2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第二章 一元二次函數(shù)、方程和不等式 2.3.2 一元二次不等式的應(yīng)用學(xué)案 新人教A版必修第一冊

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1、第2課時　一元二次不等式的應(yīng)用 1．會解簡單的分式不等式． 2．會解不等式恒成立問題． 3．會利用一元二次不等式解決一些實際問題. 1．如何判斷二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與x軸的相關(guān)位置？ [答案]　二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與x軸的相關(guān)位置，分為三種情況，這可以由一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判別式Δ＝b2－4ac三種取值情況(Δ>0，Δ＝0，Δ<0)來確定 2．若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集為R，則實數(shù)a應(yīng)滿足什么條件？ [答案]　結(jié)合二次函數(shù)圖象可知，若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集為R，則，解得a∈?，

2、所以不存在a使不等式ax2＋x－1>0的解集為R 題型一解簡單的分式不等式 【典例1】　解下列不等式： (1)<0；(2)≤2. [思路導(dǎo)引]　等價轉(zhuǎn)化為一元二次不等式或一元一次不等式組求得． [解]　(1)由<0，得>0， 此不等式等價于(x＋2)(x－1)>0， ∴原不等式的解集為{x|x<－2或x>1}． (2)解法一：移項得－2≤0， 左邊通分并化簡得≤0，即≥0， 它的同解不等式為 ∴x<2或x≥5. ∴原不等式的解集為{x|x<2或x≥5}． 解法二：原不等式可化為≥0， 此不等式等價于①或② 解①得x≥5，解②得x<2， ∴原不等式的解集為{x

3、|x<2或x≥5}． (1)對于比較簡單的分式不等式，可直接轉(zhuǎn)化為一元二次不等式或一元一次不等式組求解，但要注意分母不為零． (2)對于不等號右邊不為零的較復(fù)雜的分式不等式，先移項再通分(不要去分母)，使之轉(zhuǎn)化為不等號右邊為零，然后再用上述方法求解． [針對訓(xùn)練] 1．解下列不等式： (1)≥0； (2)>1. [解]　(1)原不等式可化為 解得 ∴x<－或x≥， ∴原不等式的解集為. (2)解法一：原不等式可化為 或 解得或 ∴－30， 化簡得>0，即<0， ∴(2x＋1)(x＋3)<0，解得－

4、3－1，不合題意，故a≠0. 令y＝ax2＋(a－1)x＋a－1， ∵原不等式對任意x∈R都成立， ∴二次函數(shù)y＝ax2＋(a－1)x＋a－1的圖象在x軸的下方， ∴a<0且Δ＝(a－1)2－4a(a－1)<0， 即

5、 ∴a<－. [變式]　若將本例改為：不等式ax2＋(a－1)x＋a－1≥0的解集為空集，如何求a的取值范圍？ [解]　不等式ax2＋(a－1)x＋a－1≥0的解集為空集， 即不等式ax2＋(a－1)x＋a－1<0的解集為R，也就是不等式ax2＋(a－1)x＋a－1<0對任意的x∈R恒成立．故a的取值范圍是a<－. 不等式對任意實數(shù)x恒成立，就是不等式的解集為R，對于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集為R的條件為 一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集為R的條件為 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集為?的條件為 [針對訓(xùn)練] 2．設(shè)a≠0，不等式ax2

6、－x＋a>0的解集為R，求實數(shù)a的取值范圍． [解]　由題意得， 解得：a>.∴a的取值范圍為a>. 題型三一元二次不等式的實際應(yīng)用 【典例3】　某農(nóng)貿(mào)公司按每擔(dān)200元收購某農(nóng)產(chǎn)品，并按每100元納銳10元(又稱征稅率為10個百分點)，計劃可收購a萬擔(dān)，政府為了鼓勵收購公司多收購這種農(nóng)產(chǎn)品，決定將征稅率降低x(x≠0)個百分點，預(yù)測收購量可增加2x個百分點． (1)寫出稅收y(萬元)與x的函數(shù)關(guān)系式； (2)要使此項稅收在稅率調(diào)節(jié)后，不少于原計劃稅收的83.2%，試確定x的取值范圍． [思路導(dǎo)引]　(1)按“稅收＝收購總金額×稅率”可建立y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)將不等關(guān)系用不

7、等式表示，從而求解． [解]　(1)降低稅率后的稅率為(10－x)%， 農(nóng)產(chǎn)品的收購量為a(1＋2x%)萬擔(dān)， 收購總金額為200a(1＋2x%)萬元． 依題意：y＝200a(1＋2x%)(10－x)% ＝a(100＋2x)(10－x)(0

8、，再利用一元二次不等式求解，確定答案時應(yīng)注意變量具有的“實際含義”． [針對訓(xùn)練] 3．在一個限速40 km/h以內(nèi)的彎道上，甲，乙兩輛汽車相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對，同時剎車，但還是相碰了，事發(fā)后現(xiàn)場測得甲車的剎車距離略超過12 m，乙車的剎車距離略超過10 m．又知甲、乙兩種車型的剎車距離S m與車速x km/h之間分別有如下關(guān)系：S甲＝0.1x＋0.01x2，S乙＝0.05x＋0.005x2.問超速行駛誰應(yīng)負主要責(zé)任． [解]　由題意列出不等式 S甲＝0.1x＋0.01x2>12， S乙＝0.05x＋0.005x2>10. 分別求解，得 x<－40，或x>30. x<－50，

9、或x>40. 由于x>0，從而得x甲>30 km/h，x乙>40 km/h. 經(jīng)比較知乙車超過限速，應(yīng)負主要責(zé)任． 課堂歸納小結(jié) 1．解不等式的過程實際上就是不斷轉(zhuǎn)化的過程，是同解不等式的逐步代換，基本思路是：代數(shù)化、分式整式化、有理化、低次化、低維化，最后轉(zhuǎn)化到可解的常見一元一次不等式、一元二次不等式上來. 2.當(dāng)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集為R時，意味著ax2＋bx＋c>0恒成立．由圖象可知：關(guān)于這類恒成立問題只需考慮開口方向與判別式Δ即可. 1．不等式>0的解集是(　　) A．{x|－32} C．{x|x<－3或x>

10、2} D．{x|x<－2或x>3} [解析]　不等式>0?(x－2)(x＋3)>0的解集是{x|x<－3或x>2}，所以C選項是正確的． [答案]　C 2．若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝，則A∩B＝(　　) A．{x|－1≤x<0} B．{x|00的解集為R，則實數(shù)m的取值范圍是(　　) A．m>2 B．m<2 C．m<0或m>2 D．0

11、解析]　由題意得Δ＝m2－4×<0，即m2－2m<0，解得04 [解析]　依題意應(yīng)有Δ＝a2－16≤0，解得－4≤a≤4，故選A. [答案]　A 5．某產(chǎn)品的總成本y(萬元)與產(chǎn)量x(臺)之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝3000＋20x－0.1x2(0

12、D．180臺 [解析]　3000＋20x－0.1x2≤25x ?x2＋50x－30000≥0， 解得x≤－200(舍去)或x≥150. [答案]　C 課后作業(yè)(十四) 復(fù)習(xí)鞏固 一、選擇題 1．不等式>0的解集是(　　) A. B. C. D. [解析]　>0?(4x＋2)(3x－1)>0?x>或x<－，此不等式的解集為. [答案]　A 2．不等式<1的解集是(　　) A．{x|x>1} B．{x|－10，解得x<－1或 x>. [答

13、案]　C 3．不等式≥2的解集是(　　) A. B. C. D. [解析]　∵原不等式等價于 ∴∴ 即. [答案]　D 4．在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個面積不小于300 m2的內(nèi)接矩形花園(陰影部分)，則其邊長x(單位：m)的取值范圍是(　　) A．15≤x≤30 　　B．12≤x≤25 C．10≤x≤30 　　D．20≤x≤30 [解析]　設(shè)矩形的另一邊長為y m，則由三角形相似知，＝，∴y＝40－x，∵xy≥300，∴x(40－x)≥300，∴x2－40x＋300≤0，∴10≤x≤30. [答案]　C 5．設(shè)集合P＝{m|－4

14、{m|mx2－mx－1<0，x∈R}，則下列關(guān)系式成立的是(　　) A．PQ B．QP C．P＝Q D．P∩Q＝Q [解析]　對Q：若mx2－mx－1<0對x∈R恒成立，則：①當(dāng)m＝0時，－1<0恒成立．②當(dāng)m≠0時，解得－4

15、切實數(shù)x恒成立，所以Δ＝(－4)2－4×3m≤0，解得m≥. [答案]　m≥ 8．若關(guān)于x的不等式x2－ax－a>0的解集為R，則實數(shù)a的取值范圍是________；若關(guān)于x的不等式x2－ax－a≤－3的解集不是空集，則實數(shù)a的取值范圍是________． [解析]　由Δ1<0即a2－4(－a)<0得－4

16、得x<或x≥4. ∴原不等式的解集為. (2)由<0得>0， 此不等式等價于(x－1)>0， 解得x<－或x>1， ∴原不等式的解集為. 10．若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0的解集為R，求實數(shù)a的取值范圍． [解]　當(dāng)a－2＝0，即a＝2時，原不等式為－4<0， 所以a＝2時成立． 當(dāng)a－2≠0時，由題意得 即解得－2

17、＝(x－a)[1－(x＋a)]＝－x2＋x＋a2－a，又(x－a)?(x＋a)<1對任意的實數(shù)x都成立，所以x2－x＋a＋1－a2>0對任意的實數(shù)x都成立，所以Δ<0，即1－4(a＋1－a2)<0，解得－

18、根據(jù)解集的結(jié)構(gòu)可知，a<0且＝－，∴a＝－2. [答案]　－2 14．已知2≤x≤3時，不等式2x2－9x＋a<0恒成立，則a的取值范圍為________． [解析]　∵當(dāng)2≤x≤3時，2x2－9x＋a<0恒成立，∴當(dāng)2≤x≤3時，a<－2x2＋9x恒成立． 令y＝－2x2＋9x. ∵2≤x≤3，且對稱軸方程為x＝， ∴ymin＝9，∴a<9. ∴a的取值范圍為a<9. [答案]　a<9 15．某地區(qū)上年度電價為0.8元/kW·h，年用電量為a kW·h，本年度計劃將電價降低到0.55元/kW·h至0.75元/kW·h之間，而用戶期望電價為0.4元/kW·h.經(jīng)測算，下調(diào)電價

19、后新增的用電量與實際電價和用戶期望電價的差成反比(比例系數(shù)為k)．該地區(qū)電力的成本價為0.3元/kW·h. (1)寫出本年度電價下調(diào)后，電力部門的收益y與實際電價x的函數(shù)關(guān)系式； (2)設(shè)k＝0.2a，當(dāng)電價最低定為多少時仍可保證電力部門的收益比上年度至少增長20%? 注：收益＝實際用電量×(實際電價－成本價)． [解]　(1)設(shè)下調(diào)后的電價為x元/kW·h，依題意知，用電量增至＋a，電力部門的收益為y＝ (x－0.3)(0.55≤x≤0.75)． (2)依題意，有 整理，得解此不等式，得0.60≤x≤0.75. ∴當(dāng)電價最低定為0.60元/kW·h時，仍可保證電力部門的收益比上年度至少增長20%. 10