方形， 所以AC⊥BD. 因為EA⊥

15、平面ABCD，BD?平面ABCD， 所以EA⊥BD， 又EA∩AC＝A，EA?平面EAC，AC?平面EAC， 所以BD⊥平面EAC. 因為EC?平面EAC， 所以EC⊥BD. (2)設(shè)AB＝a，AD＝b，EA＝c. 在陽馬(四棱錐E-ABCD)中， 因為EA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形， 所以V四棱錐E-ABCD＝×a×b×c＝. 在鱉臑(三棱錐E-FCD)中， 因為EF⊥平面FCD，F(xiàn)D⊥CD，CD＝a，EF＝b，DF＝c， 所以S△FCD＝×a×c＝， 所以V三棱錐E-FCD＝××b＝， 所以V四棱錐E-ABCD∶V三棱錐E-FCD＝∶＝2∶1， 所以陽馬(四棱錐E-ABCD)和鱉臑(三棱錐E-FCD)的體積比為2∶1.