2022高考數(shù)學二輪復(fù)習 專題三 三角函數(shù)、平面向量 專題跟蹤訓(xùn)練15 三角恒等變換與解三角形 理

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1、2022高考數(shù)學二輪復(fù)習 專題三 三角函數(shù)、平面向量 專題跟蹤訓(xùn)練15 三角恒等變換與解三角形 理 一、選擇題 1.(2018·廣東七校聯(lián)考)已知sin+cosα=-,則cos=(  ) A.- B. C.- D. [解析] 由sin+cosα=-,得sinα+cosα+cosα=-,即sinα+cosα=-, 亦即sin=-, ∴sin=-, ∴cos=sin=sin =-,故選C. [答案] C 2.(2018·貴陽監(jiān)測)已知sin=,則cos的值是(  ) A. B. C.- D.- [解析] ∵sin=,∴cos=cos=1-2sin2=,∴cos=

2、cos=cos=-cos=-. [答案] D 3.(2018·湖北武漢模擬)在△ABC中,a=,b=,B=,則A等于(  ) A. B. C. D.或 [解析] 由正弦定理得=,所以sinA===,所以A=或.又a

3、in2CcosC=3sinCcos2C,2cos2C=3(cos2C-sin2C),tan2C=,∵B=2C,∴C為銳角,∴tanC=,C=,B=,A=,故選A. [答案] A 5.在△ABC中,a、b、c分別是內(nèi)角A、B、C的對邊.若bsinA=3csinB,a=3,cosB=,則b=(  ) A.14 B.6 C. D. [解析] bsinA=3csinB?ab=3bc?a=3c?c=1,∴b2=a2+c2-2accosB=9+1-2×3×1×=6,b=,故選D. [答案] D 6.(2018·山東日照二模)如圖所示,在平面四邊形ABCD中,AB=1,BC=2,△ACD為

4、正三角形,則△BCD面積的最大值為(  ) A.2+2 B. C.+2 D.+1 [解析] 在△ABC中,設(shè)∠ABC=α,∠ACB=β,由余弦定理得:AC2=12+22-2×1×2cosα,∵△ACD為正三角形,∴CD2=AC2=5-4cosα,S△BCD=·2·CD·sin=CD·sin=CD·cosβ+CD·sinβ,在△ABC中,由正弦定理得:=,∴AC·sinβ=sinα,∴CD·sinβ=sinα,∴(CD·cosβ)2=CD2(1-sin2β)=CD2-sin2α=5-4cosα-sin2α=(2-cosα)2,∵β<∠BAC,∴β為銳角,CD·cosβ=2-co

5、sα,∴S△BCD=CD·cosβ+CD·sinβ=·(2-cosα)+sinα=+sin,當α=時,(S△BCD)max=+1. [答案] D 二、填空題 7.(2018·長春二模)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且2asinA=(2sinB+sinC)b+(2c+b)sinC,則A=________. [解析] 由已知,根據(jù)正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即a2=b2+c2+bc.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,故cosA=-,又A為三角形的內(nèi)角,故A=120°. [答案] 120° 8.計算:4cos50°-tan40°=_

6、_______. [解析] 4cos50°-tan40°=4sin40°- = = = = ==. [答案]  9.(2018·安徽合肥一模)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若cosC=,bcosA+acosB=2,則△ABC的外接圓面積為________. [解析] 已知bcosA+acosB=2,由正弦定理可得2RsinBcosA+2RsinAcosB=2(R為△ABC的外接圓半徑).利用兩角和的正弦公式得2Rsin(A+B)=2,則2RsinC=2,因為cosC=,所以sinC=,所以R=3.故△ABC的外接圓面積為9π. [答案] 9π 三、解答題

7、 10.(2018·江蘇卷)已知α,β為銳角,tanα=,cos(α+β)=-. (1)求cos2α的值; (2)求tan(α-β)的值. [解] (1)因為tanα=,tanα=,所以sinα=cosα. 因為sin2α+cos2α=1,所以cos2α=, 所以cos2α=2cos2α-1=-. (2)因為α,β為銳角,所以α+β∈(0,π), 又因為cos(α+β)=-, 所以sin(α+β)==, 因此tan(α+β)=-2. 因為tanα=,所以tan2α==-. 因此tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]==-. 11.(2018·河北保定三模)在△A

8、BC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對邊,且滿足cosB=bcosA. (1)若sinA=,a+b=10,求a; (2)若b=3,a=5,求△ABC的面積S. [解] ∵cosB=bcosA, ∴由正弦定理得·cosB=sinBcosA,即有sinCcosB=sinAcosB+cosAsinB,則sinC·cosB=sinC.∵sinC>0,∴cosB=. (1)由cosB=,得sinB=, ∵sinA=,∴==. 又∵a+b=10,∴a=4. (2)∵b2=a2+c2-2accosB,b=3,a=5,∴45=25+c2-8c,即c2-8c-20=0,解得c=10或c=-2

9、(舍去), ∴S=acsinB=15. 12.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知2(tanA+tanB)=+. (1)證明:a+b=2c; (2)求cosC的最小值. [解] (1)證明:由題意知2=+, 化簡得2(sinAcosB+sinBcosA)=sinA+sinB,即2sin(A+B)=sinA+sinB. 因為A+B+C=π, 所以sin(A+B)=sin(π-C)=sinC. 從而sinA+sinB=2sinC. 由正弦定理得a+b=2c. (2)由(1)知c=, 所以cosC== =-≥, 當且僅當a=b時,等號成立. 故cosC的最小值為.

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