(京津?qū)S茫?022高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 優(yōu)編增分練:8+6分項(xiàng)練9 立體幾何 文

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1、(京津?qū)S茫?022高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 優(yōu)編增分練:8+6分項(xiàng)練9 立體幾何 文 1.(2018·瀘州模擬)設(shè)a,b是空間中不同的直線,α,β是不同的平面,則下列說法正確的是(  ) A.a(chǎn)∥b,b?α,則a∥α B.a(chǎn)?α,b?β,α∥β,則a∥b C.a(chǎn)?α,b?α,a∥β,b∥β,則α∥β D.α∥β,a?α,則a∥β 答案 D 解析 由a,b是空間中不同的直線,α,β是不同的平面知, 在A中,a∥b,b?α,則a∥α或a?α,故A錯(cuò)誤; 在B中,a?α,b?β,α∥β,則a與b平行或異面,故B錯(cuò)誤; 在C中,a?α,b?α,a∥β,b∥β,則α與β相交或平行,故C錯(cuò)誤;

2、 在D中,α∥β,a?α,則由面面平行的性質(zhì)得a∥β,故D正確. 2.(2018·福建省廈門外國(guó)語學(xué)校模擬)如圖,在正方體ABCD—A1B1C1D1中,E為棱BB1的中點(diǎn),用過點(diǎn)A,E,C1的平面截去該正方體的下半部分,則剩余幾何體的正(主)視圖是(  ) 答案 A 解析 取DD1的中點(diǎn)F,連接AF,C1F, 平面AFC1E為截面.如圖所示, 所以上半部分的正(主)視圖,如A選項(xiàng)所示,故選A. 3.(2018·昆明模擬)一個(gè)幾何體挖去部分后的三視圖如圖所示,若其正(主)視圖和側(cè)(左)視圖都是由三個(gè)邊長(zhǎng)為2的正三角形組成,則該幾何體的表面積為(  ) A.13

3、π B.12π C.11π D.2π 答案 B 解析 由三視圖可知,該幾何體是一個(gè)圓臺(tái),內(nèi)部挖去一個(gè)圓錐.圓臺(tái)的上底面半徑為1,下底面半徑為2,母線長(zhǎng)為2,圓錐底面為圓臺(tái)的上底面,頂點(diǎn)為圓臺(tái)底面的圓心. 圓臺(tái)側(cè)面積為π(1+2)×2=6π, 下底面面積為π×22=4π, 圓錐的側(cè)面積為π×1×2=2π. 所以該幾何體的表面積為6π+4π+2π=12π. 4.(2018·洛陽統(tǒng)考)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為(  ) A. B. C. D.8 答案 A 解析 根據(jù)題中所給的幾何體的三視圖,可以得到該幾何體是由正方體切割而成的, 記正方體為AB

4、CD-A1B1C1D1,取A1D1的中點(diǎn)M,取D1C1的中點(diǎn)N, 該幾何體就是正方體切去一個(gè)三棱錐D-MND1之后剩余的部分, 故其體積為V=23-××1×1×2=. 5.現(xiàn)有編號(hào)為①,②,③的三個(gè)三棱錐(底面水平放置),俯視圖分別為圖1、圖2、圖3,則至少存在一個(gè)側(cè)面與此底面互相垂直的三棱錐的所有編號(hào)是(  ) A.① B.①② C.②③ D.①②③ 答案 B 解析 根據(jù)題意可得三個(gè)立體幾何圖形如圖所示:由圖一可得側(cè)面ABD,ADC與底面垂直,由圖二可得面ACE垂直于底面,由圖三可知,無側(cè)面與底面垂直. 6.如圖所示,四棱錐S-ABCD的底面為正方形,SD⊥底

5、面ABCD,則下列結(jié)論中不正確的是(  ) A.AC⊥SB B.AB∥平面SCD C.SA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角 D.AB與SC所成的角等于DC與SA所成的角 答案 D 解析 對(duì)于選項(xiàng)A,由題意得SD⊥AC,AC⊥BD,SD∩BD=D,∴AC⊥平面SBD,故AC⊥SB,故A正確;對(duì)于選項(xiàng)B,∵AB∥CD,AB?平面SCD,∴AB∥平面SCD,故B正確;對(duì)于選項(xiàng)C,由對(duì)稱性知SA與平面SBD所成的角與SC與平面SBD所成的角相等,故C正確. 7.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中“開立圓術(shù)”曰:置積尺數(shù),以十六乘之,九而一,所得開立方除之,即立圓徑.“開立

6、圓術(shù)”相當(dāng)于給出了已知球的體積V,求其直徑d的一個(gè)近似公式d≈,人們還用過一些類似的近似公式,根據(jù)π=3.141 59…判斷,下列近似公式中最精確的一個(gè)是(  ) A.d≈ B.d≈ C.d≈ D.d≈ 答案 D 解析 根據(jù)球的體積公式V=πR3=π3, 得d=,設(shè)選項(xiàng)中的常數(shù)為,則π=, 選項(xiàng)A代入得π==3.1, 選項(xiàng)B代入得π==3, 選項(xiàng)C代入得π==3.2, 選項(xiàng)D代入得π==3.142 857, D選項(xiàng)更接近π的真實(shí)值,故選D. 8.已知四邊形ABCD為邊長(zhǎng)等于的正方形,PA⊥平面ABCD,QC∥PA,且異面直線QD與PA所成的角為30°,則四棱錐Q-

7、ABCD外接球的表面積等于(  ) A.π B.25π C.π D.π 答案 B 解析 因?yàn)镻A⊥平面ABCD,QC∥PA, 所以QC⊥平面ABCD,且異面直線QD與PA所成的角即∠DQC, 所以∠DQC=30°, 又CD=,所以QC=. 由于CB,CQ,CD兩兩垂直, 所以四棱錐Q-ABCD的外接球的直徑就是以CB,CQ,CD為棱的長(zhǎng)方體的體對(duì)角線,設(shè)四棱錐Q-ABCD外接球的半徑為R, 則R=,所以外接球的表面積為4π·2=25π. 9.(2018·漳州模擬)在直三棱柱A1B1C1-ABC中,A1B1=3,B1C1=4,A1C1=5,AA1=2,則其外接球與內(nèi)

8、切球的表面積的比值為________. 答案  解析 如圖1,分別取AC,A1C1的中點(diǎn)G,H,連接GH, 取GH的中點(diǎn)O,連接OA, 由題意,得A1B+B1C=A1C, 即△A1B1C1為直角三角形, 則點(diǎn)O為外接球的球心,OA為半徑, 則R=OA==; 如圖2,作三棱柱的中截面, 則中截面三角形的內(nèi)心是該三棱柱的內(nèi)切球的球心, 中截面三角形的內(nèi)切圓的半徑r==1,也是內(nèi)切球的半徑, 因?yàn)镽∶r=∶2, 則其外接球與內(nèi)切球的表面積的比值為=. 10.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知∠BCA=90°,∠BAC=60°,AC=4,E為AA1的中點(diǎn),點(diǎn)F為

9、BE的中點(diǎn),點(diǎn)H在線段CA1上,且A1H=3HC,則線段FH的長(zhǎng)為________. 答案  解析 由題意知,AB=8,過點(diǎn)F作FD∥AB交AA1于點(diǎn)D,連接DH,則D為AE中點(diǎn),F(xiàn)D=AB=4, 又==3,所以DH∥AC,∠FDH=60°, DH=AC=3,由余弦定理得 FH==. 11.如圖所示,AB是⊙O的直徑,PA⊥⊙O所在的平面,C是圓上一點(diǎn),且∠ABC=30°,PA=AB,則直線PC與平面ABC所成角的正切值為________. 答案 2 解析 因?yàn)镻A⊥平面ABC,所以AC為斜線PC在平面ABC上的射影,所以∠PCA即為PC與平面ABC所成的角.在Rt△P

10、AC中,AC=AB=PA, 所以tan∠PCA==2. 12.如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱AA1⊥平面ABC.若AB=AC=AA1=1,BC=,則異面直線A1C與B1C1所成的角為________. 答案 60° 解析 因?yàn)閹缀误w是棱柱,BC∥B1C1,則∠A1CB就是異面直線A1C與B1C1所成的角,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱AA1⊥平面ABC,AB=AC=AA1=1,BC=,則BA1==,CA1==,所以△BCA1是正三角形,故異面直線所成的角為60°. 13.(2018·南昌模擬)已知正三棱臺(tái)ABC-A1B1C1的上、下底邊長(zhǎng)分別為3,4,高

11、為7,若該正三棱臺(tái)的六個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上,且球心O在正三棱臺(tái)ABC-A1B1C1內(nèi),則球O的表面積為________. 答案 100π 解析 因?yàn)檎馀_(tái)ABC-A1B1C1的上、下底邊長(zhǎng)分別為3,4, 取正三棱臺(tái)的上、下底面的中心分別為E,E1, 則正三棱臺(tái)的高為h=EE1=7, 在上下底面的等邊三角形中, 可得AE=AD=3,A1E1=A1D1=4, 則球心O在直線EE1上,且半徑為R=OA=OA1, 所以=,且OE+OE1=7, 解得OE=4,所以R==5, 所以球O的表面積為S=4πR2=100π. 14.已知三棱錐O—ABC中,A,B,C三點(diǎn)均在球心為O的球面上,且AB=BC=1,∠ABC=120°,若球O的體積為,則三棱錐O—ABC的體積是________. 答案  解析 三棱錐O—ABC中,A,B,C三點(diǎn)均在球心為O的球面上,且AB=BC=1,∠ABC=120°,則AC=, ∴S△ABC=×1×1×sin 120°=,設(shè)球半徑為R,由球的體積V1=πR3=,解得R=4.設(shè)△ABC外接圓的圓心為G,∴外接圓的半徑為GA==1, ∴OG===, ∴三棱錐O —ABC的體積為 V2=S△ABC·OG=××=.

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