知識(shí)講解 離散型隨機(jī)變量的均值與方差(理)(基礎(chǔ))

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more. ------------------------------------------author ------------------------------------------date 知識(shí)講解 離散型隨機(jī)變量的均值與方差(理)(基礎(chǔ)) 知識(shí)講解 離散型隨機(jī)變量的均值與方差(理)(基礎(chǔ)) 離散型隨機(jī)變量的均值與方差 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1. 理解

2、取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的均值或期望的概念，會(huì)根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出均值或期望，并能解決一些實(shí)際問題； 2. 理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差的概念，會(huì)根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出方差或標(biāo)準(zhǔn)差，并能解決一些實(shí)際問題； 【要點(diǎn)梳理】 要點(diǎn)一、離散型隨機(jī)變量的期望 1.定義： 一般地，若離散型隨機(jī)變量的概率分布為 … … P … … 則稱…… 為的均值或數(shù)學(xué)期望，簡稱期望． 要點(diǎn)詮釋： （1）均值（期望）是隨機(jī)變量的一個(gè)重要特征數(shù)，它反映或刻畫的是隨機(jī)變量取值的平均水平． （2）一般地，在有限取值離散型隨機(jī)變量的概率分

3、布中，令…，則有…，…，所以的數(shù)學(xué)期望又稱為平均數(shù)、均值。 （3）隨機(jī)變量的均值與隨機(jī)變量本身具有相同的單位． 2．性質(zhì)： ①； ②若(a、b是常數(shù))，是隨機(jī)變量，則也是隨機(jī)變量，有； 的推導(dǎo)過程如下：： 的分布列為 … … … … P … … 于是…… ＝……)……)＝ ∴。 要點(diǎn)二：離散型隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差 1.一組數(shù)據(jù)的方差的概念： 已知一組數(shù)據(jù)，，…，，它們的平均值為，那么各數(shù)據(jù)與的差的平方的平均數(shù) ＋＋…＋叫做這組數(shù)據(jù)的方差。 2.離散型隨機(jī)變量的方差： 一般地，若離散型隨機(jī)變量

4、的概率分布為 … … P … … 則稱＝＋＋…＋＋…稱為隨機(jī)變量的方差，式中的是隨機(jī)變量的期望． 的算術(shù)平方根叫做隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差，記作． 要點(diǎn)詮釋： ⑴隨機(jī)變量的方差的定義與一組數(shù)據(jù)的方差的定義式是相同的； ⑵隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差也是隨機(jī)變量ξ的特征數(shù)，它們都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度；方差（標(biāo)準(zhǔn)差）越小，隨機(jī)變量的取值就越穩(wěn)定（越靠近平均值）． ⑶標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量本身有相同的單位，所以在實(shí)際問題中應(yīng)用更廣泛。 3.期望和方差的關(guān)系： 4.方差的性質(zhì)： 若(a、b是常數(shù))，是隨機(jī)變量，則也是隨機(jī)變量，； 要

5、點(diǎn)三：常見分布的期望與方差 1、二點(diǎn)分布： 若離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為的二點(diǎn)分布，則 期望 方差 證明：∵,,, ∴ 2、二項(xiàng)分布： 若離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為的二項(xiàng)分布，即則 期望 方差 期望公式證明： ∵， ∴， 又∵， ∴＋＋…＋＋…＋ ． 3、幾何分布： 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，若事件在每一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率都為，事件第一次發(fā)生時(shí)所做的試驗(yàn)次數(shù)是隨機(jī)變量，且，，稱離散型隨機(jī)變量服從幾何分布，記作：。 若離散型隨機(jī)變量服從幾何分布，且則 期望 方差 要點(diǎn)詮釋：隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布或者幾何分布，要從取值和相應(yīng)概率兩個(gè)角度去驗(yàn)證。 4、超幾何分布

6、： 若離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為的超幾何分布，則 期望 要點(diǎn)四：離散型隨機(jī)變量的期望與方差的求法及應(yīng)用 1、求離散型隨機(jī)變量的期望、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的基本步驟： ①理解的意義，寫出可能取的全部值； ②求取各個(gè)值的概率，寫出分布列； … … P … … ③根據(jù)分布列，由期望、方差的定義求出、、： . 注意：常見分布列的期望和方差，不必寫出分布列，直接用公式計(jì)算即可． 2.離散型隨機(jī)變量的期望與方差的實(shí)際意義及應(yīng)用 ① 離散型隨機(jī)變量的期望，反映了隨機(jī)變量取值的平均水平； ② 隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)

7、、集中與離散的程度。方差越大數(shù)據(jù)波動(dòng)越大。 ③對(duì)于兩個(gè)隨機(jī)變量和，當(dāng)需要了解他們的平均水平時(shí)，可比較和的大小。 ④和相等或很接近，當(dāng)需要進(jìn)一步了解他們的穩(wěn)定性或者集中程度時(shí)，比較和，方差值大時(shí)，則表明ξ比較離散，反之，則表明ξ比較集中．品種的優(yōu)劣、儀器的好壞、預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確與否、武器的性能等很多指標(biāo)都與這兩個(gè)特征數(shù)（數(shù)學(xué)期望、方差）有關(guān)． 【典型例題】 類型一、離散型隨機(jī)變量的期望 例1．某射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列如下： ξ 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知ξ的期望Eξ＝8.9，則y的值為________． 【思路點(diǎn)撥】分布列中含有字

8、母x、y,應(yīng)先根據(jù)分布列的性質(zhì)，求出x、y的值，再利用期望的定義求解； 【解析】x＋0.1＋0.3＋y＝1，即x＋y＝0.6.① 又7x＋0.8＋2.7＋10y＝8.9，化簡得7x＋10y＝5.4.② 由①②聯(lián)立解得x＝0.2，y＝0.4. 【總結(jié)升華】求期望的關(guān)鍵是求出分布列，只要隨機(jī)變量的分布列求出，就可以套用期望的公式求解， 舉一反三： 【變式1】某一離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布如下，且E（ξ）=1.5，則a－b為（ ）． ξ 0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1 A．－0.1 B．0 C．0.1 D．0.2 【答案

9、】B 由分布列的性質(zhì)知：0.1+a+b+0.1=1， ∴a+b=0.8．又E（ξ）=0×0.1+1×a+2×b+3×0.1=1.5，即a+2b=1.2． 解得a=0.4，b=0.4，∴a－b=0． 【變式2】隨機(jī)變量ξ的分布列為 ξ 0 2 4 P 0.4 0.3 0.3 ，則E(5ξ＋4)等于(　　) A．13　　　B．11 C．2.2 D．2.3 【答案】A 由已知得： E(ξ)＝0×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝1.8， ∴E(5ξ＋4)＝5E(ξ)＋4＝5×1.8＋4＝13. 【變式3】節(jié)日期間，某種鮮花進(jìn)貨價(jià)是每束2.5

10、元，銷售價(jià)每束5元；節(jié)后賣不出去的鮮花以每束1.6元價(jià)格處理．根據(jù)前五年銷售情況預(yù)測(cè)，節(jié)日期間這種鮮花的需求量服從如下表所示的分布，若進(jìn)這種鮮花500束，則期望利潤是 ξ 200 300 400 500 P 0.20 0.35 0.30 0.15 A.706元 B．690元 C．754元 D．720元 【答案】A 節(jié)日期間預(yù)售的量： Eξ＝200×0.2＋300×0.35＋400×0.3＋500×0.15＝40＋105＋120＋75＝340(束)， 則期望的利潤： η＝5ξ＋1.6(500－ξ)－500×2.5＝3.4ξ－450， ∴Eη＝3.4Eξ－4

11、50＝3.4×340－450＝706. ∴期望利潤為706元． 【變式4】設(shè)離散型隨機(jī)變量的可能取值為1，2，3，4，且（），，則 ； 【答案】； 由分布列的概率和為1，有， 又，即， 解得，，故。 例2. 某同學(xué)參加科普知識(shí)競(jìng)賽，需回答三個(gè)問題，競(jìng)賽規(guī)則規(guī)定：每題回答正確得100分，回答不正確得－100分．假設(shè)這名同學(xué)回答正確的概率均為0.8，且各題回答正確與否相互之間沒有影響． （1）求這名同學(xué)回答這三個(gè)問題的總得分X的概率分布和數(shù)學(xué)期望； （2）求這名同學(xué)總得分不為負(fù)分（即X≥0）的概率． 【思路點(diǎn)撥】本題顯然為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的

12、問題，因此求各個(gè)情況的概率直接用公式即可。 （1）求X的可能取值，即求得分，答對(duì)0道題得－300分，答對(duì)1道題得100－200=－100分，答對(duì)2道題得2×100－100=100分，答對(duì)3道題得300分；（2）總分不為負(fù)分包括100分和300分兩種情況． 【解析】 （1）X的可能取值為－300，－100，100，300． P（X=－300）=0.23=0.008。 P（X=－100）=×0.22×0.8=0.096， P（X=100）=×0.2×0.82=0.384， P（X=300）=0.83=0.512． 所以X的概率分布為

13、X －300 －100 100 300 P 0.008 0.096 0.384 0.512 ∴E（X）=(－300)×0.008+(－100)×0.096+100×0.384+300×0.512=180． （2）這名同學(xué)總得分不為負(fù)分的概率為 P（X≥0）=P（X=100）+P（X=300）=0.384+0.512=0.896． 【總結(jié)升華】求離散型隨機(jī)變量均值的關(guān)鍵在于列出概率分布表． 舉一反三： 【變式1】 籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分，已知他命中的概率為0.7，求他罰球一次得分的期望 【答案】因?yàn)椋?

14、所以 【變式2】一盒中裝有零件12個(gè)，其中有9個(gè)正品，3個(gè)次品，從中任取一個(gè)，如果每次取出次品就不再放回去，再取一個(gè)零件，直到取得正品為止．求在取得正品之前已取出次品數(shù)的期望． 【答案】 設(shè)取得正品之前已取出的次品數(shù)為，顯然所有可能取的值為0，1，2，3 當(dāng)時(shí)，即第一次取得正品，試驗(yàn)停止，則 當(dāng)時(shí)，即第一次取出次品，第二次取得正品，試驗(yàn)停止，則 當(dāng)時(shí)，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，試驗(yàn)停止，則 當(dāng)時(shí)，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，試驗(yàn)停止，則 ∴分布列為 0 1 2 3 p ∴ 【變式3】 某城市出租汽車的

15、起步價(jià)為10元，行駛路程不超出4km時(shí)租車費(fèi)為10元，若行駛路程超出4km，則按每超出lkm加收2元計(jì)費(fèi)(超出不足lkm的部分按lkm計(jì))．從這個(gè)城市的民航機(jī)場(chǎng)到某賓館的路程為15km．某司機(jī)經(jīng)常駕車在機(jī)場(chǎng)與此賓館之間接送旅客，由于行車路線的不同以及途中停車時(shí)間要轉(zhuǎn)換成行車路程(這個(gè)城市規(guī)定，每停車5分鐘按lkm路程計(jì)費(fèi))，這個(gè)司機(jī)一次接送旅客的行車路程ξ是一個(gè)隨機(jī)變量．設(shè)他所收租車費(fèi)為η (Ⅰ)求租車費(fèi)η關(guān)于行車路程ξ的關(guān)系式； (Ⅱ)若隨機(jī)變量ξ的分布列為 ξ 15 16 17 18 P 0.1 0.5 0.3 0.1 求所收租車費(fèi)η的數(shù)學(xué)期望． (Ⅲ)已知某旅

16、客實(shí)付租車費(fèi)38元，而出租汽車實(shí)際行駛了15km，問出租車在途中因故停車?yán)塾?jì)最多幾分鐘? 【答案】 (Ⅰ)依題意得　η=2(ξ-4)十10，即　η=2ξ+2； (Ⅱ) ∵ η=2ξ+2 ∴ 2Eξ+2=34.8 （元） 故所收租車費(fèi)η的數(shù)學(xué)期望為34.8元． 　　(Ⅲ)由38=2ξ+2，得ξ=18，5(18-15)=15 　　所以出租車在途中因故停車?yán)塾?jì)最多15分鐘 例3．若某批產(chǎn)品共100件，其中有20件二等品，從中有放回地抽取3件，求取出二等品的件數(shù)的期望、方差。 【思路點(diǎn)撥】3次有放回的抽取就是3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，取出二等品的件數(shù)這一隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布。

17、 【解析】由題知一次取出二等品的概率為，有放回地抽取3件，可以看作3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)， 即取出二等品的件數(shù)， 所以， . 【總結(jié)升華】 在確定隨機(jī)變量服從特殊分布以后，可直接運(yùn)用公式求其均值． 舉一反三： 【變式1】 英語考試有100道選擇題，每個(gè)題有4個(gè)選項(xiàng)，選對(duì)得1分，否則得0分，學(xué)生甲會(huì)其中的20道，學(xué)生乙會(huì)其中的80道，不會(huì)的均隨機(jī)選擇，求甲、乙在這次測(cè)驗(yàn)中得分的數(shù)學(xué)期望． 【答案】 設(shè)甲、乙不會(huì)的題的得分分別為隨機(jī)變量X和Y，由題意知X～B（80，0.25），Y～B（20，0.25）， ∴E（X）=80×0.25=20，E（Y）=20×0.25=5．

18、 故甲、乙的數(shù)學(xué)期望成績分別為40分和85分． 【變式2】 甲、乙兩人各進(jìn)行3次射擊，甲每次擊中目標(biāo)的概率為，乙每次擊中目標(biāo)的概率為，記甲擊中目標(biāo)的次數(shù)為X，乙擊中目標(biāo)的次數(shù)為Y， （1）求X的概率分布； （2）求X和Y的數(shù)學(xué)期望． 【答案】 甲、乙擊中目標(biāo)的次數(shù)均服從二項(xiàng)分布． （1）， ， ， 。 所以X的概率分布如下表： X 0 1 2 3 P （2）由（1）知， 或由題意，。 ∴，。 【變式3】 一次單元測(cè)驗(yàn)由20個(gè)選擇題構(gòu)成，每個(gè)選擇題有4個(gè)選項(xiàng)，其中有且僅有一個(gè)選項(xiàng)是正確答案，每題選擇正確答案得5分，

19、不作出選擇或選錯(cuò)不得分，滿分100分 學(xué)生甲選對(duì)任一題的概率為0.9，學(xué)生乙則在測(cè)驗(yàn)中對(duì)每題都從4個(gè)選擇中隨機(jī)地選擇一個(gè)，求學(xué)生甲和乙在這次英語單元測(cè)驗(yàn)中的成績的期望 【答案】設(shè)學(xué)生甲和乙在這次英語測(cè)驗(yàn)中正確答案的選擇題個(gè)數(shù)分別是，則, , 由于答對(duì)每題得5分，學(xué)生甲和乙在這次英語測(cè)驗(yàn)中的成績分別是5和5 所以，他們?cè)跍y(cè)驗(yàn)中的成績的期望分別是： 類型二、離散型隨機(jī)變量的方差 例4. 設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其概率分布如下表，試求E（X）和D（X）． X －1 0 1 P 1－2q q2 【思路點(diǎn)撥】 由概率分布的性質(zhì)求出q的值后，再計(jì)算E（X）

20、，D（X）． 【解析】 由概率分布的性質(zhì)，得： ，得。 ∴， 。 【總結(jié)升華】求隨機(jī)變量的方差，應(yīng)先明確隨機(jī)變量的概率分布。然后利用均值與方差的定義列式計(jì)算． 舉一反三： 【變式1】 設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為 X 1 2 … n P … 求D(X）。 【答案】 本題考查方差的求法．可由分布列先求出X的期望E（X），再利用方差的定義求之．也可直接利用公式D（X）=E（X2）－[E（X）]2來解． 解法一： ， ∴D 。 解法二：由解法一可求得。 又 ， ∴D。 【變式2】 1．已知隨機(jī)

21、變量ξ的分布列如下表： ξ －1 0 1 P （1）求E（ξ），D（ξ），η； （2）設(shè)η=2ξ+3，求E（η），D（η）． 【答案】（1）； ，。 （2），。 例5. 設(shè)某運(yùn)動(dòng)員投籃投中的概率為p=0.6． （1）求一次投籃時(shí)，投中次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望和方差； （2）求重復(fù)5次投籃時(shí)，投中次數(shù)Y的數(shù)學(xué)期望和方差． 【思路點(diǎn)撥】（1）投籃一次可能中，也可能不中，投中次數(shù)X服從兩點(diǎn)分布；（2）重復(fù)投籃5次的投中次數(shù)Y服從二項(xiàng)分布． 【解析】（1）X服從兩點(diǎn)分布，其分布列如下： X 0 1 P 0.4 0.6

22、 所以E（X）=p=0.6，D（X）=p（1－p）=0.24． （2）由題設(shè)，Y～B（5，0.6）． 所以E（Y）=np=5×0.6=3， D（Y）=np（1－p）=5×0.6×0.4=1.2． 【總結(jié)升華】對(duì)于兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布，可直接運(yùn)用公式計(jì)算． 舉一反三： 【變式1】籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分，已知他命中的概率為0.7，求他罰球三次得分的期望和方差。 【答案】罰球三次可以看作3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，即罰球三次得分， 所以 . 【變式2】有10件產(chǎn)品,其中3件是次品.從中任取2件,若抽到的次品數(shù)為X,求X的分布列,期望和

23、方差. 【答案】 類型三、離散型隨機(jī)變量的期望和方差的應(yīng)用 例6. 甲、乙兩名射手在一次射擊中的得分是兩個(gè)隨機(jī)變量，分別記為X1和X2，它們的概率分布分別為 X1 0 1 2 X2 0 1 2 P 0.1 a 0.4 p 0.2 0.2 b （1）求a，b的值； （2）計(jì)算X1和X2的數(shù)學(xué)期望和方差，并以此分析甲、乙兩射手的技術(shù)狀況． 【思路點(diǎn)撥】 本題考查分布列的性質(zhì)、期望與方差的求法及對(duì)期望與方差的理解．（1）可直接由分布列的性質(zhì)列式求解．（2）利用定義求期望與方差． 【解析】 （1）由分布列的性質(zhì)知， 0

24、.1+a+0.4=1，0.2+0.2+b=1， 即a=0.5，b=0.6。 （2）E（X1）=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3， E（X2）=0×0.2+1×0.2+2×0.6=1.4， D（X1）=(0－1.3)2×0.1+(1－1.3)2×0.5+(2－1.3)2×0.4=0.41， D（X2）=(0－1.4)2×0.2+(1－1.4)2×0.2+(2－1.4)2×0.6=0.64。 由上述計(jì)算的結(jié)果可知，乙的平均水平較甲好一點(diǎn)，但乙的穩(wěn)定性不如甲． 【總結(jié)升華】離散型隨機(jī)變量的期望與方差分別反映了隨機(jī)變量的取值的平均水平和波動(dòng)大小（或離散程度）． 舉一

25、反三： 【變式1】A、B兩臺(tái)機(jī)床同時(shí)加工零件，每生產(chǎn)一批數(shù)量較大的產(chǎn)品時(shí)，出次品的概率如下表所示：問哪一臺(tái)機(jī)床加工質(zhì)量較好. A機(jī)床 B機(jī)床 次品數(shù)ξ1 0 1 2 3 次品數(shù)ξ1 0 1 2 3 概率P 0.7 0.2 0.06 0.04 概率P 0.8 0.06 0.04 0.10 【答案】 Eξ1=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44, Eξ2=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44. 它們的期望相同，再比較它們的方差. Dξ1=（

26、0-0.44）2×0.7+（1-0.44）2×0.2+（2-0.44）2×0.06+（3-0.44）2×0.04=0.6064, Dξ2=（0-0.44）2×0.8+（1-0.44）2×0.06+（2-0.44）2×0.04+（3-0.44）2×0.10=0.9264. ∴Dξ1< Dξ2 故A機(jī)床加工較穩(wěn)定、質(zhì)量較好. 【變式2】有甲乙兩個(gè)單位都愿意聘用你，而你能獲得如下信息： 甲單位不同職位月工資X1/元 1 200 1 400 1 600 1 800 獲得相應(yīng)職位的概率P1 0.4 0.3 0.2 0.1 乙單位不同職位月工資X2/元 1 0

27、00 1 400 1 800 2 200 獲得相應(yīng)職位的概率P2 0.4 0.3 0.2 0.1 根據(jù)工資待遇的差異情況，你愿意選擇哪家單位？ 【答案】根據(jù)月工資的分布列，利用計(jì)算器可算得 E(X1)＝1 200×0.4＋1 400×0.3＋1 600×0.2＋1 800×0.1＝1 400， D(X1)＝(1 200－1 400)2×0.4＋(1 400－1 400)2×0.3＋(1 600－1 400)2×0.2＋(1 800－1 400)2×0.1＝40 000； E(X2)＝1 000×0.4＋1 400×0.3＋1 800×0.2＋2 200×0.1＝1 4

28、00， D(X2)＝(1 000－1 400)2×0.4＋(1 400－1 400)2×0.3＋(1 800－1 400)2×0.2＋(2 200－1 400)2×0.1＝160 000. 因?yàn)镋(X1)＝E(X2)，D(X1)

29、假設(shè)每輛車最多只賠償一次），設(shè)這三輛車在一年內(nèi)發(fā)生此種事故的概率分別為，，，且各車是否發(fā)生事故相互獨(dú)立，求一年內(nèi)該單位在此保險(xiǎn)中： （1）獲賠的概率；（2）獲賠金額X的分布列與期望． 【答案】設(shè)表示第輛車在一年內(nèi)發(fā)生此種事故，. 由題意知獨(dú)立，且. （Ⅰ）該單位一年內(nèi)獲賠的概率為 . （Ⅱ）的所有可能值為. , ， ， . 綜上知，的分布列為 0 9000 18000 27000 P 求的期望有兩種解法： 解法一：由的分布列得 （元） 解法二：設(shè)表示第輛車一年內(nèi)的獲賠金額，， 則有分布列 0 9000 P 故. 同理得. 綜上有 （元）. --------------------------------------------------