2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 第一節(jié) 坐標(biāo)系學(xué)案 文(含解析)新人教A版選修4-4
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1、第一節(jié) 坐 標(biāo) 系 2019考綱考題考情 1.平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換 設(shè)點(diǎn)P(x,y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn),在變換φ:的作用下,點(diǎn)P(x,y)對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′(x′,y′),稱φ為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換,簡(jiǎn)稱伸縮變換。 2.極坐標(biāo)的概念 (1)極坐標(biāo)系: 如圖所示,在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O,叫做極點(diǎn),從O點(diǎn)引一條射線Ox,叫做極軸,選定一個(gè)單位長(zhǎng)度和角及其正方向(通常取逆時(shí)針方向),這樣就確定了一個(gè)平面極坐標(biāo)系,簡(jiǎn)稱為極坐標(biāo)系。 (2)極坐標(biāo): 對(duì)于平面內(nèi)任意一點(diǎn)M,用ρ表示線段OM的長(zhǎng),θ表示以O(shè)x為始邊、OM為終邊的角度,ρ叫做點(diǎn)M的極徑,
2、θ叫做點(diǎn)M的極角,有序?qū)崝?shù)對(duì)(ρ,θ)叫做點(diǎn)M的極坐標(biāo),記作M(ρ,θ)。 當(dāng)點(diǎn)M在極點(diǎn)時(shí),它的極徑ρ=0,極角θ可以取任意值。 (3)點(diǎn)與極坐標(biāo)的關(guān)系: 平面內(nèi)一點(diǎn)的極坐標(biāo)可以有無數(shù)對(duì),當(dāng)k∈Z時(shí),(ρ,θ),(ρ,θ+2kπ),(-ρ,θ+(2k+1)π)表示同一個(gè)點(diǎn),而用平面直角坐標(biāo)表示點(diǎn)時(shí),每一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是唯一的。 如果規(guī)定ρ>0,0≤θ<2π,或者-π<θ≤π,那么,除極點(diǎn)外,平面內(nèi)的點(diǎn)和極坐標(biāo)就一一對(duì)應(yīng)了。 3.極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化 (1)互化背景:把平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn),x軸的正半軸作為極軸,建立極坐標(biāo)系,并在兩種坐標(biāo)系中取相同的單位長(zhǎng)度,如圖所示。
3、(2)互化公式:設(shè)M是坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點(diǎn),它的直角坐標(biāo)是(x,y),極坐標(biāo)是(ρ,θ)(ρ>0,θ∈[0,2π)),于是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式如表: 在一般情況下,由tanθ確定角時(shí),可根據(jù)點(diǎn)M所在的象限取最小正角。 4.常見曲線的極坐標(biāo)方程 1.明辨兩個(gè)坐標(biāo) 伸縮變換關(guān)系式點(diǎn)(x,y)在原曲線上,點(diǎn)(x′,y′)在變換后的曲線上,因此點(diǎn)(x,y)的坐標(biāo)滿足原來的曲線方程,點(diǎn)(x′,y′)的坐標(biāo)滿足變換后的曲線方程。 2.極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化 (1)公式代入:直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程公式x=ρcosθ及y=ρsinθ直接代入并化簡(jiǎn)。 (2)整
4、體代換:極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,變形構(gòu)造形如ρcosθ,ρsinθ,ρ2的形式,進(jìn)行整體代換。 一、走進(jìn)教材 1.(選修4-4P15T4改編)在極坐標(biāo)系中,圓ρ=-2sinθ的圓心的極坐標(biāo)是( ) A. B. C.(1,0) D.(1,π) 解析 由ρ=-2sinθ,得ρ2=-2ρsinθ,化成直角坐標(biāo)方程為x2+y2=-2y,化成標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+(y+1)2=1,圓心坐標(biāo)為(0,-1),其對(duì)應(yīng)的極坐標(biāo)為。故選B。 解析:由ρ=-2sinθ=2cos,知圓心的極坐標(biāo)為。故選B。 答案 B 2.(選修4-4P15T3改編)若以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸
5、為極軸建立極坐標(biāo)系,則線段y=1-x(0≤x≤1)的極坐標(biāo)方程為( ) A.ρ=,0≤θ≤ B.ρ=,0≤θ≤ C.ρ=cosθ+sinθ,0≤θ≤ D.ρ=cosθ+sinθ,0≤θ≤ 解析 因?yàn)閥=1-x(0≤x≤1),所以ρsinθ=1-ρcosθ(0≤ρcosθ≤1),所以ρ=。故選A。 答案 A 二、走出誤區(qū) 微提醒:①極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化致誤;②求極坐標(biāo)方程不會(huì)結(jié)合圖形求解致誤。 3.將極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)為( ) A.(0,2) B.(0,-2) C.(2,0) D.(-2,0) 解析 由可知直角坐標(biāo)為(0,-2)。故選B。 答案 B 4.
6、在極坐標(biāo)系中,過點(diǎn)且與極軸平行的直線方程是( ) A.ρ=0 B.θ= C.ρcosθ=2 D.ρsinθ=2 解析 極坐標(biāo)為的點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(0,2),過該點(diǎn)且與極軸平行的直線的方程為y=2,其極坐標(biāo)方程為ρsinθ=2。故選D。 答案 D 5.在極坐標(biāo)系中,圓心在(,π)且過極點(diǎn)的圓的方程為________。 解析 如圖,O為極點(diǎn),OB為直徑,A(ρ,θ),則∠ABO=θ-,OB=2=,化簡(jiǎn)得ρ=-2cosθ。 答案 ρ=-2cosθ 考點(diǎn)一伸縮變換 【例1】 (1)曲線C:x2+y2=1經(jīng)過伸縮變換得到曲線C′,則曲線C′的方程為________。 (2)曲
7、線C經(jīng)過伸縮變換后所得曲線的方程為x′2+y′2=1,則曲線C的方程為________。 解析 (1)因?yàn)樗源肭€C的方程得C′:+y′2=1。 (2)根據(jù)題意,曲線C經(jīng)過伸縮變換后所得曲線的方程為x′2+y′2=1,則(2x)2+(3y)2=1,即4x2+9y2=1,所以曲線C的方程為4x2+9y2=1。 答案 (1)+y′2=1 (2)4x2+9y2=1 1.平面上的曲線y=f(x)在變換φ:的作用下的變換方程的求法是將代入y=f(x),整理得y′=h(x′)為所求。 2.解答該類問題應(yīng)明確兩點(diǎn):一是根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換公式的意義與作用;二是明確變換前的點(diǎn)P(x
8、,y)與變換后的點(diǎn)P′(x′,y′)的坐標(biāo)關(guān)系,用方程思想求解。 【變式訓(xùn)練】 (1)在同一平面直角坐標(biāo)系中,已知伸縮變換φ:則點(diǎn)A經(jīng)過變換后所得的點(diǎn)A′的坐標(biāo)為________。 (2)雙曲線C:x2-=1經(jīng)過伸縮變換φ:后所得曲線C′的焦點(diǎn)坐標(biāo)為________。 解析 (1)設(shè)A′(x′,y′),由伸縮變換φ:得到由于點(diǎn)A的坐標(biāo)為,于是x′=3×=1,y′=×(-2)=-1,所以A′的坐標(biāo)為(1,-1)。 (2)設(shè)曲線C′上任意一點(diǎn)P′(x′,y′),將代入x2-=1,得-=1,化簡(jiǎn)得-=1,即為曲線C′的方程,知C′仍是雙曲線,其焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為(-5,0),(5,0)。 答案
9、 (1)(1,-1) (2)(-5,0),(5,0) 考點(diǎn)二極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化 【例2】 (2018·全國(guó)卷Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的方程為y=k|x|+2。以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ2+2ρcosθ-3=0。 (1)求C2的直角坐標(biāo)方程; (2)若C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn),求C1的方程。 解 (1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ得C2的直角坐標(biāo)方程為(x+1)2+y2=4。 (2)由(1)知C2是圓心為A(-1,0),半徑為2的圓。 由題設(shè)知,C1是過點(diǎn)B(0,2)且關(guān)于y軸對(duì)稱的兩條射線。記y軸右邊的射線為l1
10、,y軸左邊的射線為l2。由于B在圓C2的外面,故C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且l2與C2有兩個(gè)公共點(diǎn),或l2與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且l1與C2有兩個(gè)公共點(diǎn)。 當(dāng)l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),A到l1所在直線y=kx+2的距離為2,所以=2,故k=-或k=0。 經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)k=0時(shí),l1與C2沒有公共點(diǎn);當(dāng)k=-時(shí),l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn),l2與C2有兩個(gè)公共點(diǎn)。 當(dāng)l2與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),A到l2所在直線y=-kx+2的距離為2,所以=2,故k=0或k=。 經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)k=0時(shí),l1與C2沒有公共點(diǎn);當(dāng)k=時(shí),l2與C2沒有公共點(diǎn)。 綜上,所求C1的方程為
11、y=-|x|+2。 1.極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化依據(jù)是x=ρcosθ,y=ρsinθ。 2.互化時(shí)要注意前后的等價(jià)性。 【變式訓(xùn)練】 (1)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4sin。求曲線C的直角坐標(biāo)方程。 (2)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線C1:(α為參數(shù))經(jīng)過伸縮變換后的曲線為C2,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系。求C2的極坐標(biāo)方程。 解 (1)把ρ=4sin展開得ρ=2sinθ+2cosθ, 兩邊同乘ρ,得ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ ①。 將ρ2=x2+y2,ρcosθ=x,ρsinθ
12、=y(tǒng)代入①即得曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2x-2y=0。 (2)由題意得曲線C2的參數(shù)方程為(α為參數(shù)), 則曲線C2的直角坐標(biāo)方程為(x′-1)2+y′2=1, 將x′=ρcosθ,y′=ρsinθ代入整理得ρ=2cosθ,所以曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ。 考點(diǎn)三求曲線的極坐標(biāo)方程 【例3】 在極坐標(biāo)系中,直線C1的極坐標(biāo)方程為ρsinθ=2,M是C1上任意一點(diǎn),點(diǎn)P在射線OM上,且滿足|OP|·|OM|=4,記點(diǎn)P的軌跡為C2。 (1)求曲線C2的極坐標(biāo)方程; (2)求曲線C2上的點(diǎn)到直線ρcos=距離的最大值。 解 (1)設(shè)P(ρ1,θ),M(ρ2,θ)
13、, 由|OP|·|OM|=4,得ρ1ρ2=4,即ρ2=。 因?yàn)镸是C1上任意一點(diǎn),所以ρ2sinθ=2, 即sinθ=2,ρ1=2sinθ。 所以曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ。 (2)由ρ=2sinθ,得ρ2=2ρsinθ,即x2+y2-2y=0, 化為標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+(y-1)2=1, 則曲線C2的圓心坐標(biāo)為(0,1),半徑為1, 由直線ρcos=, 得:ρcosθcos-ρsinθsin=,即x-y=2, 圓心(0,1)到直線x-y=2的距離為 d==, 所以曲線C2上的點(diǎn)到直線ρcos=距離的最大值為1+。 求曲線的極坐標(biāo)方程的步驟:(1)建立適當(dāng)?shù)?/p>
14、極坐標(biāo)系,設(shè)P(ρ,θ)是曲線上任意一點(diǎn);(2)由曲線上的點(diǎn)所適合的條件,列出曲線上任意一點(diǎn)的極徑ρ和極角θ之間的關(guān)系式;(3)將列出的關(guān)系式進(jìn)行整理、化簡(jiǎn),得出曲線的極坐標(biāo)方程。 【變式訓(xùn)練】 (2019·廣州五校聯(lián)考)在極坐標(biāo)系中,圓C是以點(diǎn)C為圓心,2為半徑的圓。 (1)求圓C的極坐標(biāo)方程; (2)求圓C被直線l:θ=-(ρ∈R)所截得的弦長(zhǎng)。 解 (1)設(shè)所求圓上任意一點(diǎn)M(ρ,θ),如圖, 在Rt△OAM中,∠OMA=, ∠AOM=2π-θ-,|OA|=4。 因?yàn)閏os∠AOM=, 所以|OM|=|OA|·cos∠AOM, 即ρ=4cos=4cos, 驗(yàn)證可知
15、,極點(diǎn)O與A的極坐標(biāo)也滿足方程,故ρ=4cos為所求。 (2)設(shè)l:θ=-(ρ∈R)交圓C于點(diǎn)O,P,在Rt△OAP中,∠OPA=,易得∠AOP=, 所以|OP|=|OA|cos∠AOP=2。 解:(1)圓C是將圓ρ=4cosθ繞極點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)而得到的圓, 所以圓C的極坐標(biāo)方程是ρ=4cos。 (2)將θ=-代入圓C的極坐標(biāo)方程 ρ=4cos,得ρ=2, 所以圓C被直線l:θ=-(ρ∈R)所截得的弦長(zhǎng)為2。 考點(diǎn)四極坐標(biāo)方程的應(yīng)用 【例4】 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的方程是x=4。曲線C的參數(shù)方程是(φ為參數(shù))。以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極
16、坐標(biāo)系。 (1)求直線l和曲線C的極坐標(biāo)方程; (2)若射線θ=α與曲線C交于點(diǎn)O,A,與直線l交于點(diǎn)B,求的取值范圍。 解 (1)由x=ρcosθ,得直線l的極坐標(biāo)方程為ρcosθ=4。 曲線C的參數(shù)方程為(φ為參數(shù)), 消去參數(shù)φ得曲線C的普通方程為(x-1)2+(y-1)2=2, 即x2+y2-2x-2y=0, 將x2+y2=ρ2,x=ρcosθ,y=ρsinθ代入上式得ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ, 所以曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ+2sinθ。 (2)設(shè)A(ρ1,α),B(ρ2,α), 則ρ1=2cosα+2sinα,ρ2=, 所以====(sin2α
17、+cos2α)+=sin+,
因?yàn)?<α<,所以<2α+<,
所以 18、曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ,
所以曲線C是圓心為(2,0),直徑為4的圓。
因?yàn)橹本€l的極坐標(biāo)方程為ρsin=2,
則直線l過A(4,0),傾斜角為,
所以A為直線l與圓C的一個(gè)交點(diǎn)。
設(shè)另一個(gè)交點(diǎn)為B,則∠AOB=。連接OB。
因?yàn)镺A為直徑,從而∠OBA=,
所以AB=4cos=2。
因此,直線l被曲線C截得的弦長(zhǎng)為2。
(2)①曲線C1的普通方程為(x-)2+(y-2)2=4,
即x2+y2-2x-4y+3=0,
則曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+3=0。
因?yàn)橹本€C2的方程為y=x,
所以直線C2的極坐標(biāo)方程為θ=(ρ∈R) 19、。
②設(shè)P(ρ1,θ1),Q(ρ2,θ2),
將θ=(ρ∈R)代入ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+3=0得,
ρ2-5ρ+3=0,所以ρ1ρ2=3,
所以|OP|·|OQ|=ρ1ρ2=3。
1.(配合例4使用)在直角坐標(biāo)系xOy中,圓C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))。以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線C2的極坐標(biāo)方程為θ=(ρ∈R)。
(1)求圓C1的極坐標(biāo)方程和直線C2的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)C1與C2的交點(diǎn)為P,Q,求△C1PQ的面積。
解 (1)直線C2的直角坐標(biāo)方程為x+y=0。
圓C1的普通方程為(x+2)2+(y-4)2=4,
因?yàn)閤=ρ 20、cosθ,y=ρsinθ,
所以C1的極坐標(biāo)方程為ρ2+4ρcosθ-8ρsinθ+16=0。
(2)將θ=代入ρ2+4ρcosθ-8ρsinθ+16=0,
得ρ2-6ρ+16=0,
解得ρ1=4,ρ2=2,
故|ρ1-ρ2|=2,即|PQ|=2。
由于圓C1的半徑為2,所以△C1PQ的面積為2。
2.(配合例4使用)在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的方程是y=6,圓C的參數(shù)方程是(φ為參數(shù)),以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系。
(1)分別求直線l與圓C的極坐標(biāo)方程;
(2)射線OM:θ=α與圓C的交點(diǎn)為O,P兩點(diǎn),與直線l交于點(diǎn)M,射線ON:θ=α+與圓C交于O,Q兩點(diǎn),與直線l交于點(diǎn)N,求·的最大值。
解 (1)直線l的方程是y=6,可得極坐標(biāo)方程:ρsinθ=6,圓C的參數(shù)方程是(φ為參數(shù)),
可得普通方程:x2+(y-1)2=1,
展開為x2+y2-2y=0。
化為極坐標(biāo)方程:ρ2-2ρsinθ=0,即ρ=2sinθ。
(2)由題意可得:點(diǎn)P,M的極坐標(biāo)為(2sinα,α),。
所以|OP|=2sinα,|OM|=,可得=。
同理可得==。
所以·=≤。
當(dāng)α=時(shí),取等號(hào)。
所以·的最大值為。
12
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