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1、（新課標）天津市2022年高考數學二輪復習 題型練7 大題專項（五）解析幾何綜合問題 理
1.(2018天津,理19)設橢圓=1(a>b>0)的左焦點為F,上頂點為B.已知橢圓的離心率為,點A的坐標為(b,0),且|FB|·|AB|=6.
(1)求橢圓的方程;
(2)設直線l:y=kx(k>0)與橢圓在第一象限的交點為P,且l與直線AB交于點Q.若sin∠AOQ(O為原點),求k的值.
2.已知橢圓C:=1(a>b>0)經過點,離心率為.
(1)求橢圓C的方程;
(2)不垂直于坐標軸的直線l與橢圓C交于A,B兩點,以AB為直徑的圓過原
2、點,且線段AB的垂直平分線交y軸于點P,求直線l的方程.
3.設橢圓=1(a>)的右焦點為F,右頂點為A.已知,其中O為原點,e為橢圓的離心率.
(1)求橢圓的方程;
(2)設過點A的直線l與橢圓交于點B(B不在x軸上),垂直于l的直線與l交于點M,與y軸交于點H.若BF⊥HF,且∠MOA≤∠MAO,求直線l的斜率的取值范圍.
4.(2018北京,理19)已知拋物線C:y2=2px經過點P(1,2).過點Q(0,1)的直線l與拋物線C有兩個不同的交點A,B,且直線PA交y軸于點M,直線PB交y軸于點N.
3、
(1)求直線l的斜率的取值范圍;
(2)設O為原點,=λ=μ,求證:為定值.
5.已知拋物線C:y2=2x的焦點為F,平行于x軸的兩條直線l1,l2分別交C于A,B兩點,交C的準線于P,Q兩點.
(1)若F在線段AB上,R是PQ的中點,證明AR∥FQ;
(2)若△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍,求AB中點的軌跡方程.
6.
如圖,在平面直角坐標系xOy中,橢圓E:=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,離心率為,兩準線之間的距離為8.點P在橢圓E上,且位于第一象限,過點F1作直線PF1的
4、垂線l1,過點F2作直線PF2的垂線l2.
(1)求橢圓E的標準方程;
(2)若直線l1,l2的交點Q在橢圓E上,求點P的坐標.
題型練7 大題專項(五)
解析幾何綜合問題
1.解 (1)設橢圓的焦距為2c,由已知有,
又由a2=b2+c2,可得2a=3b.
由已知可得,|FB|=a,|AB|=b.
由|FB|·|AB|=6,可得ab=6,
從而a=3,b=2.
所以,橢圓的方程為=1.
(2)設點P的坐標為(x1,y1),點Q的坐標為(x2,y2).
由已知有y1>y2>0,故|PQ|sin∠AOQ=y1-y2.
又因為|AQ|=,而∠OAB=,
故|AQ|=
5、y2.
由sin∠AOQ,可得5y1=9y2.
由方程組消去x,可得y1=易知直線AB的方程為x+y-2=0,由方程組消去x,可得y2=
由5y1=9y2,可得5(k+1)=3,兩邊平方,整理得56k2-50k+11=0,解得k=,或k=
所以,k的值為
2.解 (1)由題意得解得a=2,b=1.
故橢圓C的方程是+y2=1.
(2)設直線l的方程為y=kx+t,設A(x1,y1),B(x2,y2),
聯(lián)立消去y,得(1+4k2)x2+8ktx+4t2-4=0,則有x1+x2=,x1x2=
Δ>0?4k2+1>t2,
y1+y2=kx1+t+kx2+t=k(x1+x2)+2
6、t=,
y1y2=(kx1+t)(kx2+t)=k2x1x2+kt(x1+x2)+t2
=k2+kt+t2=
因為以AB為直徑的圓過坐標原點,所以OA⊥OB,x1x2+y1y2=0.
因為x1x2+y1y2==0,
所以5t2=4+4k2.因為Δ>0,所以4k2+1>t2,解得t<-或t>
又設A,B的中點為D(m,n),則m=,n=
因為直線PD與直線l垂直,
所以kPD=-,得
由解得
當t=-時,Δ>0不成立.當t=1時,k=±,
所以直線l的方程為y=x+1或y=-x+1.
3.解 (1)設F(c,0),由,
即,可得a2-c2=3c2,
又a2-c2=b2
7、=3,所以c2=1,因此a2=4.
所以,橢圓的方程為=1.
(2)設直線l的斜率為k(k≠0),
則直線l的方程為y=k(x-2).
設B(xB,yB),由方程組
消去y,整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.
解得x=2,或x=,
由題意得xB=,從而yB=
由(1)知,F(1,0),設H(0,yH),有=(-1,yH),
由BF⊥HF,得=0,所以=0,解得yH=
因此直線MH的方程為y=-x+
設M(xM,yM),由方程組消去y,
解得xM=
在△MAO中,∠MOA≤∠MAO?|MA|≤|MO|,
即(xM-2)2+,化簡得xM≥1,即1
8、,解得k≤-,或k
所以,直線l的斜率的取值范圍為
4.(1)解 因為拋物線y2=2px經過點P(1,2),
所以4=2p,解得p=2,
所以拋物線的方程為y2=4x.
由題意可知直線l的斜率存在且不為0,
設直線l的方程為y=kx+1(k≠0).
由得k2x2+(2k-4)x+1=0.
依題意,Δ=(2k-4)2-4×k2×1>0,
解得k<0或0
9、=-,x1x2=
直線PA的方程為y-2=(x-1).
令x=0,得點M的縱坐標為yM=+2=+2.
同理得點N的縱坐標為yN=+2.
由==,
得λ=1-yM,μ=1-yN.
所以
=
==2.
所以為定值.
5.解 由題知F
設l1:y=a,l2:y=b,則ab≠0,
且A,B,P,Q,R
記過A,B兩點的直線為l,
則l的方程為2x-(a+b)y+ab=0.
(1)證明:由于F在線段AB上,故1+ab=0.
記AR的斜率為k1,FQ的斜率為k2,
則k1==-b=k2.
所以AR∥FQ.
(2)設l與x軸的交點為D(x1,0),
則S△ABF=|b
10、-a||FD|=|b-a|,S△PQF=
由題設可得2|b-a|,
所以x1=0(舍去),x1=1.
設滿足條件的AB的中點為E(x,y).
當AB與x軸不垂直時,由kAB=kDE可得(x≠1).
而=y,所以y2=x-1(x≠1).
當AB與x軸垂直時,E與D重合.
所以,所求軌跡方程為y2=x-1.
6.解 (1)設橢圓的半焦距為c.
因為橢圓E的離心率為,兩準線之間的距離為8,
所以=8,解得a=2,c=1,于是b=,因此橢圓E的標準方程是=1.
(2)由(1)知,F1(-1,0),F2(1,0).
設P(x0,y0),因為P為第一象限的點,故x0>0,y0>0.
當x0=1時,l2與l1相交于F1,與題設不符.
當x0≠1時,直線PF1的斜率為,直線PF2的斜率為
因為l1⊥PF1,l2⊥PF2,所以直線l1的斜率為-,直線l2的斜率為-,
從而直線l1的方程:y=-(x+1), ①
直線l2的方程:y=-(x-1). ②
由①②,解得x=-x0,y=,
所以Q
因為點Q在橢圓上,由對稱性,得=±y0,即=1或=1.
又P在橢圓E上,故=1.
由解得x0=,y0=無解.
因此點P的坐標為
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