(全國通用版)2019高考數(shù)學二輪復習 板塊四 考前回扣 回扣7 解析幾何學案 文

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1、 回扣7 解析幾何 1.直線方程的五種形式 (1)點斜式:y-y1=k(x-x1)(直線過點P1(x1,y1),且斜率為k,不包括y軸和平行于y軸的直線). (2)斜截式:y=kx+b(b為直線l在y軸上的截距,且斜率為k,不包括y軸和平行于y軸的直線). (3)兩點式:=(直線過點P1(x1,y1),P2(x2,y2),且x1≠x2,y1≠y2,不包括坐標軸和平行于坐標軸的直線). (4)截距式:+=1(a,b分別為直線的橫、縱截距,且a≠0,b≠0,不包括坐標軸、平行于坐標軸和過原點的直線). (5)一般式:Ax+By+C=0(其中A,B不同時為0). 2.直線的兩種位

2、置關(guān)系 當不重合的兩條直線l1和l2的斜率存在時: (1)兩直線平行l(wèi)1∥l2?k1=k2. (2)兩直線垂直l1⊥l2?k1·k2=-1. 提醒 當一條直線的斜率為0,另一條直線的斜率不存在時,兩直線也垂直,此種情形易忽略. 3.三種距離公式 (1)A(x1,y1),B(x2,y2)兩點間的距離 |AB|=. (2)點到直線的距離d=(其中點P(x0,y0),直線方程為Ax+By+C=0). (3)兩平行線間的距離d=(其中兩平行線方程分別為l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0). 提醒 應(yīng)用兩平行線間距離公式時,注意兩平行線方程中x,y的系數(shù)應(yīng)對應(yīng)相等

3、. 4.圓的方程的兩種形式 (1)圓的標準方程:(x-a)2+(y-b)2=r2. (2)圓的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0). 5.直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 (1)直線與圓的位置關(guān)系:相交、相切、相離,代數(shù)判斷法與幾何判斷法. (2)圓與圓的位置關(guān)系:相交、內(nèi)切、外切、外離、內(nèi)含,代數(shù)判斷法與幾何判斷法. 6.圓錐曲線的定義、標準方程與幾何性質(zhì) 名稱 橢圓 雙曲線 拋物線 定義 |PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|) ||PF1|-|PF2||=2a(2a<|F1F2|) |PF|=|PM|點F不在直線l上,PM⊥l

4、于M 標準方程 +=1(a>b>0) -=1(a>0,b>0) y2=2px(p>0) 圖形 幾何性質(zhì) 范圍 |x|≤a,|y|≤b |x|≥a x≥0 頂點 (±a,0),(0,±b) (±a,0) (0,0) 對稱性 關(guān)于x軸,y軸和原點對稱 關(guān)于x軸對稱 焦點 (±c,0) 軸 長軸長2a,短軸長2b 實軸長2a,虛軸長2b 離心率 e==(01) e=1 準線 x=- 漸近線 y=±x 7.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 判斷方法:通過解直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立得

5、到的方程組進行判斷. 弦長公式:|AB|=|x1-x2|=|y1-y2|. 8.解決范圍、最值問題的常用解法 (1)數(shù)形結(jié)合法:利用待求量的幾何意義,確定出極端位置后,數(shù)形結(jié)合求解. (2)構(gòu)建不等式法:利用已知或隱含的不等關(guān)系,構(gòu)建以待求量為元的不等式求解. (3)構(gòu)建函數(shù)法:先引入變量構(gòu)建以待求量為因變量的函數(shù),再求其值域. 9.定點問題的思路 (1)動直線l過定點問題,解法:設(shè)動直線方程(斜率存在)為y=kx+t,由題設(shè)條件將t用k表示為t=mk,得y=k(x+m),故動直線過定點(-m,0). (2)動曲線C過定點問題,解法:引入?yún)⒆兞拷⑶€C的方程,再根據(jù)其對參變量

6、恒成立,令其系數(shù)等于零,得出定點. 10.求解定值問題的兩大途徑 (1)→ (2)先將式子用動點坐標或動線中的參數(shù)表示,再利用其滿足的約束條件使其絕對值相等的正負項抵消或分子、分母約分得定值. 11.解決存在性問題的解題步驟 第一步:先假設(shè)存在,引入?yún)⒆兞?,根?jù)題目條件列出關(guān)于參變量的方程(組)或不等式(組); 第二步:解此方程(組)或不等式(組),若有解則存在,若無解則不存在; 第三步:得出結(jié)論. 1.不能準確區(qū)分直線傾斜角的取值范圍以及斜率與傾斜角的關(guān)系,導致由斜率的取值范圍確定傾斜角的范圍時出錯. 2.易忽視直線方程的幾種形式的限制條件,如根據(jù)直線在兩軸上的截距

7、相等設(shè)方程時,忽視截距為0的情況,直接設(shè)為+=1;再如,過定點P(x0,y0)的直線往往忽視斜率不存在的情況直接設(shè)為y-y0=k(x-x0)等. 3.討論兩條直線的位置關(guān)系時,易忽視系數(shù)等于零時的討論導致漏解,如兩條直線垂直時,一條直線的斜率不存在,另一條直線斜率為0. 4.在解析幾何中,研究兩條直線的位置關(guān)系時,要注意有可能這兩條直線重合;在立體幾何中提到的兩條直線,一般可理解為它們不重合. 5.求解兩條平行線之間的距離時,易忽視兩直線系數(shù)不相等,而直接代入公式,導致錯解. 6.在圓的標準方程中,誤把r2當成r;在圓的一般方程中,忽視方程表示圓的條件. 7.易誤認兩圓相切為兩圓外切

8、,忽視兩圓內(nèi)切的情況導致漏解. 8.利用橢圓、雙曲線的定義解題時,要注意兩種曲線的定義形式及其限制條件.如在雙曲線的定義中,有兩點是缺一不可的:其一,絕對值;其二,2a<|F1F2|.如果不滿足第一個條件,動點到兩定點的距離之差為常數(shù),而不是差的絕對值為常數(shù),那么其軌跡只能是雙曲線的一支. 9.易混淆橢圓的標準方程與雙曲線的標準方程,尤其是方程中a,b,c三者之間的關(guān)系,導致計算錯誤. 10.已知雙曲線的漸近線方程求雙曲線的離心率時,易忽視討論焦點所在坐標軸導致漏解. 11.直線與圓錐曲線相交的必要條件是它們構(gòu)成的方程組有實數(shù)解,消元后得到的方程中要注意:二次項的系數(shù)是否為零,判別式Δ

9、≥0的限制.尤其是在應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系解決問題時,必須先有“判別式Δ≥0”;在求交點、 弦長、中點、斜率、對稱或存在性問題時都應(yīng)在“Δ>0”下進行. 1.直線2mx-(m2+1)y-=0的傾斜角的取值范圍為(  ) A.[0,π) B.∪ C. D.∪ 答案 C 解析 由已知可得m≥0,直線的斜率k=.當m=0時,k=0;當m>0時,k==≤=1,又因為m>0,所以0

10、 A.相離 B.相切 C.相交或相切 D.相交 答案 C 解析 由已知可得,圓的圓心坐標為(0,0),半徑為, 圓心到直線的距離為,其中(a+b)2≤2(a2+b2), 所以圓心到直線的距離為≤,所以直線與圓相交或相切,故選C. 3.曲線x2+(y-1)2=1(x≤0)上的點到直線x-y-1=0的距離的最大值為a,最小值為b,則a-b的值是(  ) A. B.2 C.+1 D.-1 答案 C 解析 因為圓心(0,1)到直線x-y-1=0的距離為=>1,所以半圓x2+(y-1)2=1(x≤0)上的點到直線x-y-1=0的距離的最大值為+1,到直線x-y-1=0

11、的距離的最小值為點(0,0)到直線x-y-1=0的距離,為,所以a-b=+1-=+1. 4.直線3x+4y-5=0與圓x2+y2=4相交于A,B兩點,則弦AB的長等于(  ) A.4 B.3 C.2 D. 答案 C 解析 由于圓x2+y2=4的圓心為O(0,0),半徑r=2,而圓心O(0,0)到直線3x+4y-5=0的距離d==1,∴|AB|=2=2=2. 5.與圓O1:x2+y2+4x-4y+7=0和圓O2:x2+y2-4x-10y+13=0都相切的直線條數(shù)是(  ) A.4 B.3 C.2 D.1 答案 B 解析 O1(-2,2),r1=1,O2(2,5),r2

12、=4, ∴|O1O2|=5=r1+r2,∴圓O1和圓O2外切, ∴與圓O1和圓O2都相切的直線有3條.故選B. 6.設(shè)O為坐標原點,P是以F為焦點的拋物線y2=2px(p>0)上任意一點,M是線段PF上的點,且|PM|=2|MF|,則直線OM的斜率的最大值為(  ) A. B. C. D.1 答案 C 解析 如圖, 由題意可知F,設(shè)P點坐標為, 顯然,當y0<0時,kOM<0; 當y0>0時,kOM>0,要求kOM的最大值,不妨設(shè)y0>0, 則=+=+=+(-)=+=, kOM==≤=,當且僅當y=2p2時,等號成立,故選C. 7.已知拋物線y2=8x的準線與

13、雙曲線-=1(a>0)相交于A,B兩點,點F為拋物線的焦點,△ABF為直角三角形,則雙曲線的離心率為(  ) A.3 B.2 C. D. 答案 A 解析 依題意知,拋物線的準線為x=-2, 代入雙曲線方程得 y=±·, 不妨設(shè)A. ∵△FAB是等腰直角三角形, ∴=p=4,求得a=, ∴雙曲線的離心率為e====3, 故選A. 8.若點O和點F分別為橢圓+=1的中心和左焦點,點P為橢圓上的任意一點,則·的最大值為(  ) A.2 B.3 C.6 D.8 答案 C 解析 由題意得F(-1,0),設(shè)點P(x0,y0), 則y=3(-2≤x0≤2).

14、·=x0(x0+1)+y=x+x0+y =x+x0+3=(x0+2)2+2. 又因為-2≤x0≤2,所以當x0=2時,·取得最大值,最大值為6,故選C. 9.已知函數(shù)y=f(x)=ax+1-2(a>0且a≠1)的圖象恒過定點A,設(shè)拋物線E:y2=4x上任意一點M到準線l的距離為d,則d+的最小值為(  ) A.5 B. C. D. 答案 C 解析 當x+1=0,即x=-1時,y=-1,故A(-1,-1),設(shè)拋物線的焦點為F(1,0),根據(jù)拋物線的定義可知,當F、A、M三點共線時d+的最小值為=. 10.我們把焦點相同,且離心率互為倒數(shù)的橢圓和雙曲線稱為一對“相關(guān)曲線”.已知

15、F1,F(xiàn)2是一對相關(guān)曲線的焦點,P是它們在第一象限的交點,當∠F1PF2=30°時,這一對相關(guān)曲線中橢圓的離心率是(  ) A.7-4 B.2- C.-1 D.4-2 答案 B 解析 由題意設(shè)橢圓方程為+=1, 雙曲線方程為-=1,且c=c1. 由題意·=1,(*) 由∠F1PF2=30°及余弦定理,得 橢圓中:4c2=4a2-(2+)|PF1||PF2|, 雙曲線中:4c2=4a+(2-)|PF1||PF2|, 可得b=(7-4)b2,代入(*)式,得 c4=aa2=(c2-b)a2=(8-4)c2a2-(7-4)a4, 即e4-(8-4)e2+(7-4)=0

16、, 得e2=7-4,即e=2-,故選B. 11.已知直線l:mx-y=1,若直線l與直線x+m(m-1)y=2垂直,則m的值為________;動直線l:mx-y=1被圓C:x2-2x+y2-8=0截得的最短弦長為________. 答案 0或2 2 解析 由兩直線垂直的充要條件得m×1+(-1)×m(m-1)=0,∴m=0或m=2;圓的半徑為3,動直線l過定點(0,-1),當圓心(1,0)到直線的距離最長,即d==時,弦長最短,此時弦長為2=2. 12.已知直線l:mx+y+3m-=0與圓x2+y2=12交于A,B兩點,過A,B分別作l的垂線與x軸交于C,D兩點,若|AB|=2,則

17、|CD|=________. 答案 4 解析 設(shè)AB的中點為M,由題意知,圓的半徑R=2,|AB|=2, 所以|OM|=3,解得m=-, 由解得A(-3,),B(0,2), 則AC的直線方程為y-=-(x+3),BD的直線方程為y-2=-x,令y=0,解得C(-2,0),D(2,0),所以|CD|=4. 13.已知F1,F(xiàn)2是雙曲線-=1的焦點,PQ是過焦點F1的弦,且PQ的傾斜角為60°,那么|PF2|+|QF2|-|PQ|的值為________. 答案 16 解析 由雙曲線方程-=1知,2a=8, 由雙曲線的定義,得|PF2|-|PF1|=2a=8,① |QF2|-|Q

18、F1|=2a=8,② ①+②得|PF2|+|QF2|-(|QF1|+|PF1|)=16. ∴|PF2|+|QF2|-|PQ|=16. 14.在直線y=-2上任取一點Q,過Q作拋物線x2=4y的切線,切點分別為A,B,則直線AB恒過定點________. 答案 (0,2) 解析 設(shè)Q(t,-2),A(x1,y1),B(x2,y2),拋物線方程變?yōu)閥=x2,則y′=x,則在點A處的切線方程為y-y1=x1(x-x1),化簡得y=x1x-y1,同理,在點B處的切線方程為y=x2x-y2.又點Q(t,-2)的坐標滿足這兩個方程,代入得-2=x1t-y1,-2=x2t-y2,則說明A(x1,y

19、1),B(x2,y2)都滿足方程-2=xt-y,即直線AB的方程為y-2=tx,因此直線AB恒過定點(0,2). 15.已知過點A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N兩點. (1)求k的取值范圍; (2)若·=12,其中O為坐標原點,求|MN|. 解 (1)由題設(shè)可知,直線l的方程為y=kx+1, 因為l與圓C交于兩點,所以<1. 解得

20、)2-4(1+k2)×7=-12k2+32k-12>0, 所以x1+x2=,x1x2=. ·=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1 =+8. 由題設(shè)可得+8=12, 解得k=1,經(jīng)檢驗,滿足Δ>0. 所以l的方程為y=x+1. 故圓心C在l上,所以|MN|=2. 16.已知圓F1:(x+1)2+y2=r2與圓F2:(x-1)2+y2=(4-r)2(0

21、3)求△ABM的面積的最大值. 解 (1)設(shè)圓F1,圓F2的公共點為Q, 由已知得|F1F2|=2,|QF1|=r,|QF2|=4-r, 故|QF1|+|QF2|=4>|F1F2|, 因此曲線E是長軸長2a=4,焦距2c=2的橢圓,且b2=a2-c2=3, 所以曲線E的方程為+=1. (2)由曲線E的方程,得上頂點M(0,),記A(x1,y1),B(x2,y2),由題意知,x1≠0,x2≠0,若直線AB的斜率不存在,則直線AB的方程為x=x1,故y1=-y2,且y=y(tǒng)=3,因此kMA·kMB=·=-=,與已知不符,因此直線AB的斜率存在,設(shè)直線AB:y=kx+m,代入橢圓E的方程+

22、=1,得(3+4k2)x2+8kmx+4(m2-3)=0.(*) 因為直線AB與曲線E有公共點A,B, 所以方程(*)有兩個非零不等實根x1,x2, 所以x1+x2=-,x1x2=, 又kAM==, kMB==, 由kAM·kBM=, 得4(kx1+m-)(kx2+m-)=x1x2, 即(4k2-1)x1x2+4k(m-)(x1+x2)+4(m-)2=0, 所以4(m2-3)(4k2-1)+4k(m-)(-8km)+4(m-)2(3+4k2)=0, 化簡得m2-3m+6=0,故m=或m=2, 結(jié)合x1x2≠0知,m=2,即直線AB恒過定點N(0,2). (3)由Δ>0且m=2得k<-或k>, 又S△ABM=|S△ANM-S△BNM|=|MN|·|x2-x1| = = ==≤, 當且僅當4k2-9=12,即k=±時,△ABM的面積最大,最大值為. 11

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