新北師大 八年級(jí)下冊數(shù)學(xué)三角形的證明 等腰三角形

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1、會(huì)計(jì)學(xué)1新北師大新北師大 八年級(jí)下冊數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊數(shù)學(xué) 三角形的證明三角形的證明 等腰三角形等腰三角形第1頁/共27頁第2頁/共27頁第3頁/共27頁第4頁/共27頁判定公理：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（）判定公理：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（） 公理：兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等公理：兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(SAS)(SAS) 公理：兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等公理：兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(ASA)(ASA)性質(zhì)公理：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等。性質(zhì)公理：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等。你能用上面的公理證明下面的推論嗎？你能用上面的公理證明

2、下面的推論嗎？推論：兩角及其中一角的對(duì)應(yīng)邊相等推論：兩角及其中一角的對(duì)應(yīng)邊相等的兩個(gè)三角形全等的兩個(gè)三角形全等(AAS)第5頁/共27頁w推論推論: :兩角及其一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三兩角及其一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（角形全等（AASAAS）. .證明證明: : A=A,C=C（已知）（已知）B=B（三角形內(nèi)角和定理）（三角形內(nèi)角和定理） 在在ABCABC與與A AB BC C中中 A=A （已知）（已知）, AB=AB（已知）（已知）, B=B （已證）（已證）, ABCABCA AB BC C（ASA）.駛向勝利的彼岸ABCABC w已知已知: :如圖如圖, ,在在ABCABC

3、和和A AB BC C中中, A=A, C=C, AB=AB.w求證求證: :ABCABCA AB BC C. .第6頁/共27頁w推論推論: :w兩角及其一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)兩角及其一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（相等的兩個(gè)三角形全等（AASAAS）. .在在ABCABC與與A AB BC C中中A=A C=C AB=AB ABCABCA AB BC C（AAS）.駛向勝利的彼岸ABCABC w證明后的結(jié)論,以后可以直接運(yùn)用. 第7頁/共27頁第8頁/共27頁1.如圖如圖:已知在已知在ABCABC和和DEF 中中AC=DF,AB=DE,C=F=100C=F=100, ,則則ABC和和DEF會(huì)全

4、等嗎會(huì)全等嗎?若能請(qǐng)證明若能請(qǐng)證明;若不能請(qǐng)說明理由若不能請(qǐng)說明理由.ABCDEF其它條件不變?nèi)羝渌鼦l件不變?nèi)鬊=E=B=E=70第9頁/共27頁w你還記得我們探索過的等腰三角形你還記得我們探索過的等腰三角形的性質(zhì)嗎的性質(zhì)嗎? ?w推論推論: :w等腰三角形頂角的平分線等腰三角形頂角的平分線, ,底邊上的中底邊上的中線線 底邊上的高互相重合底邊上的高互相重合( (三線合一三線合一).).w你能利用已有的公理和定理證明這你能利用已有的公理和定理證明這些結(jié)論嗎些結(jié)論嗎? ? 議一議議一議P2w定理定理: :w等腰三角形的兩個(gè)底角相等等腰三角形的兩個(gè)底角相等( (等邊對(duì)等角等邊對(duì)等角).).ACB1

5、2ACBD第10頁/共27頁定理定理 等腰三角形的兩個(gè)底角相等。等腰三角形的兩個(gè)底角相等。 這一定理可以簡單敘述為：等邊對(duì)等角這一定理可以簡單敘述為：等邊對(duì)等角已知：如圖，在已知：如圖，在ABCABC中，中，ABABACAC。求證：求證：B BC CACB證明：取證明：取BCBC的中點(diǎn)的中點(diǎn)D D，連接，連接ADAD。 DABABACAC，BDBDCDCD，ADADADAD，ABCABCACD (SSS)ACD (SSS)B=C (B=C (全等三角形的對(duì)應(yīng)邊角相等全等三角形的對(duì)應(yīng)邊角相等) )做做BAC的平分線，交的平分線，交BC邊邊于于D； 過點(diǎn)過點(diǎn)A做做ADBC。你還有其他證明你還有其他

6、證明方法嗎方法嗎 與同與同伴進(jìn)行交流。伴進(jìn)行交流。命題的證明命題的證明 議一議議一議P2此時(shí)此時(shí)AD還是還是什么線什么線?勝利屬于敢勝利屬于敢想敢干的人想敢干的人.第11頁/共27頁定理定理: :等腰三角形的兩個(gè)底角相等等腰三角形的兩個(gè)底角相等( (等邊對(duì)等角等邊對(duì)等角).).ACB已知已知: :如圖如圖, ,在在ABCABC中中, AB=AC.求證求證: : B=C. .在在RtRtABDABD與與RtRtA ACD中中 AB=AC （已知）（已知）, AD=AD（公共邊）（公共邊）, ABDABDA ACD（HL）.D證明證明: :過點(diǎn)過點(diǎn)A作作ADBC,交交BC于點(diǎn)于點(diǎn)D. B=C（全等

7、三角形的對(duì)應(yīng)角相等）（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）.第12頁/共27頁 議一議議一議P2定理定理: :等腰三角形的兩個(gè)底角相等等腰三角形的兩個(gè)底角相等( (等邊對(duì)等角等邊對(duì)等角).).ACB如圖如圖, ,在在ABCABC中中, , AB=AC(AB=AC(已知已知),),B=C(B=C(等邊對(duì)等角等邊對(duì)等角).).w證明后的結(jié)論證明后的結(jié)論, ,以后可以直接運(yùn)用以后可以直接運(yùn)用. . 第13頁/共27頁推論推論: 等腰三角形頂角的平分等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的線、底邊上的中線、底邊上的高線互相重合高線互相重合( (三線合一三線合一).).ACBD12AB=AC, 1=2(AB=

8、AC, 1=2(已知已知).).BD=CD,ADBCBD=CD,ADBC（等腰三角形等腰三角形三線合一）三線合一）. .AB=AC, BD=CD (AB=AC, BD=CD (已知已知).).1=2,ADBC1=2,ADBC（等腰三角形等腰三角形三線合一三線合一）AB=AC, ADBC(AB=AC, ADBC(已知已知).).BD=CD, 1=2BD=CD, 1=2（等腰三角形等腰三角形三線合一）三線合一）w輪換條件輪換條件1=2, ADBC,ADBC,BD=CD,BD=CD,可得可得三線合一三線合一的的三種不同形式的運(yùn)用三種不同形式的運(yùn)用. .第14頁/共27頁知識(shí)的鞏固知識(shí)的鞏固證明一個(gè)命

9、題的一般步驟證明一個(gè)命題的一般步驟: :(1)弄清題設(shè)和結(jié)論弄清題設(shè)和結(jié)論; (2)根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形;(3)根據(jù)題設(shè)和結(jié)論寫出已知根據(jù)題設(shè)和結(jié)論寫出已知,求證求證; (4)分析證明思路分析證明思路,寫出證明過程寫出證明過程.第15頁/共27頁第16頁/共27頁1.如圖如圖,在三角形在三角形ABD中中,C是是BD上的一點(diǎn)上的一點(diǎn),且且AC垂直垂直BD,AC=BC=CD.(1) 求證求證:ABDABD是等腰三角是等腰三角形形(2)(2)求求ABDABD的度數(shù)的度數(shù)ABCD第17頁/共27頁第18頁/共27頁1.將下面證明中每一步的理由寫在括號(hào)內(nèi)將下面證明中每一步的理由寫

10、在括號(hào)內(nèi):已知已知:如圖如圖,AB=CD,AD=CB.求證求證:A=C.A=C.證明證明:連接連接BD,在在BADBAD和和DCB中中, AB=CD( ) AB=CD( ) AD=CB( ) AD=CB( ) BD=DB( ) BD=DB( ) BAD DCB( ) :A=C ( )ABCD第19頁/共27頁2.已知已知:如圖如圖,點(diǎn)點(diǎn)B,E,C,F在同一條直線在同一條直線上上,AB=DE,AC=DF,BE=CF.求證求證:A=DA=DABCDEF第20頁/共27頁ABCD探索與拓展探索與拓展第21頁/共27頁ABCABCD等腰三角形底邊上的點(diǎn)到兩腰的距離和等于一腰上的高等腰三角形底邊上的點(diǎn)到兩腰的距離和等于一腰上的高EFHDEFHDE+DF=CH演示演示第22頁/共27頁ABCDEFHGDE+DF=CH第23頁/共27頁ABCDEFHGDE+DF=CH第24頁/共27頁ABCDEFHGDE+DF=CH方法方法3：過：過D點(diǎn)作點(diǎn)作DGHF還有好方法嗎？還有好方法嗎？第25頁/共27頁第26頁/共27頁