（新課標(biāo)）2021版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第五章 平面向量、復(fù)數(shù) 第26講 平面向量的概念及線性運(yùn)算導(dǎo)學(xué)案 新人教A版

《（新課標(biāo)）2021版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第五章 平面向量、復(fù)數(shù) 第26講 平面向量的概念及線性運(yùn)算導(dǎo)學(xué)案 新人教A版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（新課標(biāo)）2021版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第五章 平面向量、復(fù)數(shù) 第26講 平面向量的概念及線性運(yùn)算導(dǎo)學(xué)案 新人教A版（12頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第五章 平面向量、復(fù)數(shù) [知識體系p73] 1．平面向量 2．復(fù)數(shù) 第26講　平面向量的概念及線性運(yùn)算 【課程要求】 1．理解平面向量的概念，理解兩個(gè)向量相等的含義；理解向量的幾何表示． 2．掌握向量的加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義． 3．掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個(gè)向量共線的含義． 4．了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義． 對應(yīng)學(xué)生用書p73 【基礎(chǔ)檢測】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢? (1)向量與有向線段是一樣的，因此可以用有向線段來表示向量．(　　) (

2、2)|a|與|b|是否相等與a，b的方向無關(guān)．(　　) (3)若a∥b，b∥c，則a∥c.(　　) (4)若向量與向量是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)在一條直線上．(　　) (5)當(dāng)兩個(gè)非零向量a，b共線時(shí)，一定有b＝λa，反之成立．(　　) (6)若兩個(gè)向量共線，則其方向必定相同或相反．(　　) [答案] (1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√　(6)× 2．[必修4p86例4]已知?ABCD的對角線AC和BD相交于點(diǎn)O，且＝a，＝b，則＝______，＝________．(用a，b表示) [解析]如圖，＝＝－＝b－a，＝－＝－－＝－a－b. [答案]b－a

3、；－a－b 3．[必修4p108B組T5]在平行四邊形ABCD中，若|＋|＝|－|，則四邊形ABCD的形狀為________． [解析]如圖，因?yàn)椋?，－＝? 所以||＝||. 由對角線長相等的平行四邊形是矩形可知，四邊形ABCD是矩形． [答案]矩形 4．(多選)已知m，n∈R，a，b是向量，則下列命題錯(cuò)誤的是(　　) A．m(a－b)＝ma－mb B．(m－n)a＝ma－na C．若ma＝mb，則a＝b D．若ma＝na，則m＝n [解析]由數(shù)乘向量的運(yùn)算律知，數(shù)乘向量對數(shù)和向量都有分配律，所以A、B正確；當(dāng)m＝0時(shí)，a，b不一定相等，當(dāng)a＝0，m，n未必相等

4、，所以C、D錯(cuò)誤． [答案]CD 5．設(shè)e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，且a＝e1＋λe2與b＝－e2－e1共線，則實(shí)數(shù)λ＝(　　) A．－1B．3C．－D. [解析]∵a＝e1＋λe2與b＝－e2－e1共線，∴存在實(shí)數(shù)t，使得b＝ta，即－e2－e1＝t(e1＋λe2)，即－e2－e1＝te1＋tλe2，∴t＝－1，tλ＝－，即λ＝. [答案]D 6．設(shè)D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2為實(shí)數(shù))，則λ1＋λ2的值為________． [解析]?。剑剑? ＝＋(＋)＝－＋， ∴λ1＝－，λ2＝，即λ1＋λ2＝. [答案

5、] 【知識要點(diǎn)】 1．向量的有關(guān)概念 名稱 定義 備注 向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的長度(或稱模) 平面向量是自由向量 零向量 長度為0的向量；其方向是任意的 記作0 單位向量 長度等于1個(gè)單位的向量 非零向量a的單位向量為± 平行向量 方向相同或相反的非零向量 共線向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共線向量 0與任一向量平行或共線 相等向量 長度相等且方向相同的向量 兩向量只有相等或不等，不能比較大小 相反向量 長度相等且方向相反的向量 0的相反向量為0 2.向量的線

6、性運(yùn)算 向量 運(yùn)算 定義 法則(或幾 何意義) 運(yùn)算律 加法 求兩個(gè)向量和的運(yùn)算 三角形法則 平行四邊形 法則 (1)交換律a＋b＝b＋a. (2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c). 減法 求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算叫做a與b的差 三角形法則 a－b＝a＋(－b) 數(shù)乘 求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)當(dāng)λ>0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a

7、＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb. 3.共線向量定理 向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa. 【知識拓展】 1．一般地，首尾順次相接的多個(gè)向量的和等于從第一個(gè)向量起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)的向量，即＋＋＋…＋An－1An＝，特別地，一個(gè)封閉圖形，首尾連接而成的向量和為零向量． 2．若P為線段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則＝(＋)． 3.＝λ＋μ(λ，μ為實(shí)數(shù))，若點(diǎn)A，B，C共線，則λ＋μ＝1. 對應(yīng)學(xué)生用書p74 平面向量的概念 例1　給出下列結(jié)論： ①兩個(gè)單位向量是相等向量； ②若a＝b，b＝c，則a＝c；

8、③若一個(gè)向量的模為0，則該向量的方向不確定； ④若＝，則a＝b； ⑤若a與b共線，b與c共線，則a與c共線． 其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是(　　) A．1個(gè)B．2個(gè) C．3個(gè)D．4個(gè) [解析]兩個(gè)單位向量的模相等，但方向不一定相同，①錯(cuò)誤；若a＝b，b＝c，則a＝c，向量相等具有傳遞性，②正確；一個(gè)向量的模為0，則該向量一定是零向量，方向不確定，③正確；若＝，則a＝b，還要方向相同才行，④錯(cuò)誤；a與b共線，b與c共線，則a與c共線，當(dāng)b為零向量時(shí)不成立，⑤錯(cuò)誤． [答案]B [小結(jié)]向量有關(guān)概念的5個(gè)關(guān)鍵點(diǎn) (1)向量：方向、長度． (2)非零共線向量：方向相同或相反． (3)單

9、位向量：長度是一個(gè)單位長度． (4)零向量：方向沒有限制，長度是0. (5)相等向量：方向相同且長度相等． 1．設(shè)a0為單位向量．①若a為平面內(nèi)的某個(gè)向量，則a＝|a|·a0；②若a與a0平行，則a＝|a|a0；③若a與a0平行且|a|＝1，則a＝a0.上述命題中，假命題的個(gè)數(shù)是(　　) A．0B．1C．2D．3 [解析]向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命題；若a與a0平行，則a與a0的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時(shí)a＝－|a|a0，故②③也是假命題．綜上所述，假命題的個(gè)數(shù)是3. [答案]D 平面向量的線性運(yùn)算 例2

10、　(1)如圖，△ABC中，＝＝，記＝a，＝b，則＝__________(用a和b表示)． [解析]　＝＋＋＝－b－a＋(a＋b)＝(b－a). [答案](b－a) (2)平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，A，B，C三點(diǎn)滿足＝＋，則＝(　　) A．1B．2C．3D. [解析]∵＝－＝＋－＝，＝－＝＋－＝，∴＝3. [答案]C (3)如圖所示，下列結(jié)論正確的是(　　) ①＝a＋b; ②＝－a－b； ③＝a－b; ④＝a＋b. A．①②B．③④C．①③D．②④ [解析]由a＋b＝，知＝a＋b，①正確；由＝a－b，從而②錯(cuò)誤；＝＋b，故＝a－b，③正確；＝＋2b＝a＋b，④錯(cuò)誤

11、． 綜上，正確的為①③. [答案]C [小結(jié)]向量的運(yùn)算有兩種方法，一是幾何運(yùn)算往往結(jié)合平面幾何知識和三角函數(shù)知識解答，運(yùn)算法則是：①平行四邊形法則(平行四邊形的對角線分別是兩向量的和與差)；②三角形法則(兩箭頭間向量是差，箭頭與箭尾間向量是和)；二是坐標(biāo)運(yùn)算：建立坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為解析幾何問題解答． 向量的加法、減法及數(shù)乘統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算，有了向量的線性運(yùn)算，平面中的點(diǎn)、線段(直線)就可以利用向量表示，為用向量法解決幾何問題(或用幾何法解決向量問題)奠定了基礎(chǔ)．對于用已知向量表示未知向量的問題，找準(zhǔn)待求向量所在三角形，然后利用條件進(jìn)行等量代換是關(guān)鍵，這一過程需要從“數(shù)”與“形”兩方面來

12、把握． 2．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，且CD＝2DB，點(diǎn)E在AD邊上，且AD＝3AE，則用向量，表示為(　　) A.＋B.－ C.＋D.－ [解析]由平面向量的三角形法則及向量共線的性質(zhì)可得 ＝－＝－＝(＋)－ ＝－＝－. [答案]B 共線向量定理的應(yīng)用 例3　已知非零向量a和b不共線． (1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求證：A，B，D三點(diǎn)共線； (2)若ka＋b和a＋kb共線，求實(shí)數(shù)k的值． [解析] (1)因?yàn)椋絘＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)， 所以＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5

13、， 所以與共線． 又，有公共點(diǎn)B， 所以A，B，D三點(diǎn)共線． (2)因?yàn)閗a＋b與a＋kb共線， 所以存在實(shí)數(shù)λ，使得ka＋b＝λ(a＋kb)， 即ka＋b＝λa＋λkb， 所以(k－λ)a＝(λk－1)b. 因?yàn)閍，b是兩個(gè)不共線的非零向量， 所以k－λ＝λk－1＝0，所以k2－1＝0， 所以k＝±1. 經(jīng)檢驗(yàn)，k＝±1均符合題意． [小結(jié)]利用平面向量基本定理進(jìn)行點(diǎn)共線和向量共線的相關(guān)運(yùn)算時(shí)，如果已知點(diǎn)共線，則很容易得到向量共線；如果已知向量共線來證明點(diǎn)共線，必須找到這兩個(gè)向量的公共點(diǎn)． 例4　已知A，B，C是直線l上不同的三個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)O不在直線l上，則使等式x

14、2＋x＋＝0成立的實(shí)數(shù)x的取值集合為(　　) 　A．{0}B．? 　C．{－1}D．{0，－1} [解析]∵＝－，∴x2＋x＋－＝0， 即＝－x2－(x－1)，∵A，B，C三點(diǎn)共線， ∴－x2－(x－1)＝1，即x2＋x＝0，解得x＝0或x＝－1. 當(dāng)x＝0時(shí)，x2＋x＋＝0，此時(shí)B，C兩點(diǎn)重合，不合題意，舍去． 故x＝－1.故選C. [答案]C [小結(jié)]共線向量定理的3個(gè)應(yīng)用 (1)證明向量共線：對于向量a，b，若存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb，則a與b共線． (2)證明三點(diǎn)共線：若存在實(shí)數(shù)λ，使＝λ，則A，B，C三點(diǎn)共線． (3)求參數(shù)的值：利用共線向量定理及向量相等的條件

15、列方程(組)求參數(shù)的值． 3．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，則一定共線的三點(diǎn)是(　　) A．A，B，DB．A，B，CC．B，C，DD．A，C，D [解析]由＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b， 可得＝＋＝2a＋4b＝2，即，共線，所以A，B，D三點(diǎn)共線，故選A. [答案]A 對應(yīng)學(xué)生用書p76 1．(2018·全國卷Ⅰ理)在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，則＝(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.－B.－ C.＋D.＋ [解析]法一：如圖所示，＝＋＝＋＝×(＋)＋(－)＝－. 法二：＝－＝－＝－×(＋)＝－. [答案]A 2．(2015·全國卷Ⅱ理)設(shè)向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，則實(shí)數(shù)λ＝________． [解析]因?yàn)橄蛄喀薬＋b與a＋2b平行，所以λa＋b＝k(a＋2b)，則所以λ＝. [答案] 12