2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.1.1.1 函數(shù)的概念學(xué)案 新人教A版必修第一冊(cè)
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1、第1課時(shí) 函數(shù)的概念 1.理解函數(shù)的概念. 2.了解構(gòu)成函數(shù)的三要素. 3.能正確使用函數(shù)、區(qū)間符號(hào). 1.函數(shù)的概念 (1)函數(shù)的定義 設(shè)A,B是非空的實(shí)數(shù)集,如果對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x,按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng),那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù),記作y=f(x),x∈A. (2)函數(shù)的定義域與值域 函數(shù)y=f(x)中,x叫做自變量,x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域,與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域.顯然,值域是集合B的子集. (3)對(duì)應(yīng)關(guān)系f:除解析式、圖象表格
2、外,還有其他表示 對(duì)應(yīng)關(guān)系的方法,引進(jìn)符號(hào)f統(tǒng)一表示對(duì)應(yīng)關(guān)系. 溫馨提示:(1)當(dāng)A,B為非空數(shù)集時(shí),符號(hào)“f:A→B”表示A到B的一個(gè)函數(shù). (2)集合A中的數(shù)具有任意性,集合B中的數(shù)具有唯一性. (3)符號(hào)“f”它表示對(duì)應(yīng)關(guān)系,在不同的函數(shù)中f的具體含義不一樣. 2.區(qū)間概念(a,b為實(shí)數(shù),且a
3、s確定嗎? (3)下落后的某一時(shí)刻,能同時(shí)對(duì)應(yīng)兩個(gè)距離嗎? [答案] (1)0≤t≤3,0≤s≤44.1 (2)確定 (3)不能 2.判斷正誤(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”) (1)區(qū)間表示數(shù)集,數(shù)集一定能用區(qū)間表示.( ) (2)數(shù)集{x|x≥2}可用區(qū)間表示為[2,+∞].( ) (3)根據(jù)函數(shù)的定義,定義域中的一個(gè)x可以對(duì)應(yīng)著不同的y.( ) (4)函數(shù)的定義域和值域一定是無(wú)限集合.( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)× 題型一函數(shù)關(guān)系的判斷 【典例1】 (1)判斷下列對(duì)應(yīng)是不是從集合A到集合B的函數(shù). ①A=N,B=N*,對(duì)應(yīng)法則f
4、:對(duì)集合A中的元素取絕對(duì)值與B中元素對(duì)應(yīng); ②A={-1,1,2,-2},B={1,4},對(duì)應(yīng)法則f:x→y=x2,x∈A,y∈B; ③A={-1,1,2,-2},B={1,2,4},對(duì)應(yīng)法則f:x→y=x2,x∈A,y∈B; ④A={三角形},B={x|x>0},對(duì)應(yīng)法則f:對(duì)A中元素求面積與B中元素對(duì)應(yīng). (2)設(shè)M={x|-2≤x≤2},N={y|0≤y≤2},函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镸,值域?yàn)镹,對(duì)于下列四個(gè)圖象,不可作為函數(shù)y=f(x)的圖象的是( ) [思路導(dǎo)引] 在“非空數(shù)集”A中“任取x”,在對(duì)應(yīng)關(guān)系“f”作用下,B中“有唯一”的“數(shù)f(x)”與之“對(duì)應(yīng)”
5、,稱f:A→B為集合A到集合B的一個(gè)函數(shù). [解析] (1)①對(duì)于A中的元素0,在f的作用下得0,但0不屬于B,即A中的元素0在B中沒(méi)有元素與之對(duì)應(yīng),所以不是函數(shù). ②對(duì)于A中的元素±1,在f的作用下與B中的1對(duì)應(yīng),A中的元素±2,在f的作用下與B中的4對(duì)應(yīng),所以滿足A中的任一元素與B中唯一元素對(duì)應(yīng),是“多對(duì)一”的對(duì)應(yīng),故是函數(shù). ③對(duì)于A中的任一元素,在對(duì)應(yīng)關(guān)系f的作用下,B中都有唯一的元素與之對(duì)應(yīng),如±1對(duì)應(yīng)1,±2對(duì)應(yīng)4,所以是函數(shù). ④集合A不是數(shù)集,故不是函數(shù). (2)由函數(shù)定義可知,任意作一條直線x=a,則與函數(shù)的圖象至多有一個(gè)交點(diǎn),結(jié)合選項(xiàng)可知C中圖象不表示y是x的函數(shù)
6、. [答案] (1)見(jiàn)解析 (2)C (1)判斷對(duì)應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)的2個(gè)條件 ①A、B必須是非空數(shù)集. ②A中任意一元素在B中有且只有一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng). (2)根據(jù)圖形判斷對(duì)應(yīng)是否為函數(shù)的方法 ①任取一條垂直于x軸的直線l. ②在定義域內(nèi)平行移動(dòng)直線l. ③若l與圖形有且只有一個(gè)交點(diǎn),則是函數(shù);若在定義域內(nèi)沒(méi)有交點(diǎn)或有兩個(gè)或兩個(gè)以上的交點(diǎn),則不是函數(shù). [針對(duì)訓(xùn)練] 1.若集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤3},則下列圖形給出的對(duì)應(yīng)中能構(gòu)成從M到N的函數(shù)f:M→N的是( ) [解析] A中的對(duì)應(yīng)不滿足函數(shù)的存在性,即存在x∈M,但N中無(wú)與之對(duì)
7、應(yīng)的y;B、C均不滿足函數(shù)的唯一性,只有D正確. [答案] D 2.下列對(duì)應(yīng)為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)的是______.(填序號(hào)) ①A=R,B={x|x>0},f:x→y=|x|; ②A=Z,B=N*,f:x→y=x2; ③A=Z,B=Z,f:x→y=; ④A=[-1,1],B={0},f:x→y=0. [解析]?、僦校螦中的元素0在集合B中沒(méi)有元素與之對(duì)應(yīng),②中同樣是集合A中的元素0在集合B中沒(méi)有元素與之對(duì)應(yīng),對(duì)于③,集合A中負(fù)整數(shù)沒(méi)有意義. [答案]?、? 題型二用區(qū)間表示數(shù)集 【典例2】 把下列數(shù)集用區(qū)間表示,并在數(shù)軸上表示出來(lái). (1){x|x≥3}; (
8、2){x|x<-5};
(3){x|-4≤x<2或3 9、表示不包括在區(qū)間內(nèi)的端點(diǎn).
[針對(duì)訓(xùn)練]
3.已知全集U=R,A={x|-1 10、典例3】 求下列函數(shù)的定義域.
(1)y=2+;
(2)y=(x-1)0+;
(3)y=·;
(4)y=-.
[思路導(dǎo)引] 函數(shù)定義域即是使自變量x有意義的取值范圍.
[解] (1)當(dāng)且僅當(dāng)x-2≠0,即x≠2時(shí),函數(shù)y=2+有意義,所以這個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠2}.
(2)函數(shù)有意義,當(dāng)且僅當(dāng)解得x>-1,且x≠1,所以這個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x>-1且x≠1}.
(3)函數(shù)有意義,當(dāng)且僅當(dāng)解得1≤x≤3,所以這個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)閧x|1≤x≤3}.
(4)要使函數(shù)有意義,自變量x的取值必須滿足即即解得-3≤x≤2且x≠-1,即函數(shù)定義域?yàn)閧x|-3≤x≤2且x≠-1}. 11、
[變式] (1)將本例(3)中“y=·”改為“y=”,則其定義域是什么?
(2)將本例(3)中“y=·”改為“y=”,則其定義域是什么?
[解] (1)要使函數(shù)有意義,只需(3-x)(x-1)≥0,解得1≤x≤3,即定義域?yàn)閧x|1≤x≤3}.
(2)要使函數(shù)有意義,則解得1 12、f(x)是實(shí)際問(wèn)題的解析式,則應(yīng)符合實(shí)際問(wèn)題,使實(shí)際問(wèn)題有意義.
[針對(duì)訓(xùn)練]
5.求下列函數(shù)的定義域:
(1)y=;
(2)y=;
(3)y=.
[解] (1)要使函數(shù)有意義,需x2-2x-3≥0,即(x-3)(x+1)≥0,所以x≥3或x≤-1,即函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≥3或x≤-1}.
(2)要使函數(shù)有意義,則|x|-x≠0,
即|x|≠x,得x<0,所以函數(shù)的定義域?yàn)?-∞,0).
(3)要使函數(shù)有意義,則解得-≤x≤,且x≠±3,即定義域?yàn)閧x|-≤x≤,且x≠±3}.
課堂歸納小結(jié)
1.函數(shù)的本質(zhì):兩個(gè)非空數(shù)集間的一種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系.由于函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng) 13、關(guān)系一旦確定,值域隨之確定.
2.定義域是一個(gè)集合,所以需要寫(xiě)成集合的形式,在已知函數(shù)解析式又對(duì)x沒(méi)有其他限制時(shí),定義域就是使函數(shù)式有意義的x的集合.
3.對(duì)區(qū)間的幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)
(1)區(qū)間是集合,是數(shù)集,區(qū)間的左端點(diǎn)必須小于右端點(diǎn).
(2)用數(shù)軸表示區(qū)間時(shí),用實(shí)心點(diǎn)表示包括在區(qū)間內(nèi)的端點(diǎn),用空心點(diǎn)表示不包括在區(qū)間內(nèi)的端點(diǎn).
(3)在用區(qū)間表示集合時(shí),開(kāi)和閉不能混淆.
(4)“∞”是一個(gè)符號(hào),不是一個(gè)數(shù),它表示數(shù)的變化趨勢(shì).
1.函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)? )
A.[1,2)∪(2,+∞) B.(1,+∞)
C.[1,2) D.[1,+∞)
[解析] 由題意可知,要 14、使函數(shù)有意義,需滿足即x≥1且x≠2.
[答案] A
2.函數(shù)y=+的定義域?yàn)? )
A.{x|x≤1} B.{x|x≥0}
C.{x|x≥1或x≤-1} D.{x|0≤x≤1}
[解析] 由題意可知解得0≤x≤1.
[答案] D
3.函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)? )
A.{x|-2≤x≤1} B.{x|-2 15、解析] 結(jié)合區(qū)間的定義知,用區(qū)間表示為[-1,0)∪(1,2].
[答案] [-1,0)∪(1,2]
5.已知矩形的周長(zhǎng)為1,它的面積S是其一邊長(zhǎng)為x的函數(shù),則其定義域?yàn)開(kāi)_______(結(jié)果用區(qū)間表示).
[解析] 由實(shí)際意義知x>0,又矩形的周長(zhǎng)為1,所以x<,所以定義域?yàn)?
[答案]
課后作業(yè)(十五)
復(fù)習(xí)鞏固
一、選擇題
1.若函數(shù)y=f(x)的定義域M={x|-2≤x≤2},值域?yàn)镹={y|0≤y≤2},則函數(shù)y=f(x)的圖象可能是( )
[解析] A中定義域是{x|-2≤x≤0},不是M={x|-2≤x≤2},C中圖象不表示函數(shù)關(guān)系,D中值域不是N={y 16、|0≤y≤2}.
[答案] B
2.集合A={x|0≤x≤4},B={y|0≤y≤2},下列不表示從A到B的函數(shù)的是( )
A.f:x→y=x B.f:x→y=x
C.f:x→y=x D.f:x→y=
[解析] 對(duì)于選項(xiàng)C,當(dāng)x=4時(shí),y=>2不合題意.故選C.
[答案] C
3.下列對(duì)應(yīng)關(guān)系或關(guān)系式中,是A到B的函數(shù)的是( )
A.x2+y2=1,x∈A,y∈B
B.A={1,2,3,4},B={0,1},對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖
C.A=R,B=R,f:x→y=
D.A=Z,B=Z,f:x→y=
[解析] A錯(cuò)誤,x2+y2=1可化為y=±,顯然對(duì)任意x∈A,y值不一定 17、唯一.B正確,符合函數(shù)的定義.C錯(cuò)誤,2∈A,在B中找不到與之相對(duì)應(yīng)的數(shù).D錯(cuò)誤,-1∈A,在B中找不到與之相對(duì)應(yīng)的數(shù).
[答案] B
4.函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)镸,g(x)=的定義域?yàn)镹,則M∩N=( )
A.{x|x≥-2} B.{x|-2≤x<2}
C.{x|-2 18、義域?yàn)? )
A.R B.{x|x>0}
C.{x|0 19、和值域確定后,可以有不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系,如y=|x|,y=x2,故②錯(cuò)誤;函數(shù)值域中的每一個(gè)值在定義域中有一個(gè)或多個(gè)確定的數(shù)與之對(duì)應(yīng),故④錯(cuò)誤.
[答案] ③
7.函數(shù)y=的定義域是________.
[解析] 由已知得7+6x-x2≥0,即x2-6x-7≤0,解得-1≤x≤7,故函數(shù)的定義域?yàn)閇-1,7].
[答案] [-1,7]
8.設(shè)集合A={x|x2-8x-20<0},B=[5,13),則?R(A∩B)=__________________(用區(qū)間表示).
[解析] ∵A={x|x2-8x-20<0}={x|-2 20、∞,5)∪[10,+∞).
[答案] (-∞,5)∪[10,+∞)
三、解答題
9.求下列函數(shù)的定義域.
(1)y=;
(2)y=+.
[解] (1)由題意得
化簡(jiǎn)得即
故函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x<0且x≠-3}.
(2)由題意可得
解得
故函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≤7且x≠±}.
10.為了保護(hù)環(huán)境,某公交公司決定購(gòu)買10臺(tái)全新的混合動(dòng)力公交車,現(xiàn)有A、B兩種型號(hào),其中每臺(tái)的價(jià)格,年省油量如下表:
型號(hào)
A
B
價(jià)格(萬(wàn)元/臺(tái))
a
b
節(jié)省的油量(萬(wàn)升/年)
2.4
2
經(jīng)調(diào)查,購(gòu)買一臺(tái)A型車比購(gòu)買一臺(tái)B型車多20萬(wàn)元,購(gòu)買兩臺(tái)A型車比購(gòu)買三臺(tái)B型車 21、少60萬(wàn)元.
(1)請(qǐng)求出a和b;
(2)若購(gòu)買A型車x臺(tái),每年節(jié)省汽油y升,試寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出函數(shù)的定義域.
[解] (1)根據(jù)題意得:,解得.
(2)設(shè)購(gòu)買A型車x臺(tái),則購(gòu)買B型車(10-x)臺(tái),根據(jù)題意得y=2.4x+2(10-x)=0.4x+20
其中0≤x≤10,x∈N.
答:每年節(jié)約汽油y升與購(gòu)買A型車x臺(tái)的函數(shù)關(guān)系式為y=0.4x+20(0≤x≤10,且x∈N).
綜合運(yùn)用
11.函數(shù)y=f(x)的圖象與直線x=a的交點(diǎn)個(gè)數(shù)有( )
A.必有一個(gè) B.一個(gè)或兩個(gè)
C.至多一個(gè) D.可能兩個(gè)以上
[解析] 當(dāng)a在f(x)定義域內(nèi)時(shí),有一個(gè) 22、交點(diǎn),否則無(wú)交點(diǎn).
[答案] C
12.給出四個(gè)結(jié)論:①函數(shù)就是定義域到值域的對(duì)應(yīng)關(guān)系;②若函數(shù)的定義域只含有一個(gè)元素,則值域也只有一個(gè)元素;③因f(x)=5(x∈R),這個(gè)函數(shù)值不隨x的變化范圍而變化,所以f(0)=5也成立;④定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系確定后,函數(shù)值域也就確定了.其中正確的有( )
A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)
[解析] 由函數(shù)的概念可知,①不正確,其余三個(gè)結(jié)論都正確.
[答案] C
13.在下列從集合A到集合B的對(duì)應(yīng)關(guān)系中,不能確定y是x的函數(shù)的是( )
①A={x|x∈Z},B={y|y∈Z},對(duì)應(yīng)法則f:x→y=;
②A={x|x>0,x∈R 23、},B={y|y∈R},對(duì)應(yīng)法則f:x→y2=3x;
③A={x|x∈R},B={y|y∈R},對(duì)應(yīng)法則f:x→x2+y2=25;
④A=R,B=R,對(duì)應(yīng)法則f:x→y=x2;
⑤A={(x,y)|x∈R,y∈R},B=R,對(duì)應(yīng)法則f:(x,y)→s=x+y;
⑥A={x|-1≤x≤1,x∈R},B={0},對(duì)應(yīng)法則f:x→y=0.
A.①⑤⑥ B.②④⑤
C.②③④ D.①②③⑤
[解析]?、僭趯?duì)應(yīng)法則f下,A中不能被3整除的數(shù)在B中沒(méi)有元素與之對(duì)應(yīng),所以不能確定y是x的函數(shù).②在對(duì)應(yīng)法則f下,A中的數(shù)在B中有兩個(gè)數(shù)與之對(duì)應(yīng),所以不能確定y是x的函數(shù).③在對(duì)應(yīng)法則f下,A中 24、的數(shù)(除去5與-5外)在B中有兩個(gè)數(shù)或沒(méi)有數(shù)與之對(duì)應(yīng),所以不能確定y是x的函數(shù).⑤A不是數(shù)集,所以不能確定y是x的函數(shù).④⑥顯然滿足函數(shù)的特征,故能確定y是x的函數(shù).故選D.
[答案] D
14.已知區(qū)間[-2a,3a+5],則a的取值范圍為_(kāi)_______.
[解析] 由題意可知3a+5>-2a,解得a>-1.故a的取值范圍是(-1,+∞).
[答案] (-1,+∞)
15.函數(shù)y=+的定義域?yàn)開(kāi)___________________(用區(qū)間表示).
[解析] 使根式有意義的實(shí)數(shù)x的集合是{x|3-2x-x2≥0}即{x|(3-x)(x+1)≥0}={x|-1≤x≤3},使分式有意義的實(shí)數(shù)x的集合是{x|x≠±2},所以函數(shù)y=+的定義域是{x|-1≤x≤3}∩{x|x≠±2}={x|-1≤x≤3,且x≠2}.
[答案] [-1,2)∪(2,3]
16.已知函數(shù)y=的定義域是R,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
[解]?、佼?dāng)m=0時(shí),y=,其定義域是R.
②當(dāng)m≠0時(shí),由定義域?yàn)镽可知,mx2-6mx+m+8≥0對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立,于是有
解得0
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