2022年高考數(shù)學 考前30天之備戰(zhàn)沖刺押題系列 名師預測卷 15

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1、2022年高考數(shù)學 考前30天之備戰(zhàn)沖刺押題系列 名師預測卷 15 一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分． 1． 曲線在點（1,－1）處的切線方程是 ▲ ． 2． 若（R，i為虛數(shù)單位），則ab= ▲ ． 3．命題“若實數(shù)a滿足，則”的否命題是 ▲ 命題（填“真”、“假”之一）． 4． 把一個體積為27cm3的正方體木塊表面涂上紅漆，然后鋸成體積為1 cm3的27個小正方體，現(xiàn) 從中任取一塊，則這一塊至少有一面涂有紅漆的概率為 ▲ ． 5． 某教師出了一份三道題的測試卷，每道題1分，全班得3分、2分、1分和0分的學生所占比例 分別為

2、30％、50％、10％和10％，則全班學生的平均分為 ▲ 分． 6．設和都是元素為向量的集 合，則M∩N= ▲ ． 7． 在如圖所示的算法流程圖中，若輸入m = 4，n = 3，則輸出的 a= ▲ ． 8．設等差數(shù)列的公差為正數(shù)，若 則 ▲ ． 9．設是空間兩個不同的平面，m，n是平面及外的兩條不同直線．從“①m⊥n；②⊥；③n⊥；④m⊥”中選取三個作為條件，余下一個作為結論，寫出你認為正確的一個命題： ▲ （用代號表示）． 10．定義在R上的函數(shù)滿足：，當時，．下列四個 不等關系：；；；． 其中正確的個數(shù)是 ▲ ． 11

3、．在平面直角坐標系xOy中，已知A、B分別是雙曲線的左、右焦點，△ABC 的頂點 C在雙曲線的右支上，則的值是 ▲ ． 12．在平面直角坐標系xOy中，設點、，定義：． 已 知點，點M為直線上的動點，則使取最小值時點M的坐標是 ▲ ． 13．若實數(shù)x，y，z，t滿足，則的最小值為 ▲ ． 14．在平面直角坐標系xOy中，設A、B、C是圓x2+y2=1上相異三點，若存在正實數(shù)，使得 =，則的取值范圍是 ▲ ． 【填空題答案】 1. x－y－2=0 2. 3. 真

4、 4. 5. 2 6. 7. 12 8. 105 9. ①③④②（或②③④①） 10. 1 11. 12. ?13. ? 14. 二、解答題：本大題共6小題，共計90分，解答時應寫出文字說明，證明過程或演算步驟． 15．（本小題滿分14分） 如圖，平面平面，點E、F、O分別為線段PA、PB、AC的中點，點G是線段CO 的中點，，．求證： （1）平

5、面； （2）∥平面． 【證明】由題意可知，為等腰直角三角形， 為等邊三角形． …………………2分 （1）因為為邊的中點，所以， 因為平面平面，平面平面， 平面，所以面． …………………5分 因為平面，所以， 在等腰三角形內，，為所在邊的中點，所以， 又，所以平面；…………………8分 （2）連AF交BE于Q，連QO． 因為E、F、O分別為邊PA、PB、PC的中點， 所以，且Q是△PAB的重心，…………………10分 于是，所以FG//QO. …………………12分 因為平面EBO，平面EBO，所以∥平面． …………………14分 【注】第（2

6、）小題亦可通過取PE中點H，利用平面FGH//平面EBO證得. 16．（本小題滿分14分） 已知函數(shù)． （1）設，且，求的值； （2）在△ABC中，AB=1，，且△ABC的面積為，求sinA+sinB的值． 【解】（1）==．……3分 由，得， ………………5分 于是，因為，所以． ………………7分 （2）因為，由（1）知． ………………9分 因為△ABC的面積為，所以，于是. ① 在△ABC中，設內角A、B的對邊分別是a，b.

7、 由余弦定理得，所以． ?② 由①②可得或 于是． ………………12分 由正弦定理得， 所以． ………………14分 17．（本小題滿分14分） 在平面直角坐標系中，如圖，已知橢圓E：的左、右頂點分別為、， 上、下頂點分別為、．設直線的傾斜角的正弦值為，圓與以線段為直徑的圓 關于直線對稱． （1）求橢圓E的離心率； （2）判斷直線與圓的位置關系，并說明理由； （3）若圓的面積為，求圓的方程． 【解】（1）設橢圓E的焦距為2c（c>0）， 因為直線的傾斜角的正弦值為

8、，所以， 于是，即，所以橢圓E的離心率 …………4分 （2）由可設，，則， 于是的方程為：， 故的中點到的距離， …………………………6分 又以為直徑的圓的半徑，即有， 所以直線與圓相切． …………………………8分 （3）由圓的面積為知圓半徑為1，從而， …………………………10分 設的中點關于直線：的對稱點為， 則 …………………………12分 解得．所以，圓的方程為．…………………14分

9、 18．（本小題滿分16分） 如圖，實線部分的月牙形公園是由圓P上的一段優(yōu)弧和圓Q上的一段劣弧圍成，圓P和圓Q的 半徑都是2km，點P在圓Q上，現(xiàn)要在公園內建一塊頂點都在圓P上的多邊形活動場地． （1）如圖甲，要建的活動場地為△RST，求場地的最大面積； （2）如圖乙，要建的活動場地為等腰梯形ABCD，求場地的最大面積． 【解】（1）如右圖，過S作SH⊥RT于H， S△RST=． ……………………2分 由題意，△RST在月牙形公園里， RT與圓Q只能相切或相離；

10、 ……………………4分 RT左邊的部分是一個大小不超過半圓的弓形， 則有RT≤4，SH≤2， 當且僅當RT切圓Q于P時（如下左圖），上面兩個不等式中等號同時成立． 此時，場地面積的最大值為S△RST==4（km2）． ……………………6分 （2）同(1)的分析，要使得場地面積最大，AD左邊的部分是一個大小不超過半圓的弓形， AD必須切圓Q于P，再設∠BPA=，則有 ． ……………………8分 令，則 ． ………………… 11分 若，

11、， 又時，，時，， …………………14分 函數(shù)在處取到極大值也是最大值， 故時，場地面積取得最大值為（km2）． …………………16分 19． （本小題滿分16分） 設定義在區(qū)間[x1， x2]上的函數(shù)y=f(x)的圖象為C，M是C上的任意一點，O為坐標原點，設向 量=，，=(x，y)，當實數(shù)λ滿足x=λ x1+(1－λ) x2時，記向 量=λ+(1－λ)．定義“函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[x1，x2]上可在標準k下線性近似”是指 “k恒成立”，其中k是一個確定的正數(shù)． （1）設函數(shù) f(x)=x2在區(qū)間[0

12、，1]上可在標準k下線性近似，求k的取值范圍； （2）求證：函數(shù)在區(qū)間上可在標準k=下線性近似． （參考數(shù)據(jù)：e=2.718，ln(e－1)=0.541） 【解】（1）由=λ+(1－λ)得到=λ， 所以B，N，A三點共線， ……………………2分 又由x=λ x1+(1－λ) x2與向量=λ+(1－λ)，得N與M的橫坐標相同． ……………4分 對于 [0，1]上的函數(shù)y=x2，A(0，0)，B(1，1)， 則有，故； 所以k的取值范圍是．

13、 ……………………6分 （2）對于上的函數(shù)， A()，B()， ……………………8分 則直線AB的方程， ……………………10分 令，其中， 于是， ……………………13分 列表如下： x em (em，em+1－em) em+1－em (em+1－em，em+1) em+1 + 0 － 0 增 減 0 則，且在處取得最大值， 又0.

14、123，從而命題成立． ……………………16分 20．(本小題滿分16分) 已知數(shù)列滿足． （1）求數(shù)列的通項公式； （2）對任意給定的，是否存在（）使成等差數(shù)列？若存 在，用分別表示和（只要寫出一組）；若不存在，請說明理由； （3）證明：存在無窮多個三邊成等比數(shù)列且互不相似的三角形，其邊長為． 【解】（1）當時，； 當時，， 所以； 綜上所述，． ……………………3分 （2）當時，若存在p，r使成等差數(shù)列，則， 因為，所以，與數(shù)列為正數(shù)相矛盾，因此，當時不存在； …………5分

15、 當時，設，則，所以， ……………………7分 令，得，此時，， 所以，， 所以； 綜上所述，當時，不存在p，r；當時，存在滿足題設. ……………………10分 （3）作如下構造：，其中， 它們依次為數(shù)列中的第項，第項，第項， ……12分 顯然它們成等比數(shù)列，且，，所以它們能組成三角形． 由的任意性，這樣的三角形有無窮多個． ……………………14分 下面用反證法證明其中任意兩個三角形和不相似： 若三角形和相似，且，則， 整理得，所以，這與條件相矛盾， 因此，任意兩個三角形不相似． 故命題成立．

16、 ……………………16分 【注】1．第（2）小題當ak不是質數(shù)時，p，r的解不唯一； 2. 第（3）小題構造的依據(jù)如下：不妨設，且符合題意，則公比>1，因，又，則，所以，因為三項均為整數(shù)，所以為內的既約分數(shù)且含平方數(shù)因子，經(jīng)驗證，僅含或時不合，所以； 3．第（3）小題的構造形式不唯一． 數(shù)學II（附加題） 21．【選做題】本題包括A，B，C，D四小題，請選定其中兩題作答，每小題10分，共計20分， 解答時應寫出文字說明，證明過程或演算步驟． A．選修4—1：幾何證明選講

17、 自圓O外一點P引圓的一條切線PA，切點為A，M為PA的中點， 過點M引圓O的割線交該圓于B、C兩點，且∠BMP=100°， ∠BPC=40°，求∠MPB的大?。? 【解】因為MA為圓O的切線，所以． 又M為PA的中點，所以． 因為，所以． ………………5分 于是． 在△MCP中，由，得∠MPB=20°． ………………10分 B．選修4—2：矩陣與變換 已知二階矩陣A，矩陣A屬于特征值的一個特征向量為，屬于特征值 的一個特征向量為．求矩陣A． 【解】由特征值、特征向量定義可知，A， 即，得

18、 ……………………5分 同理可得 解得．因此矩陣A． …………10分 C．選修4—4：坐標系與參數(shù)方程 在平面直角坐標系xOy中，已知曲線C的參數(shù)方程為．以直角坐標系原 點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為．點 P為曲線C上的動點，求點P到直線l距離的最大值． 【解】化簡為， 則直線l的直角坐標方程為． …………………4分 設點P的坐標為，得P到直線l的距離， 即，其中． …………………8分 當時，．

19、 ………………10分 D．選修4—5：不等式選講 若正數(shù)a，b，c滿足a+b+c=1，求的最小值． 【解】因為正數(shù)a，b，c滿足a+b+c=1， 所以，，………………5分 即， 當且僅當，即時，原式取最小值1． ………………10分 【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分． 解答時應寫出文字說明，證明過程或演算步驟． 22．在正方體中，O是AC的中點，E是線段D1O上一點，且D1E＝λEO. （1）若λ=1，求異面直線DE與CD1所成角的余弦值； （2）若平面CDE⊥平面CD1O，求λ的值. 【解】(1)不妨設正方體的棱長為1，

20、以 為單位正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系． 則A(1，0，0)，，，D1(0，0，1)， E， 于是，. 由cos＝＝. 所以異面直線AE與CD1所成角的余弦值為. ……………………5分 （2）設平面CD1O的向量為m=(x1，y1，z1)，由m·＝0，m·＝0 得 取x1＝1，得y1＝z1＝1，即m=(1，1，1) . ……………………7分 由D1E＝λEO，則E，=. 又設平面CDE的法向量為n＝(x2，y2，z2)，由n·＝0，n·＝0. 得 取x2=2，得z2＝－λ，即n＝(－2，0，λ) . 因為

21、平面CDE⊥平面CD1F，所以m·n＝0，得λ＝2． ……………………10分 23．一種拋硬幣游戲的規(guī)則是：拋擲一枚硬幣，每次正面向上得1分，反面向上得2分. （1）設拋擲5次的得分為，求的分布列和數(shù)學期望E； （2）求恰好得到n分的概率． 【解】（1）所拋5次得分的概率為P(＝i)= (i=5，6，7，8，9，10)， 其分布列如下： 5 6 7 8 9 10 P E== (分) . ……………………5分 （2）令pn表示恰好得到n分的概率. 不出現(xiàn)n分的唯一情況是得到n－1分以后再擲出一次反面. 因為“不出現(xiàn)n分”的概率是1－pn，“恰好得到n－1分”的概率是pn－1， 因為“擲一次出現(xiàn)反面”的概率是，所以有1－pn=pn－1， ……………………7分 即pn－=－. 于是是以p1－=－=－為首項，以－為公比的等比數(shù)列. 所以pn－=－，即pn＝. 答：恰好得到n分的概率是. …………………10分