（魯京遼）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 1.1.1 構(gòu)成空間幾何體的基本元素學(xué)案 新人教B版必修2

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1、（魯京遼）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 1.1.1 構(gòu)成空間幾何體的基本元素學(xué)案 新人教B版必修2 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.了解空間中點(diǎn)、線、面、體之間的關(guān)系.2.了解軌跡和圖形的關(guān)系.3.初步了解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面間的位置關(guān)系． 知識(shí)點(diǎn)一　構(gòu)成幾何體的基本元素 思考1　平面幾何研究的主要對(duì)象是什么？構(gòu)成平面圖形的基本元素是什么？ 答案　平面圖形；點(diǎn)與直線． 思考2　構(gòu)成幾何體的基本元素是什么？ 答案　點(diǎn)、線、面． 梳理　幾何體的定義 (1)定義：只考慮一個(gè)物體占有空間部分的形狀和大小，而不考慮其他因素，則這個(gè)空間部分叫做一個(gè)幾何體．

2、(2)構(gòu)成空間幾何體的基本元素：點(diǎn)、線、面． 知識(shí)點(diǎn)二　長(zhǎng)方體 思考　長(zhǎng)方體的基本元素有哪些？如何定義？ 答案　6個(gè)面，12條棱，8個(gè)頂點(diǎn)，長(zhǎng)方體是由六個(gè)矩形(包括它的內(nèi)部)圍成的． 梳理　長(zhǎng)方體的概念 (1)基本元素：長(zhǎng)方體有12條棱，8個(gè)頂點(diǎn)，6個(gè)面． (2)面：圍成長(zhǎng)方體的各個(gè)矩形． (3)棱：相鄰兩個(gè)面的公共邊． (4)頂點(diǎn)：棱和棱的公共點(diǎn)． 知識(shí)點(diǎn)三　平面 思考　平的鏡面是一個(gè)平面嗎？ 答案　不是，數(shù)學(xué)中的平面是個(gè)抽象的概念，它是無限延展的． 梳理　平面的概念 (1)特征：平面是處處平直的面，是無限延展的． (2)畫法：通常畫一個(gè)平行四邊形表示一個(gè)

3、平面． (3)命名：用希臘字母α，β，γ，…來命名，還可以用表示它的平行四邊形的對(duì)角頂點(diǎn)的字母來命名． 知識(shí)點(diǎn)四　空間中直線、平面的位置關(guān)系 思考　空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系有哪些？ 答案　直線與平面的位置關(guān)系有直線在平面內(nèi)、直線與平面相交、直線與平面平行． 平面與平面的位置關(guān)系有平面與平面平行、平面與平面相交兩種． 梳理　特殊位置關(guān)系的幾個(gè)定義比較 位置關(guān)系 定義 圖形及符號(hào)表示 平行 線面 若直線和平面沒有公共點(diǎn)，則說直線和平面平行 AB∥平面α 面面 若兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，則說這兩個(gè)平面平行 平面α∥平面β 垂直 線面 若一條直線

4、和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則說直線與平面垂直 l⊥平面α 面面 若兩個(gè)平面相交，并且其中一個(gè)平面通過另一個(gè)平面的一條垂線，則說這兩個(gè)平面互相垂直 平面α⊥平面β 距離 點(diǎn)面 點(diǎn)到平面的垂線段的長(zhǎng)度，稱作點(diǎn)到平面的距離 兩平面 夾在兩平行平面間垂線段的長(zhǎng)度稱作兩平面間的距離 1．8個(gè)平面重疊起來要比6個(gè)平面重疊起來厚．(　×　) 2．空間不同三點(diǎn)確定一個(gè)平面．(　×　) 3．一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面．(　×　) 類型一　幾何體的基本元素 例1　試指出下圖中各幾何體的基本元素． 解　(1)中幾何體有6個(gè)頂點(diǎn)，12條棱

5、和8個(gè)面． (2)中幾何體有12個(gè)頂點(diǎn)，18條棱和8個(gè)面． (3)中幾何體有6個(gè)頂點(diǎn)，10條棱和6個(gè)面． (4)中幾何體有2條曲線，3個(gè)面(2個(gè)平面和1個(gè)曲面)． 反思與感悟　點(diǎn)是最基本的元素，只有位置，沒有大小；直線沒有粗細(xì)，向兩方無限延伸；平面沒有厚度，向周圍無限延展．要熟記這三種基本元素的特點(diǎn)．在現(xiàn)實(shí)生活中要多觀察幾何體，以便加深對(duì)構(gòu)成空間幾何體的基本元素的認(rèn)識(shí)． 跟蹤訓(xùn)練1　如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，下列說法正確的有________．(填序號(hào)) ①長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)一共有8個(gè)； ②線段AA1所在的直線是長(zhǎng)方體的一條棱； ③矩形ABCD所在的平面是長(zhǎng)方體的

6、一個(gè)面； ④長(zhǎng)方體由六個(gè)平面圍成． 答案?、? 類型二　空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的判定 例2　如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD—A′B′C′D′中，如果把它的12條棱延伸為直線，6個(gè)面延展為平面，那么在這12條直線與6個(gè)平面中： (1)與直線B′C′平行的平面有哪幾個(gè)？ (2)與直線B′C′垂直的平面有哪幾個(gè)？ (3)與平面BC′平行的平面有哪幾個(gè)？ (4)與平面BC′垂直的平面有哪幾個(gè)？ (5)平面AC與平面A′C′間的距離可以用哪些線段來表示？ 解　(1)有平面ADD′A′與平面ABCD. (2)有平面ABB′A′、平面CDD′C′. (3)有平面ADD′A′. (

7、4)有平面ABB′A′、平面CDD′C′、平面A′B′C′D′與平面ABCD. (5)可用線段AA′，BB′，CC′，DD′來表示． 反思與感悟　(1)解決此類問題的關(guān)鍵在于識(shí)圖，根據(jù)圖形識(shí)別直線與平面平行、垂直，平面與平面平行、垂直． (2)長(zhǎng)方體和正方體是立體幾何中的重要幾何體，對(duì)其認(rèn)識(shí)有助于進(jìn)一步認(rèn)識(shí)立體幾何中的點(diǎn)、線、面的基本關(guān)系． 跟蹤訓(xùn)練2　下列關(guān)于長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的說法正確的是________．(填序號(hào)) ①直線AA1與直線BB1平行； ②直線AA1與平面C1D1DC相交； ③直線AA1與平面ABCD垂直； ④點(diǎn)A1與點(diǎn)B1到平

8、面ABCD的距離相等． 答案?、佗邰? 解析?、僬_，由于AA1與BB1是矩形ABB1A1的一組對(duì)邊，所以AA1∥BB1； ②不正確，由于直線AA1與平面C1D1DC沒有交點(diǎn)，所以AA1∥平面C1D1DC； ③正確，由于直線AA1與平面ABCD內(nèi)的兩條相交直線AB，AD垂直，所以AA1⊥平面ABCD； ④正確，點(diǎn)A1到平面ABCD的距離為AA1，點(diǎn)B1到平面ABCD的距離為BB1，又AA1＝BB1，因此距離相等． 類型三　幾何體的表面展開圖 例3　把如圖所示的幾何體沿線段AA′及與上、下底相關(guān)的棱剪開，然后放在平面上展開，試畫出這些圖形． 解　畫出的相應(yīng)圖形如圖所示．

9、反思與感悟　多面體表面展開圖問題的解題策略 (1)繪制展開圖：繪制多面體的表面展開圖要結(jié)合多面體的幾何特征，發(fā)揮空間想象能力或者是親手制作多面體模型．在解題過程中，給多面體的頂點(diǎn)標(biāo)上字母，先把多面體的底面畫出來，然后依次畫出各側(cè)面，便可得到其表面展開圖． (2)已知展開圖：若是給出多面體的表面展開圖，來判斷是由哪一個(gè)多面體展開的，則可把上述過程逆推．同一個(gè) 幾何體的表面展開圖可能是不一樣的，也就是說，一個(gè)多面體可有多個(gè)表面展開圖． 跟蹤訓(xùn)練3　一個(gè)無蓋的正方體盒子的平面展開圖如圖，A、B、C是展開圖上的三點(diǎn)，則在正方體盒子中，∠ABC＝________. 答案　60° 解析　將

10、平面圖形翻折，折成空間圖形，如圖．由圖可知AB＝BC＝AC，所以△ABC為等邊三角形．所以∠ABC＝60°. 1．有以下結(jié)論： ①平面是處處平的面； ②平面是無限延展的； ③平面的形狀是平行四邊形； ④一個(gè)平面的厚度可以是0.001 cm. 其中正確的個(gè)數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 考點(diǎn)　平面的概念、面法及表示 題點(diǎn)　平面概念的應(yīng)用 答案　B 解析　平面是無限延展的，但是沒有大小、形狀、厚薄，①②兩種說法是正確的；③④兩種說法是錯(cuò)誤的．故選B. 2．下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有(　　) ①曲面上可以存在直線； ②平面上可存在曲線； ③曲線運(yùn)動(dòng)的軌

11、跡可形成平面； ④直線運(yùn)動(dòng)的軌跡可形成曲面； ⑤曲面上不能畫出直線． A．3 B．4 C．5 D．2 答案　B 解析　由空間中構(gòu)成幾何體的基本元素可判斷①②③④均正確，而曲面上可以畫出直線，所以⑤錯(cuò)誤，故選B. 3．下列說法正確的是(　　) A．在空間中，一個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)成直線 B．在空間中，直線平行移動(dòng)形成平面 C．在空間中，直線繞該直線上的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)形成平面或錐面 D．在空間中，矩形上各點(diǎn)沿同一方向移動(dòng)形成長(zhǎng)方體 答案　C 解析　一個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)也可以成曲線，故A錯(cuò)；在空間中，直線平行移動(dòng)可以形成平面或曲面，故B錯(cuò)；在空間中，矩形上各點(diǎn)沿鉛垂線向上(或向下)移動(dòng)相同距離所形

12、成的幾何體是長(zhǎng)方體，故D錯(cuò)． 4.在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中(如圖所示)，和棱A1B1不相交的棱有________條． 答案　7 解析　在長(zhǎng)方體中一共有12條棱，除去與A1B1相交的與其本身，還剩7條． 5．如圖，一個(gè)封閉的長(zhǎng)方體，它的六個(gè)表面各標(biāo)有A，B，C，D，E，F(xiàn)這六個(gè)字母之一，現(xiàn)放置成如圖三種不同的位置，則字母A，B，C對(duì)面的字母分別為________． 答案　E，D，F(xiàn) 解析　第一個(gè)正方體已知A，C，D，第二個(gè)正方體已知B，C，E，第三個(gè)正方體已知A，B，C，且不同的面上寫的字母各不相同，則可知，A對(duì)面標(biāo)的是E，B對(duì)面標(biāo)的是D，C對(duì)面標(biāo)的是F.

13、1．點(diǎn)、線、面是構(gòu)成幾何體的基本元素． 2．平面是無限延展的，通常畫一個(gè)平行四邊形表示一個(gè)平面． 3．平面的記法 (1)平面一般用希臘字母α、β、γ…來命名； (2)平面圖形頂點(diǎn)法． 4．認(rèn)識(shí)空間中的點(diǎn)、直線和平面之間的位置關(guān)系，我們可以動(dòng)手制作一些模型或畫出圖形，來幫助我們理解和提高空間想象能力． 一、選擇題 1．下列不屬于構(gòu)成空間幾何體的基本元素的是(　　) A．點(diǎn) B．線段 C．曲面 D．多邊形(不包括內(nèi)部的點(diǎn)) 答案　D 解析　空間中的幾何體是由點(diǎn)、線、面構(gòu)成的，而線有直線和曲線之分，面有平面和曲面之分，只有多邊形(不包括內(nèi)部的點(diǎn))不屬于構(gòu)成幾何體的基

14、本元素． 2．下列說法正確的是(　　) A．水平放置的平面是大小確定的平行四邊形 B．平面ABCD即平行四邊形ABCD的四條邊圍起來的部分 C．一條直線和一個(gè)平面一定會(huì)有公共點(diǎn) D．平面是光滑的，可向四周無限延展 答案　D 解析　平面可以用平行四邊形來表示，但平行四邊形只是平面的一部分，不能理解為平面，A錯(cuò)；平面是一個(gè)抽象的概念，是無限延展的，沒有大小、厚薄之分，B錯(cuò)；直線和平面可以沒有公共點(diǎn)，此時(shí)直線和平面平行，C錯(cuò)．故選D. 3．下列關(guān)于長(zhǎng)方體的敘述中不正確的是(　　) A．將一個(gè)矩形沿豎直方向平移一段距離一定能形成一個(gè)長(zhǎng)方體 B．長(zhǎng)方體中相對(duì)的面互相平行 C．長(zhǎng)方體

15、某一底面上的高就是這一面與其所對(duì)面的距離 D．兩相對(duì)面之間的棱互相平行且等長(zhǎng) 答案　A 解析　A選項(xiàng)中，若矩形斜放，則不會(huì)形成長(zhǎng)方體，故選A. 4．下列四個(gè)長(zhǎng)方體中，由圖中的紙板折成的是(　　) 答案　A 解析　根據(jù)題圖中紙板的折疊情況及特殊面的陰影部分可以判斷B，C，D不正確，故選A. 5.某同學(xué)制作了一個(gè)對(duì)面圖案相同的正方體禮品盒(如圖)，則這個(gè)正方體禮品盒的表面展開圖應(yīng)該為(　　) 答案　A 解析　兩個(gè)不能并列相鄰，B、D錯(cuò)誤；兩個(gè)不能并列相鄰，C錯(cuò)誤，故選A.也可通過實(shí)物制作檢驗(yàn)來判定． 6．兩個(gè)平面可以將空間分成(　　) A．3部分 B．

16、4部分 C．2或4部分 D．3或4部分 答案　D 解析　當(dāng)兩平面平行時(shí)，將空間分成3部分；當(dāng)兩平面相交時(shí)，將空間分成4部分，故選D. 二、填空題 7．下列說法： ①任何一個(gè)幾何體都必須有頂點(diǎn)、棱和面； ②一個(gè)幾何體可以沒有頂點(diǎn)； ③一個(gè)幾何體可以沒有棱； ④一個(gè)幾何體可以沒有面． 其中正確的是________．(填序號(hào)) 答案　②③ 解析　球只有一個(gè)曲面圍成，故①錯(cuò)，②③對(duì)，由于幾何體是空間圖形，故一定有面，④錯(cuò)． 8.在如圖所示的長(zhǎng)方體ABCD－A′B′C′D′中，互相平行的平面共有________對(duì)，與A′A垂直的平面是________________．

17、 答案　3　平面ABCD，平面A′B′C′D′ 解析　平面ABCD與平面A′B′C′D′平行，平面ABB′A′與平面CDD′C′平行，平面ADD′A′與平面BCC′B′平行，共3對(duì)．與AA′垂直的是平面ABCD，平面 A′B′C′D′. 9．線段AB的長(zhǎng)為5 cm，在水平面上向右移動(dòng)4 cm后記為CD，將CD沿鉛垂線方向向下移動(dòng)3 cm后記為C′D′，再將C′D′沿水平方向向左移動(dòng)4 cm后記為A′B′，依次連接構(gòu)成長(zhǎng)方體ABCD－A′B′C′D′. (1)該長(zhǎng)方體的高為________ cm. (2)平面A′B′BA與平面CDD′C′間的距離為________ cm. (3)點(diǎn)A

18、到平面BCC′B′的距離為________ cm. 答案　(1)3　(2)4　(3)5 解析　如圖，(1)該長(zhǎng)方體的高為3 cm. (2)平面A′B′BA與平面CDD′C′間的距離為4 cm. (3)A到平面BCC′B′的距離為5 cm. 10．一個(gè)正方體去掉一個(gè)“角”后減少了一個(gè)頂點(diǎn)，這個(gè)幾何圖形是________．(填序號(hào)) 答案?、? 解析　正方體共有8個(gè)頂點(diǎn)，去掉一個(gè)“角”后減少了一個(gè)頂點(diǎn)即有7個(gè)頂點(diǎn)． 11．如圖是一個(gè)正方體的表面展開圖，A，B，C均為所在棱的中點(diǎn)，D為正方體的頂點(diǎn)．若正方體的棱長(zhǎng)為2，則封閉折線ABCDA的長(zhǎng)為________． 答案

19、?。?＋ 解析　如圖，AB＋BC＋CD＋DA＝＋＋＋ ＝＋2＋，即折線ABCDA的長(zhǎng)為＋2＋. AB＋BC＋CD＋DA＝＋＋＋＝＋2＋. 三、解答題 12．如圖所示，指出幾何體的點(diǎn)、線、面． 解　其中的點(diǎn)有A，B，C，D，M，N. 其中的線有AB，BC，CD，DA，MA，MB，MC，MD，NA，NB，NC，ND. 其中的平面有平面MAD，平面MAB，平面MBC，平面MDC，平面NAB，平面NAD，平面NDC，平面NBC. 13．如圖所示是一個(gè)正方體表面的展開圖，圖中四條線段AB，CD，EF和GH在原正方體中的位置關(guān)系是什么？ 解　選擇一個(gè)面為底面，將圖形向上折成

20、正方體，如圖，點(diǎn)G與點(diǎn)C重合，點(diǎn)F與點(diǎn)B重合，則線段AB與EF相交，線段HG與CD相交，線段EF與CD平行． 四、探究與拓展 14．如圖，模塊①－⑤均由4個(gè)棱長(zhǎng)為1的小正方體構(gòu)成，模塊⑥由15個(gè)棱長(zhǎng)為1的小正方體構(gòu)成．現(xiàn)從模塊①－⑤中選出三個(gè)放到模塊⑥上，使得模塊⑥成為一個(gè)棱長(zhǎng)為3的大正方體，則下列選擇方案中，能夠完成任務(wù)的為(　　) A．模塊①，②，⑤ B．模塊①，③，⑤ C．模塊②，④，⑤ D．模塊③，④，⑤ 答案　A 解析　先將⑤放入⑥中的空缺部分，然后在上層放入①②，可得正方體，而可驗(yàn)證其余不合題意．故選A. 15．如圖是邊長(zhǎng)為1 m的正方體，有一蜘蛛潛伏在A處，B處有一小蟲被蜘蛛網(wǎng)粘住，請(qǐng)制作出模型，將正方體剪開，描述蜘蛛爬行的最短路線． 解　通過正方體的展開圖(如圖所示)，可以發(fā)現(xiàn)，AB間的最短距離為A，B兩點(diǎn)間的線 段的長(zhǎng)，為＝(m)．由展開圖可以發(fā)現(xiàn)，C點(diǎn)為其中一條棱的中點(diǎn)． 爬行的最短路線如圖(1)～(6)所示．